物理与T稗V01.19No.52009
复摆运动状态的研究
曲光伟 王艳辉 邹德滨 张天洋
(大连理工大学物理与光电工程学院,辽宁大连 116023)
(收稿日期:2008—07-02)
摘 要 从复摆的运动方程出发,利用计算机对其各种运动情况进行模拟,研究复摆从周期运
动转化到混沌运动的过程,深化复摆实验内容,拓宽复摆实验的研究空间.
关键词 复摆;倍周期;混沌;相空间
STUDYONTHEMOTIONBEHAVIoRSOF
THECOMPOUNDPENDULUM
QuGuangweiWangYanhuiZouDebinZhangTianyang
(SchoolofPhysiscsandOptoelectronieTechnologyofDalianUniversityofTechnology,Dalian,Liaoning116023)
AbstractBasedonthemotionequationofthecompoundpendulum,varioustypicalmotion
casesaresimulatedbymeansofacomputer,andtheprocessfromperiodicbehaviorstochaos
isinvestigated.Thesestudiescanfurtherexpandtheexperimentalcontentsofthecompound
pendulumandwidentheresearchspace.
Key
scompoundpendulum;period—doubling;chaos;phasespace
l 引言
将先进的科学技术引进物理实验,使学生在
实验教学中经历与科研工作相似的过程,培养学
生从事科学研究的能力,是开展研究性物理实验
教学的主要目的.复摆实验是大学物理实验中基
本的力学实验之一,在教学中通常只考虑其简谐
振动的情况,内容比较单一,没有太多的研究空
间.实际上,当复摆在驱动力矩及阻尼力矩的作用
下,将出现复杂的非线性运动,而且在一定的条件
下可通过倍周期分岔逐渐进入到混沌运动状态.
混沌运动是确定性非线性动力学系统所特有的复
杂运动状态,是一种貌似随机的不规则运动,混沌
的发现被誉为继相对论和量子力学后的第三次物
理学革命,混沌的研究一直备受学术界的关注.如
果将复摆的这些非线性振动特性引入物理实验,
不仅可以加深学生对复摆运动规律的认识,给学
生提供一个宽阔的研究空间,而且还有助于学生
了解物理学的发展前沿,开阔学生的视野.本文从
复摆的运动方程出发,利用计算机进行数值求解,
研究复摆从周期运动转化为混沌运动的过程.
2运动方程
对如图1所示的复摆,设其质量为m;对转轴
0的转动惯量为I;质心C到转轴的
距离为h.如果复摆振动时受到的阻
尼力矩是一k_dO;周期性驱动力矩为
Ot
Fcos∞Ft;重力矩为一mghsinO,则复
摆的运动方程可以写为
J
dd£z。0 d出O+嘲^sinO=Fc。sc£JFf
(1)
图1 复摆
对式(1)进行无量纲化得
ddJrO。+2卢磊dO+sin臼一厂c。s∞F
(2)
其中,卢一万ki,称为无量纲阻尼系数;∞。=
~/瓦再7了是复摆的固有频率;厂一F/1w:是无量纲
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驱动力振幅;∞,一cc,,/∞。是无量纲驱动力频率;
r=cu。t是无量纲时间.
方程(2)用解析法求解很困难,我们采用龙
格一库塔法对其进行数值求解,并用Origin软件作
图来显示计算结果.通过对p和厂参数的调节,我
们分别模拟研究复摆的简谐振动、阻尼振动、有外
力驱动时的周期运动和混沌运动.
3运动状态的模拟研究
(1)简谐振动
当无量纲阻尼系数口一0;无量纲驱动力振幅
.厂一0时,复摆处于理想振动状态,在摆角较小时,
J口
通过数值计算可得复摆的振动曲线及其在p和半
Ur
构成的相空间的运动轨迹,如图2所示.可以看
出,数值结果与解析结果完全相同.其相图是一闭
合曲线,进一步
明复摆运动的周期性.
图2复摆作简谐振动时的振动曲线和相轨迹
(2)阻尼振动
无阻尼的保守系统只是一种理想情况,实际
的系统总是或多或少地存在阻尼,阻尼的存在将
使保守系统封闭的相图遭到破坏.模拟时取无量
纲阻尼系数口=0.1,无量纲驱动力振幅厂=0,结
果显示在图3中.
