传热学-非稳态导热2

半无限大物体：以无限大的 y-z平面为界面，在正 x 方向延伸至无穷远的物体。 §3-3 半无限大物体的瞬态导热 x 大地可看作半无限大物体 半无限大物体的瞬态导热实例1：地下建筑物刚刚建 成时，室温和周围壁面温度过低，不能马上投入使 用，必须对建筑物进行预热，使室温升高到规定值 F Q q=Q/F 预热过程中，加热量 Q 假设为 常量、壁面温度逐渐升高；墙 壁面积为常数，所以 q=const 第二类边界条件下瞬态导热 半无限大物体的瞬态导热实例 2：人工气候室的调节初始阶 段，若要求人工气候室在一定 的时间内达到某一定温度，室 内的加热或冷却设备全负荷工 作，加热量或冷却量 Q 为常 量、壁面温度变化；墙壁面积 为常数，所以 q=const 第二类边界条件 下瞬态导热 半无限大物体的瞬态导热： 第一类边界条件 第二类边界条件 第三类边界条件 F Q q=Q/F 0),( txt −= τθ t0 ——半无限大物体初始温度 2 2 x a ∂ ∂=∂ ∂ θ τ θ 0 ,0 00 === -ttθτ 0 , const;- ,0 =∞→=∂∂== θθλ xxqx w 半无限大均质物体、第二类边 界条件下的瞬态导热 x 0 2 2 x tat ∂ ∂=∂ ∂ τ ,0 0tt ==τ 0 , const;- ,0 ttxxtqx w =∞→=∂∂== λ x 0 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= ττλτθ a xaqx w 2 ierfc 2),( 常热流密度条件下半 无限大物体内温度场： ( )u a x a xu ierfc 2 ierfc , 2 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= ττ令 高斯误差补函数的一次积分 （数值表—附录14） i —一次积分; c —补函数 erf —高斯误差 ( ) ( ) ( )uueuuu u u erfc 1d erfcierfc 2 −== − ∞∫ π ( ) ( ) ∫ −−=−= u u ueuu 0 d 21erf1erfc 2 π 高斯误差补函数 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= ττλτθ a xaqx w 2 ierfc2),( 常热流密度边界条件下 半无限大物体内温度场： 在表面热流密度 qw 的作用 下，半无限大物体的表面温 度逐渐升高 在某一个厚度范围内的温度变化比较明显 δ(τ) — 渗透厚度，随时间不断增大；在所考虑的时 间范围内，界面上的热作用所波及的厚度 对于有限厚度的物体，在所考虑的时间范围内，若 渗透厚度 δ(τ) 小于物体本身的厚度，可以认为该物 体是半无限大物体 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= ττλτθ a xaqx w 2 ierfc2),( 常热流密度边界条件下 半无限大物体内温度场： 在常热流密度qw边界条件下， 假定物体中的温度分布是三次 方曲线，可以用近似的分析解 法（积分法）得到 δ(τ)： 表面上的温度分布： ( ) τττδ aa 46.312 ≈= ( ) π 10ierfc :0 == 时x π τ λτθθ aqw w 2),0( == 表面上的温度分布： π τ λτθτθ aqw w 2),0()( == 表面上的加热功率为： τ τλ π τ τθλ a tt a q www 13.1 )( 2 )( 0−== 若把室温提高到 tf(τ), 表面上的加热功率为： ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + −= 20 m W 13.11 λ τa h tt q fw ))()(( 13.1 )( 0 ττ λτ τ wfw w w tthq a ttq −= −= 第一类边界条件下，半无限大物体的温度分布： 例：地下某建筑物，墙厚48cm，F=10m2，λ=0.815， 加热5个小时后，使墙壁温度升高了18度，问：Q=? ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=− − τ τ a x tt tt w w 2 erf)( 0 第三类边界条件下，半无限大物体的温度分布:（略） ( ) m48.0m33.0360051015.51212 7 <=××××== −ττδ a 可以把该墙看作第二类边界条件下的半无限大物体 W1348 360051015.513.1 18815.010 13.1 10 7 0 =×××××= −×=⋅= − τλ a ttqFQ ww 一、无限长圆柱体和球体 §3-4 其他形状物体的瞬态导热 对无限长圆柱体和球体的瞬态导热，可以用前述的分 离变量法得到温度分布的分析解： 与无限大平壁类似，对于无限长圆柱体和球体瞬态导 热，Fo≥0.2时，加热或冷却过程进入正常状况阶段。 