金融风险与金融数学课件（北京大学）

null金融风险和金融数学金融风险和金融数学史树中 北京大学金融数学与金融研究中心 北京大学光华管理学院金融系 什么是风险和什么是金融风险？什么是风险和什么是金融风险？风险是可能发生的危险。 风险＝不确定性。 金融风险就是金融中可能发生的危险。 换句话说，就是可能发生的钱财损失。 金融风险＝金融中的不确定性。 金融风险包括市场风险，信用风险、流动性风险，营运风险等等。什么是金融经济学和金融数学？什么是金融经济学和金融数学？金融经济学与其他经济学科的主要区别就在于市场环境的不确定性。 金融经济学主要研究不确定性市场环境下的金融商品的定价理论。 金融数学就是金融商品定价的数学理论。 因此，也可以说，金融经济学以至金融数学都是研究金融风险的理论。研究不确定性的数学－概率论研究不确定性的数学－概率论直到现在为止，研究不确定性的最主要的数学学科是概率论 (其他还有：模糊数学、混沌理论、集值分析、微分包含等)。 概率论几乎可以说是起源于研究“金融风险”的。那是一种简单的“金融风险”问：赌博。概率论的早期历史概率论的早期历史Blaise Pascal (1623-1662)Pierre de Fermat (1601-1665)1654 年 Pascal 与 Fermat 的五封通信，奠定概率论的基础。他们当时考虑一个掷骰子问题，开始形成数学期望的概念，并以“输赢的钱的数学期望”来为赌博“定价”。Pascal － Fermat 问题Pascal － Fermat 问题二人掷骰子赌博，先掷满 5 次双 6 点者赢。有一次，A 掷满 4 次双 6 点，B 掷满 3 次双 6 点。由于天色已晚，两人无意再赌下去，那么该怎样分割赌注？ ：A 得 3/4, B 得 1/4. 结论：应该用数学期望来定价。概率论的早期历史 (续)概率论的早期历史 (续)Jacob Bernoulli (1654-1705)1713 年发表《猜度术 (Ars Conjectandi)》。这是当时最重要、最有原创性的概率论著作。由此引起所谓“圣彼德堡悖论”问题。“圣彼德堡悖论”问题“圣彼德堡悖论”问题有这样一场赌博：第一次赢得 1 元，第一次输第二次赢得 2 元，前两次输第三次赢得 4 元，……一般情形为前 n 次输，第 n+1 次赢得 元。问：应先付多少钱，才能使这场赌博是“公平”的？ 如果用数学期望来定价，答案将是无穷！“圣彼德堡悖论”“圣彼德堡悖论”1738 年发表《对机遇性赌博的分析》提出解决“圣彼德堡悖论”的“风险度量新理论”。指出用“钱的数学期望”来作为决策函数不妥。应该用“钱的函数的数学期望”。 Daniel Bernoulli （1700-1782)期望效用函数期望效用函数 1944 年在巨著《对策论与经济行为》中用数学公理化方法提出期望效用函数。这是经济学中首次严格定义风险。John von Neumann (1903-1957)Oskar Morgenstern (1902-1977)用期望效用函数来刻划风险用期望效用函数来刻划风险所谓期望效用函数是定义在一个随机变量集合上的函数，它在一个随机变量上的取值等于它作为数值函数在该随机变量上取值的数学期望。用它来判断有风险的利益，那就是比较“钱的函数的数学期望”。 假定 (x,y,p) 表示以概率 p 获得 x, 以概率 (1-p) 获得 y 的机会，那么其期望效用函数值为 u((x,y,p))=pu(x)+(1-p)u(y).有风险与无风险之间的比较有风险与无风险之间的比较 机会 (x,y,p) 与肯定得到 px+(1-p)y 之间的利益比较就是比较 u((x,y,p))=pu(x)+(1-p)u(y) 与 u(px+(1-p)y) 之间的大小。如果它们相等，表示对风险中性 (不在乎)；一般取 <，表示对风险厌恶。取 > 表示对风险爱好。Arrow-Pratt 风险厌恶度量Arrow-Pratt 风险厌恶度量 这就归结为函数 u 的凸性的比较。它的程度可用 -u’’/u’ 来度量。