2011高数-x5

工科数学分析 大课例—11-x5 清华大学 数学科学系 刘坤林 2011-4-2 1 2011-cal3-x5 例 1 计算二重积分 σd122 −+∫∫ yx D ，其中 10|),{( ≤≤= xyxD ， }10 ≤≤ y [提示] 本题目的要点有两个： （1）将绝对值函数的性质用于平面区域的表达； （2）利用积分对区域的可加性正确计算积分。 【解】 如图，将D分成 1D 与 2D 两个子区域。 ( ) ( ) σσ σ d1d1 d1 2222 22 21 −++−−= −+ ∫∫∫∫ ∫∫ yxyx yx DD D 由于 ( ) ( ) 8 d1dd1 2 1 0 2 0 22 1 πρρϕσ π =−=−− ∫∫∫∫ ryx D ( ) ( ) yyxxyx x D d1dd1 22 1 1 1 0 22 2 2 −+=−+ ∫∫∫∫ −σ ( ) xxxxyyyx x d1 3 2 3 2d 3 2 3 221 0 1 1 3 21 0 2 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+−=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+= ∫∫ − ( ) Ixxxx 3 2 3 1d1 3 2d 3 2 2 1 21 0 21 0 +−=−+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= ∫∫ ， 其中 ( ) 16 3 22 1 4 3dcosd1 2 0 4 sin1 0 2 3 2 πππ =⋅⋅======−= ∫∫ = ttxxI tx ， ( ) 3 1 816 3 3 2 3 1d122 2 −=⋅+−=−+∫∫ ππσyx D .， 最后得到 3 1 43 1 88 d122 −=−+=−+∫∫ πππσyx D . 例 2 设 ( )xf 为连续函数， ∫ ∫= t ty dxxfdytF 1 )()( ，则 =)1(F ， =′ )(tF 。 【解】 0)1( =F 。交换积分次序，得 ∫ ∫= t ty dxxfdytF 1 )()( = ∫ ∫ ∫ −=t x t dxxxfdxdyxf1 1 1 )1)((])([ 于是， )1)(()( −=′ ttftF 。 例 3 设Ω是由曲面 228 yxz −−= 与平面 xz 2= 围成的空间区域，求Ω的体积V 。 工科数学分析 大课例题—11-x5 清华大学 数学科学系 刘坤林 2011-4-2 2 【解 1】Ω在 xOz平面上的投影域是 ⎩⎨ ⎧ −≤≤ ≤≤− 282 24 xzx x D： ，根据对称性可知 。πππ π π 2 81 22 1 4 3216cos216 cos3cos27 3 4 ])1(9[ 3 4)28( 3 4 8282 20 4 2 2 3 sin31 2 4 2 3 22 4 2 3 2 2 4 8 2 22 2 =×××=∫= ∫ ⋅= ∫ +−=∫ −−= ∫ ∫ −−=∫∫ −−= − =+ −− − − dtt dttt dxxdxxx dzzxdxdxdzzxV tx x x D 【解 2】/曲面 228 yxz −−= 与平面 xz 2= 的交线在 xOy平面上的投影曲线为 9)1( 22 =++ yx ， Ω在 xOy平面上的投影域是圆域 9)1( 22 ≤++ yxD： ，所以 。∫∫ −+−= ∫∫ −−−= D D dxdyyx dxdyxyxV ])1(9[ ]2)8[( 22 22 令 ⎩⎨ ⎧ = =+ θ θ sin cos1 ry rx ，则 ππθπ 2 81) 4 81 2 81(2)9(20 3 0 2 =−=∫ ∫ −= rdrrdV 。 例 4 设函数 ， yxx yxf 其他 ,10 ,0 ,6 ),( ≤≤≤ ⎩⎨ ⎧= ，（1）写出 ),( yxf 在 }1),{( 2 ≤+∈= yxRyxD 上的表达式；（2）计算 ∫∫ D dxdyyxf ),( 。 【解】（1） ， xyxxxyxf 其他 ,1, 2 10 ,0 ,6 ),( −≤≤≤≤ ⎩⎨ ⎧= （2） ∫∫ D dxdyyxf ),( ∫∫ ∫ ∫ ≤+ −== 1 2 1 0 1 6),( yx x x xdydxdxdyyxf . 4 1)126(2 1 0 2 =−= ∫ dxxx 工科数学分析 大课例题—11-x5 清华大学 数学科学系 刘坤林 2011-4-2 3 例 5 设 ∫∫ += D dyxI σ221 cos ， ( )∫∫ += D dyxI σ222 cos ， ( )∫∫ += D dyxI σ2223 cos ，其中 { }1),( 22 ≤+= yxyxD ，则（ A ） （A） 123 III >> （B） 321 III >> （C） 312 III >> （D） 213 III >> 【解】 利用二重积分的保序性质（或比较性质），当 122 ≤+ yx 时，有 ( ) 2222222 yxyxyx +≤+≤+ 又因 ucos 是减函数, 从而 ( ) ( ) 2222222 coscoscos yxyxyx +≥+≥+ , 由此有 ( ) ( ) ∫∫∫∫∫∫ +>+>+ DDD dyxdyxdyx σσσ 2222222 coscoscos 因此选 (A)。