2 0 Fo ;Bi ) Fo, Bi,( R a λ hR R rf τθ θ === Bi<0.1时，可以用集总参数法分析 λ hR=Bi Fo≥0.2时，无限长圆柱体和球体的瞬态导热可以用计 算线图（诺谟图） 00 )( )( ),(),( θ τθ τθ τθ θ τθ m m xx ⋅= 00 )( )( ),(),( θ τθ τθ τθ θ τθ m m xx ⋅= 经过 τ秒钟、每平方米平壁放出或吸收的热量： ∞→== ttcRQfQ Q 00 2 0 0 m );Bi Fo,( 圆柱体每—θρπτ 二、无限长直角柱体、有限长圆柱体和六面体 无限大平壁、无限长圆柱体和球体的加热和冷却问题 都是一维瞬态导热。 1、无限长直角柱体中的瞬态导热 直角柱体的截面：2δx × 2δy 可以证明：无限长直角柱体 的温度场是这两块无限大平 壁温度场的乘积 二维或三维瞬态导热问题可由这些一维问题的解确定 可以看成是厚度为 2δx 和厚度 为 2δy 的两块无限大平壁垂直 相交形成的 可以证明：无限长直角柱体的 温度场是这两块无限大平壁温 度场的乘积（试证明之） （要求初始、边界条件一致） 000 ),(),(),,( θ τθ θ τθ θ τθ yxyx = 2、有限长圆柱体中的瞬态导热 长度：2δ；半径：R 可以看成是半径为 R 的无限 长圆柱体和厚度为 2δ 的无限 大平壁垂直相交形成的 000 ),(),(),,( θ τθ θ τθ θ τθ xrxr = 2δ R 3、六面体中的瞬态导热 六面体截面：2L1 × 2L2× 2L3 可以看成是厚度分别为 2L1、 2L2和 2L3的三块无限 大平壁垂直相交形成的 0000 ),(),(),(),,,( θ τθ θ τθ θ τθ θ τθ zyxzyx = 二维或三维瞬态导热过程中放热量或吸热量计算方法: ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 121total 1 oooo Q Q Q Q Q Q Q Q ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 213 121total 11 1 ooo oooo Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q 两块无限大物体垂直相交形成的物体的瞬态导热过程： 三块无限大物体垂直相交形成的物体的瞬态导热过程： 一、周期性非稳态导热现象 §3-5 周期性非稳态导热 供热通风与空气调节工程中，常见周期性非稳态导热 现象：建筑物外围护结构、大地 —— 室外空气温度 周期变化及太阳辐射周期变化的影响 周期性非稳态导热：物体温度按一定的周期发生变化 气温日变化周期：24h 室外空气温度下午2~3点最高；清晨4~5点最低 综合温度：工程上，把室外空气与太阳辐射二者对围 护结构的共同作用，用一个假想的温度来衡量，te。 ht f ,sI et w1t )()( w1es1 tthAAItthAΦ wf −=+−= α h Itt f se α+= α—围护结构对太阳辐射的吸收系数 某工厂屋顶结构在夏季太 阳辐射和室外空气综合作 用下的温度变化实测数据 在室外综合温度 te的周期波 动下，围护结构表面及内 部的温度都产生周期波动 波动振幅：温度波动的最 大值与平均值之差 mmax ttA −=由上图： 综合温度振幅：37.1度；屋顶外表面温度振幅：28.6度 屋顶内表面温度的振幅：4.9度 温度波动振幅逐层减小——温度波的衰减 不同地点温度最大值出现的时 间不同： 综合温度最大值—中午12点 屋顶外表面温度最大值12点半 屋顶内表面温度最大值近16点 晚上室外气温已经下降，而室内温度还需经过一段延 迟时间才能降下来；尤其西晒房间西墙内表面温度最 大值约在22点左右出现——时间延迟 温度最大值出现的时间逐层推 迟的现象——时间延迟 夏天晚上人们喜欢在室外乘凉，原因何在？ 故宫的墙壁厚度很厚，为什么？ ——温度波的衰减 实测数据表明：综合温度的周期性波动规律可以视为 一个简单的简谐波曲线 工程中把环境温度或表面温度的波动概括为简谐振动 实测综 合温度 简谐波 二、半无限大物体在周期性变化边界条件下的温度波 1、第一类边界条件下的温度场 均质半无限大物体导热方程： 半无限大物体：以无限大的 y-z平面为界面，在正 x 方向延伸至无穷远的物体。 0 x Aw Aw 2 2 x tat ∂ ∂=∂ ∂ τ 单值性条件： 几何条件：半无限大物体 物理条件：qv=0，常物性 时间条件：无 Why? 