它由 Arrow (1965) 和 Pratt (1964) 所提出。期望效用函数的争论期望效用函数的争论期望效用函数似乎是相当人为、相当主观的概念。一开始就受到许多批评。其中最著名的是“ Allais 悖论” (1953)。 由此引起许多非期望效用函数的研究，涉及许多古怪的数学。但都不很成功。Maurice Allais (1911-) 1986 年诺贝尔经济奖获得者。Knight 的 《风险、不确定性与利润》(1921)Knight 的 《风险、不确定性与利润》(1921)Knight 不承认“风险=不确定性”，提出“风险”是有概率分布的随机性，而“不确定性”是不可能有概率分布的随机性。 Knight 的观点并未被普遍接受。但是这一观点成为研究方法上的区别。Frank Hyneman Knight (1885-1972) Arrow-Debreu 的不确定状态Arrow-Debreu 的不确定状态1954 年 Arrow 和Debreu 发表一般经济均衡的严格数学公理化证明。 他们在处理不确定性时采用Knight 的观点。光有状态，没有概率。Kenneth J. Arrow （1921-) 1972年诺贝尔经济学奖获得者Gerard Debreu (1921-) 1983年诺贝尔经济奖获得者Arrow (1953) 《证券价值对于风险的最优配置的作用》Arrow (1953) 《证券价值对于风险的最优配置的作用》 Arrow 的文章被认为是第一篇用数学模型论证证券如何分散金融风险的研究论文。“华尔街的革命”“华尔街的革命”null ‘在华尔街发生的两次革命已经开创了在金融界需要研究型的数学家的专长。第一次革命是对股权基金管理的诀窍引进数量方法，它开始于 Harry Markowitz 在 1952 年发表的博士论文《证券组合选择》。第二次金融中的革命开始于 1973 年 Fisher Black 和 Myron Scholes (请教了Robert Merton)发表对期权定价问题的解答。Black-Scholes 公式给金融行业带来了现代鞅和随机分析的方法；这种方法使投资银行能够对无穷无尽的“衍生证券”进行生产、定价和套期保值。……’1990 年诺贝尔经济奖获得者1990 年诺贝尔经济奖获得者Harry Markowitz, (1927-) 《证券组合选择理论》Merton Miller, (1923-2000) Modigliani-Miller 定理 (MMT)William Sharpe, (1934-)资本资产定价模型（CAPM)1997 年诺贝尔经济奖获得者1997 年诺贝尔经济奖获得者Fisher Black (1938-1995)期权定价公式 1973 年 Black-Scholes-Merton期权定价理论问世 Robert Merton, (1944-)《连续时间金融学》Myron Scholes, (1941-) 期权定价公式Markowitz 证券组合选择问题Markowitz 证券组合选择问题一个投资者同时在许多种证券上投资，那么应该如何选择各种证券的投资比例，使得投资收益最大，风险最小。 Markowitz 把证券的收益率看作一个随机变量，而收益定义为这个随机变量的数学期望，风险则定义为这个随机变量的差。 如果把各证券的投资比例看作变量，问题就归结为怎样使证券组合的收益最大、风险最小的数学规划。 Markowitz 问题的数学形式Markowitz 问题的数学形式Markowitz 理论的基本结论Markowitz 理论的基本结论对每一固定收益都求出其最小风险，那么在风险－收益平面上，就可画出一条曲线，它称为组合前沿。 在证券允许卖空的条件下，组合前沿是一条双曲线的一支；在证券不允许卖空的条件下，组合前沿是若干段双曲线段的拼接。 组合前沿的上半部称为有效前沿。对于有效前沿上的证券组合来说，不存在收益和风险两方面都优于它的证券组合。