多元函数的极值

实验六　多元函数的极值 实验六　多元函数的极值 【实验目的】 1．​ 多元函数偏导数的求法。 2．​ 多元函数自由极值的求法 3．​ 多元函数条件极值的求法. 4．​ 学习掌握MATLAB软件有关的命令。 【实验内容】 求函数 的极值点和极值 【实验准备】 1．计算多元函数的自由极值 对于多元函数的自由极值问题,根据多元函数极值的必要和充分条件,可分为以下几个步骤: 步骤1.定义多元函数 步骤2.求解正规方程 ,得到驻点 步骤3.对于每一个驻点 ,求出二阶偏导数 步骤4. 对于每一个驻点 ,计算判别式 ,如果 ,则该驻点是极值点,当 为极小值, 为极大值;,如果 ,判别法失效,需进一步判断; 如果 ,则该驻点不是极值点. 2．计算二元函数在区域D内的最大值和最小值 设函数 在有界区域 上连续，则 在 上必定有最大值和最小值。求 在 上的最大值和最小值的一般步骤为： 步骤1. 计算 在 内所有驻点处的函数值； 步骤2. 计算 在 的各个边界线上的最大值和最小值； 步骤3. 将上述各函数值进行比较，最终确定出在 内的最大值和最小值。 3．函数求偏导数的MATLAB命令 MATLAB中主要用diff求函数的偏导数,用jacobian求Jacobian矩阵。 diff(f,x,n) 求函数f关于自变量x的n阶导数。 jacobian(f,x)　求向量函数f关于自变量x(x也为向量)的jacobian矩阵。 可以用help diff, help jacobian查阅有关这些命令的详细信息 【实验方法与步骤】 练习1 求函数 的极值点和极值.首先用diff命令求z关于x,y的偏导数 >>clear; syms x y; >>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3; >>diff(z,x) >>diff(z,y) 结果为 ans =4*x^3-8*y ans =-8*x+4*y 即 再求解正规方程，求得各驻点的坐标。一般方程组的符号解用solve命令，当方程组不存在符号解时，solve将给出数值解。求解正规方程的MATLAB代码为： >>clear; >>[x,y]=solve('4*x^3-8*y=0','-8*x+4*y=0','x','y') 结果有三个驻点，分别是P(-2,-4),Q(0,0),R(2,4).下面再求判别式中的二阶偏导数： >>clear; syms x y; >>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3; >>A=diff(z,x,2) >>B=diff(diff(z,x),y) >>C=diff(z,y,2) 结果为 A=2*x^2 B =-8 C =4 由判别法可知 和 都是函数的极小值点，而点Q(0,0)不是极值点，实际上， 和 是函数的最小值点。当然，我们可以通过画函数图形来观测极值点与鞍点。 >>clear; >>x=-5:0.2:5; y=-5:0.2:5; >>[X,Y]=meshgrid(x,y); >>Z=X.^4-8*X.*Y+2*Y.^2-3; >>mesh(X,Y,Z) >>xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z') 结果如图6.1 图6.1 函数曲面图 可在图6.2种不容易观测极值点与鞍点,这是因为z的取值范围为[-500,100],是一幅远景图,局部信息丢失较多,观测不到图像细节.可以通过画等值线来观测极值. >>contour(X,Y,Z, 600) >>xlabel('x'),ylabel('y') 结果如图6.2 图6.2 等值线图 由图6.2可见,随着图形灰度的逐渐变浅,函数值逐渐减小,图形中有两个明显的极小值点 和 .根据提梯度与等高线之间的关系,梯度的方向是等高线的法方向,且指向函数增加的方向.由此可知,极值点应该有等高线环绕,而点 周围没有等高线环绕,不是极值点,是鞍点. 练习２ 求函数 在条件 下的极值..构造Lagrange函数 求Lagrange函数的自由极值.先求 关于 的一阶偏导数 >>clear; syms x y k >>l=x*y+k*(x+y-1); >>diff(l,x) >>diff(l,y) >>diff(l,k) 得 再解正规方程 >>clear; syms x y k >>[x,y,k]=solve('y+k=0','x+k=0','x+y-1=0','x','y','k') 得 进过判断,此点为函数的极大值点,此时函数达到最大值. 