（30 秒 OK!） 例 6 求闭曲线 ( ) 44322 yxyx +=+ 所围区域的面积. 【解】 闭曲线 ( ) 44322 yxyx +=+ 的极坐标方程为 πϕϕϕρ 20,sincos 44 ≤≤+= . 面积 ∫ ∫∫∫ +== π ϕϕ ρρϕ20 sincos0 44 dddxdyS D ( ) πϕϕϕπ 4 3sincos 2 1 2 0 44 =+= ∫ d ∫∫ −=−= ππ ϕϕϕϕϕ 20 220 22 )2sin211(21)cossin21(21 dd πϕϕπ 4 3) 4 4cos11( 2 1 2 0∫ =−−= d 例 7 设 ),( yxf 为连续函数，则 rdrrrfd∫ ∫40 10 )sin,cos( π θθθ 等于 【 C 】 工科数学分析 大课例题—11-x5 清华大学 数学科学系 刘坤林 2011-4-2 4 （A） ∫ ∫ −220 1 2 ),( x x dyyxfdx （B） ∫ ∫ −220 10 2 ),( x dyyxfdx （C） ∫ ∫ −220 1 2 ),( y y dxyxfdy （D） ∫ ∫ −220 10 2 ),( y dxyxfdy 例 8 设区域 }{ ,0,1),( 22 ≥≤+= xyxyxD 计算二重积分 ∫∫ ++ += D dxdyyx xyI 221 1 。 【解】利用对称性，推出 ∫∫ =++D dxdyyx xy 0 1 22 ; 这样， ∫ ∫∫∫ − =+=+=++= 22 1 0 1 0 2 222 2ln 2 )1( 211 1 π π ππθ rnldr r rddxdy yx I D 。 例 9 设 ),( yxf 为连续函数，则 rdrrrfd∫ ∫40 10 )sin,cos( π θθθ 等于 【 C 】 （A） ∫ ∫ −220 1 2 ),( x x dyyxfdx （B） ∫ ∫ −220 10 2 ),( x dyyxfdx （C） ∫ ∫ −220 1 2 ),( y y dxyxfdy （D） ∫ ∫ −220 10 2 ),( y dxyxfdy 例 10 求 ∫∫ D ydxdy ,其中D为 axyx ≤+ 22 与 ayyx ≤+ 22 的公共部分( 0>a ) 【 解 】 ∫ ∫∫ ∫∫∫ ⋅+⋅= 2 4 cos 0 4 0 sin 0 sinsin π π ϕπ ϕ ρϕρρϕρϕρρϕ aa D ddddydxdy ∫∫ ⋅+⋅= 2 4 334 0 33 cos 3 1sinsin 3 1sin π π π ϕϕϕϕϕϕ dada 其中 ∫∫ −=⋅ 40 2340 33 )2 2cos1(31sin31sin ππ ϕϕϕϕϕ dada ∫ −+= 40 2 3 )2cos22cos1( 12 π ϕϕϕ da 工科数学分析 大课例题—11-x5 清华大学 数学科学系 刘坤林 2011-4-2 5 ∫ −++= 40 3 )2cos2 2 4cos11( 12 π ϕϕϕ da )83( 96 )1 42 3( 12 33 −=−= ππ aa 482 1 12 coscos 3 1cos 3 1sin 343 2 4 332 4 33 aadada =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=−=⋅ ∫∫ ππππ ϕϕϕϕϕ ( )2 3296 )63( 96 2)83( 3333 −==−=+−=∫∫ πππ aaaaydxdy D 例 11 设 ∫ ∫ += t tx yx dyyedxtF 0 cos)( ( 0>t )，则 =′ )(tF tete tt coscos2 − ． 【解】（方法 1）区域 tyxtxD ≤≤≤≤ ,0: 交换次序为 yxtyD ≤≤≤≤ 0,0: 。 ∫∫ ∫ −== t yyt y xy dyyeedxedyyetF 00 0 cos)1(cos)( ， =′ )(tF tete tt coscos2 − ． （方法 2）令 ∫∫ += vx yxu dyyedxvuG cos),( 0 ，则 ( )ttGtF ,)( = ，因此， ''''' 11)( vuvu GGGGtF +=⋅+⋅= ，其中， 0cos' == ∫ +tt ytu dyyeG ， )1(coscoscos 00 ' −=== ∫∫ + ttt xtt txv etedxetedxteG （方法 3---用乘法公式，属于提高部分，不要求掌握） 第一项：将内层积分的下限 tx换成 ， 第二项：将内层积分函数的 ty换成 ， ∫∫ ++ +=′ t txtt yx dxtedyyetF 0 coscos)( ∫+= t xt dxete 0cos0 )1(cos −= tt ete