风险－收益图 和 有效前沿风险－收益图 和 有效前沿风险收益风险－收益图 和 有效前沿风险－收益图 和 有效前沿沪深两市的风险收益图沪深两市的风险收益图Markowitz 的基本思想Markowitz 的基本思想风险在某种意义下是可以度量的。 各种风险有可能互相抑制，或者说可能“对冲”。因此，投资不要“把鸡蛋放在一个篮子里”，而要“分散化”。 在某种“最优投资”的意义下，收益大意味着要承担的风险也更大。互相关的概念互相关的概念关于我国股市的互相关关于我国股市的互相关Tobin 的二基金分离定理Tobin 的二基金分离定理由于 Markowitz 问题是线性问题，因而两个有不同收益的解的线性组合就可生成整个组合前沿。 这两个特殊的组合可以看成“基金”。这个结果称为二基金分离定理。它是Tobin (1958) 首先提出的。James Tobin, (1918-) 1981年诺贝尔经济学奖获得者资本资产定价模型 (CAPM)资本资产定价模型 (CAPM) Sharpe (1964) 和另一些经济学家，则进一步在一般经济均衡的框架下，假定所有投资者都以 Markowitz 的准则来决策，而导出全市场的证券组合是有效的以及所谓资本资产定价模型 (Capital Asset Pricing Model, CAPM)。这一模型认为，每种证券的收益率都只与市场收益率和无风险收益率有关。 资本资产定价模型 (CAPM)资本资产定价模型 (CAPM)无风险收益率证券收益率市场收益率E : 平均值 (数学期望) Cov: 协方差；Var: 方差各种证券的风险－收益图各种证券的风险－收益图无套利假设无套利假设 Miller 与 Modigliani (1958)的 M-M 定理不但为公司理财这门新学科奠定了基础，并且首次在文献中明确提出无套利假设。所谓无套利假设是指在一个完善的金融市场中，不存在套利机会 (即确定的低买高卖之类的机会)。Franco Modigliani, (1918-) 1985 年诺贝尔经济奖获得者无套利假设和 B-S 期权定价理论无套利假设和 B-S 期权定价理论以无套利假设作为出发点的一大成就也就是 Black-Scholes 期权定价理论。 期权是指以某固定的执行价格在一定的期限内买入某种股票的权利。期权在它被执行时，如果股票的市价高于期权规定的执行价格，那么期权的价格就是市价与执行价格之差；反之，期权是无用的，其价格为零。 现在要问，期权未到期时的价值。null 为解决这一问题，Black 和 Scholes先把模型连续动态化。他们假定模型中有两种证券，一种是债券，它是无风险证券，其收益率是常数；另一种是股票，它是风险证券，沿用 Markowitz 的传统，它也可用证券收益率的期望和方差来刻划，但是动态化以后，其价格的变化满足一个随机微分方程，其含义是随时间变化的随机收益率，其期望值和方差都与时间间隔成正比。这种随机微分方程称为几何布朗运动。null 然后，利用每一时刻都可通过股票和期权的适当组合对冲风险，使得该组合变成无风险证券，从而就可得到期权价格与股票价格之间的一个偏微分方程，其中的参数是时间、期权的执行价格、债券的利率和股票价格的“波动率”。出人意料的是这一方程居然还有显式解。于是 Black-Scholes 期权定价公式就这样问世了。 Black-Scholes 期权定价公式Black-Scholes 期权定价公式Black-Scholes 期权定价公式Black-Scholes 期权定价公式c(x,t) 是股价为 x, 时刻为 t 的欧式买入期权的价值； K 为期权的执行价；T 是到期日；r 是无风险利率； 为股票价格的波动率（标准差）； N 称为累积正态分布函数； 除了  需要估计以外，其他都可直接观察到，用起来很方便。Black-Scholes 模型和方程式Black-Scholes 模型和方程式债券方程：股票方程：Black-Scholes 方程Black-Scholes 期权定价公式Black-Scholes 期权定价公式股价期权价t=Tt报告

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