练习3 抛物面 被平面 截成一个椭圆,求这个椭圆到原点的最长与最短距离. 这个问题实际上就是求函数 在条件 及 下的最大值和最小值问题.构造Lagrange函数 求Lagrange函数的自由极值.先求 关于 的一阶偏导数 >>clear; syms x y z u v >>l=x^2+y^2+z^2+u*(x^2+y^2-z)+v*(x+y+z-1); >>diff(l,x) >>diff(l,y) >>diff(l,z) >>diff(l,u) >>diff(l,v) 得 再解正规方程 >>clear; >>[x,y,z,u,v]=solve('2*x+2*x*u+v=0','2*y+2*y*u+v=0','2*z-u+v=0', 'x^2+y^2-z=0','x+y+z-1=0','x','y','z','u','v') 得 上面就是Lagrange函数的稳定点，求所求的条件极值点必在其中取到。由于所求问题存在最大值与最小值（因为函数 在有界闭集 ，上连续，从而存在最大值与最小值），故由 求得的两个函数值，可得椭圆到原点的最长距离为 ，最短距离为 。 练习4 求函数 在上半圆 上的最大值和最小值。 首先画出等高线进行观测，相应的MATLAB程序代码为： >>clear; >>x=-4:0.1:4; y=-4:0.1:4; >>[X,Y]=meshgrid(x,y); >>Z=X.^2+Y.^2-4*X-2*Y+7; >>contour(X,Y,Z,100) >>xlabel('x'),ylabel('y') 结果如图6.3 图6.3 等值线 观测图6.3可看出，在区域 内部有唯一的驻点，大约位于 在该点处汉书趣的最小值。在圆弧与直线的交点处取得最大值，大约位于 。下面通过计算加以验证。 求函数在区域 内的驻点，计算相应的函数值。求z关于x,y的偏导数 >>clear; syms x y; >>z=x^2+y^2-4*x-2*y+7; >>diff(z,x) >>diff(z,y) 结果得 解正规方程 >>clear; [x,y]=solve('2*x-4=0','2*y-2=0','x','y') 得驻点为(2,1),相应的函数值为2。 求函数在直线边界 上的最大值和最小值。将 代入原函数，则二元函数变为一元函数 首先观测此函数图形，相应的MATLAB程序代码为： >>x=-4:0.01:4; y=x.^2-4*x+7; >>plot(x,y); >>xlabel('x'),ylabel('z') 结果如图6.4所示 图6.4 函数图 由图6.4可看出，当 时函数取得最大值， 时函数取得最小值。下面用计算验证。对函数求导 >>clear; syms x ; >>z=x^2-4*x+7; diff(z,x) 得 ，可知驻点为 ，而边界点为 ，计算着三个点上的函数值可得当 时函数取得最大值39， 时函数取得最小值3。 求函数在圆弧边界线上 的最大值和最小值。此边界线可用参数方程 表示。则二元函数变为一元函数 首先观测此函数图形，相应的MATLAB程序代码为： >>t=0:0.01*pi:pi; z=-16*cos(t)-8*sin(t)+23; >>plot(t,z); >>xlabel('t'),ylabel('z') 结果如图6.5所示 图6.5 函数图 由图6.5可看出，当 时函数取得最小值， 时函数取得最大值。下面用计算验证。对函数求导 >>clear; syms t ; >>z=-16*cos(t)-8*sin(t)+23; diff(z,t) 得 ,解正规方程 >>clear; >>t=solve('16*sin(t)-8*cos(t)=0','t') >>numeric(t) %求出t的数值 得 ，边界点为 ，计算着三个点上的函数值可得当 时函数取得最小值0.5111， 时函数取得最小值39。 综上所述，在点(2,1)处函数取得最小值2，在点(-4,0)处函数取得最大值39。 【练习与思考】 1.​ 求 的极值，并对图形进行观测。 2.​ 求函数 在圆周 的最大值和最小值。 3.​ 在球面 求出与点(3,1,-1)距离最近和最远点。 4.​ 求函数 在平面 与柱面 的交线上的最大值。 5.​ 求函数 在三条直线 所围区域上的最大值和最小值。