1.2
O.8
0.4
O
-0.4
-0.8
0.6
0.3
与0
言-4).3
-0.6
-0.9
r 口
(a) (b)
图3,=0,p=o.1的振动曲线和相轨迹
由图3(a)可以看出,由于阻尼的存在,能量耗
散,复摆的振幅越来越小,直到停止在复摆的平衡
2l
位置.这种正阻尼的振荡的相图为一根内旋的螺
线(见图3(b)),曲线不再闭合,随着振幅逐渐减
小,速度越来越慢,直至停摆.无论初始的位置如
何,复摆最终都会趋向螺旋线的中心.相图上螺线
的中心为阻尼复摆运动的吸引点,称为吸引子.由
于中心点是不动点,所以又称不动点吸引子或者
定常吸引子.
(3)受迫振动
当复摆受一周期性驱动力作用时,随着驱动
力幅度的变化,复摆的运动情况也将变得非常复
杂.取无量纲阻尼系数口一0.3,无量纲驱动力频率
cUr一2/3,模拟结果显示,在.厂较小时,相空间的轨
线接近圆形,且正负半周比较对称,如图4(a)所
示,此时复摆仍然是稳定的单倍周期运动,即振动
周期与驱动力的周期相同.随着厂增大,相空间的
轨迹变得越来越扁且左右不对称,一端明显突出,
但仍然是单周期运动,如图4(b)所示.
1 5
1.O
-0.5
蕃0
1-o.5
一1.O
—I.5
2.0
1.O
暑0
毫一1.o
-2.0
-3.0
图4在受迫阻尼状态复摆单周期运动的相轨迹
/继续慢慢增大,运动更加复杂,当,增加到
1.26时,系统发生第一次倍周期分岔,复摆由一
倍周期运动进入二倍周期运动,即在驱动力的两
个周期内运动才恢复原状,如此周而复始地运动
下去,如图5(a)和(b)所示.如果驱动力的振动周
0
(d)
图5倍周期分岔时的振动曲线和相轨迹
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期用TF表示,则此时复摆的运动周期为2n,此
时相空间的运动轨迹为环绕两圈后才闭合的圆
环.在厂一1-265时,再次发生倍周期分岔,二周期
运动进入四倍周期运动,见图5(c)和(d),复摆运
动每隔4个驱动周期重复一次,相轨迹在二维环
面上转4圈后闭合.由此可见,随着驱动幅度的增
加,复摆运动出现倍周期分岔现象,由1丁,一2T,
一4TF,相空间的环面由1环分岔到2环,2环再
分岔到4环.
如果进一步增加驱动幅度,在,=1.275时,
系统出现三倍周期运动,如图6所示.根据“一
Yorke定理和Li-Yorke的混沌定义可知,如果系
统存在周期三的解,那么该系统就一定存在周期
为任何正整数的周期解,则一定会出现混沌,亦即
“周期三意味着混沌”.我们模拟发现,周期三过
后,当厂大于1.285时,复摆逐渐脱离周期运动,
其运动也不再是纯粹的振动,而是开始出现了小
幅转动,相空间的轨线在特定的区域无规则地绕
来绕去,开始出现混沌运动的趋势.当驱动幅度增
加到1.30时,系统对初始条件非常敏感,完全进
入混沌运动状态,如图7(a)所示,由它的运动曲线
可以清楚地看出,此时复摆已不是在平衡位置附
近的周期振动,而是一会儿做振动,一会儿做转
动,而且振动和转动的时间、地点、次数是完全不
确定的,具有随机性.此时的相轨迹在某一位置缠
绕多圈后又转入到另一处缠绕,轨线不再封闭.为
了说明对初值的高度敏感性,图7(b)中给出了初
始相位改变了0.01时的运动曲线和相轨迹,与
图7(a)比较出现了巨大的差异,这种“差之毫厘,
失之千里”的现象是混沌的显著特征,被称作“蝴
蝶效应”.这种“貌似无规”的混沌运动实际是确定
性系统中内在的随机行为,它反映了某种内在的
结构特征.
200220240260280300
f
(a)
图6三周期态振动曲线和相轨迹
图7混沌运动曲线和相轨迹
随着厂的继续增加,系统又恢复到简单的运
动状态,但此时的运动不再是往复摆动,而是规则
的单向旋转,如图8所示.当.厂增大到1.66时,出
现了貌似无规的旋转运动,见图9(a)中的曲线1,
其相应的相空间轨线显示在图9(b)中.它对初值
非常敏感,当初始相位改变0.01时,表现出截然
不同的结果,见图9(a)中的曲线2,这样的现象说
明,系统此时又进入混沌运动.不过,与图7中的
混沌轨迹明显不同,它的相空间轨迹是由旋转轨
线来回缠绕而成的.
-260
-270
-280
-290
∞-300
—310
-320
-330
-340
】00120140160180200
f 0
(a) (b)
图8转动曲线和相轨迹
图9旋转混沌运动曲线和相轨迹
我们的模拟还发现,如果继续增加,,系统还
会出现周期运动状态(单周期或多倍周期),即混
沌运动和周期运动可以交替出现.
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4结束语
综上所述,对于复摆系统,除了我们熟悉的简
谐振动、阻尼振动,当有周期性驱动力作用时,还
存在复杂的运动形式.如果保持其他条件不变,随
着驱动幅度增加,复摆可以由稳定的周期运动通
过倍周期分岔进入混沌状态,可以由混沌过渡到
单方向的旋转,还可以由旋转再进入混沌运动.在
复摆实验中,如果让学生在观测复摆线性运动的
同时,还能通过理论分析和计算机模拟观察复摆
的非线性运动及混沌现象,这不仅可以使实验内
容现代化,还可以有效地培养学生的科研能力.
参考 文 献
[1]赵凯华.从单摆到混沌[J].现代物理知识。1993。5(5):25
~28
[2]符五九,饶黄云.单摆系统通向混沌的道路[J].大学物理,
2008,27(1):5~10
[3]李文胜.复摆运动中的混沌现象及其计算机模拟[J].物理
与工程,2001.11(1):26~31
[4]余虹.大学物理实验[M].北京:科学出版杜,2007.152
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万方数据
复摆运动状态的研究
作者: 曲光伟, 王艳辉, 邹德滨, 张天洋, Qu Guangwei, Wang Yanhui, Zou Debin,
Zhang Tianyang
作者单位: 大连理工大学物理与光电工程学院,辽宁,大连,116023
刊名: 物理与工程
英文刊名: PHYSICS AND ENGINEERING
年,卷(期): 2009,19(5)
被引用次数: 0次
参考文献(4条)
1.赵凯华 从单摆到混沌 1993(05)
2.符五九.饶黄云 单摆系统通向混沌的道路 2008(01)
3.李文胜 复摆运动中的混沌现象及其计算机模拟 2001(11)
4.余虹 大学物理实验 2007
相似文献(2条)
1.期刊
李万祥.何玮.唐恭佩.Li Wanxiang.He Wei.Tang Gongpei 一类复摆系统的非线性动力学研究 -华中科
技大学学报(自然科学版)2007,35(5)
通过对一类复摆系统的建模,利用数值分析法,较为全面地论证了复摆系统通向混沌的倍周期道路、拟周期道路等复杂的混沌演化行为.用相图、庞加
莱映射图和分岔图等方式揭示出了系统混沌运动的形式和参数.对该系统分岔与混沌行为的研究,为工程实际中相关机械系统和振动系统的混沌预测和控
制具有指导意义,同时对这些系统的优化设计提供了理论依据.
2.期刊论文 孙红章.汤正新.刘哲.苏向英.刘磊.刘钢 复摆强迫振动中的混沌研究 -商丘师范学院学报2010,26(3)
对复摆模型的强迫振动方程进行数值求解,显示出复摆运动在外驱动力作用下由倍周期分岔走向混沌,验证了其混沌解的"蝴蝶效应",并得到了复摆作
混沌运动的几个奇怪吸引子.
本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_wlygc200905008.aspx
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