周期性变化边界条件的 特点：边界条件周期性 变化⇒物体中各处温度 周而复始地周期性变化 ⇒不存在初始条件 任意位置、某一时刻过余温度 0 x Aw Aw 边界条件： tm ——周期性变化的平均温度 周期性变化边界条件的特点： （1）边界条件周期性变化 ⇒ 物体中各处温度周而复始地周 期性变化⇒不存在初始条件 （2）边界条件可以认为是一 个简谐波 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=−== τπττθ T Attx wm 2cos),0(),0( :0 mtxtx −= ),(),( ττθ Aw ——物体表面温度波的振幅 T ——温度波的周期 0),(),( : =−∞=∞∞→ mttx ττθ 0 x Aw Aw 用分离变量法求解，假设： 导热方程： 2 2 x tat ∂ ∂=∂ ∂ τ 2 2 x a ∂ ∂=∂ ∂ θ τ θ mtxtx −= ),(),( ττθ )()(),( τϕτθ ⋅= xXx 2 2 x XaX ∂ ∂=∂ ∂ ϕτ ϕ 2 211 x X Xa ∂ ∂=∂ ∂ τ ϕ ϕ 2 2 211 ετ ϕ ϕ == dx Xd Xd d a 0 0 2 2 2 2 =−=− X dx Xda d d εϕετ ϕ 0 x Aw Aw 0 0 2 2 2 2 =− =− X dx Xd a d d ε ϕετ ϕ xxa CeBexXAe εετετϕ −+== )( )( 2 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+== xxa CeBeAexXx εετετϕτθ 2)()(),( 2 2 211 ετ ϕ ϕ −== dx Xd Xd d a 若假设： 0 0 22 2 2 =+=+ X dx Xda d d εϕετ ϕ )sin()cos()( )( 2 xCxBxXAe a εετϕ τε +== − 0 x Aw Aw )sin()cos()( )( 2 xCxBxX Ae a εε τϕ τε += = − ( ))sin()cos()()(),( 2 xCxBAexXx a εετϕτθ τε +== − 不符合事实 ,0),( : =∞∞→ xθτ 与边界条件不符 ,0),( : ≠∞∞→ τθx 因此，该假设不成立！ 22 211 ετ ϕ ϕ −== dx Xd Xd d a ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+== xxa CeBeAexXx εετετϕτθ 2)()(),( 0 x Aw Aw ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+= = xxa CeBeAe xXx εετε τϕτθ 2 )()(),( 边界条件： 0),(),( : 2cos),0(),0( :0 =−∞=∞∞→ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=−== m wm ttx T Attx ττθ τπττθ B=0 xaxa eDeCeAex ετεετετθ −=−= ⋅ 22),( aT i πε 22 =取： aT i πε )1( += ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −−+− == x aTT ix aT x aT i T i eDeeDex πτπππτπτθ 2 )1(2 ),( 0 x Aw Aw 边界条件： ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=−== τπττθ T Attx wm 2cos),0(),0( :0 ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −−= x aTT ix aT eDex πτππ τθ 2 ),( xixe ix sincos ±=± ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= − x aTT ix aTT Dex x aT πτππτπτθ π 2sin2cos),( ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= τπτπτπτθ T A T i T D w 2cos2sin2cos),0( ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= − x aTT eAx x aT πτπτθ π 2cos),( w D=Aw 虚数项 不出现 0 x Aw Aw ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= − x aTT eAx x aT πτπτθ π 2cos),( w 振幅 角速度 相位角 相位差 2、温度波的特性 半无限大物体内任意平面x处，它的温度随时间的变 化与表面x=0处的温度变化规律相类似，都是周期相 同的余弦函数规律 （1）温度波的衰减特性 任意平面x处温度简谐波的振幅不是 Aw，而是： x aTeAA π−= wx 随着 x的增大，振幅是衰减的 物体材料对温度波的阻尼作用 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= τπτθ T Aw 2cos),0( 随着 x的增大，振幅是衰减的 物体材料对温度波的阻尼作用 0 x Aw Aw 通常认为 V≥100 时，温度波就不存在了（温度波 动振幅衰减到可以忽略不计） x1 Ax1 x2 Ax2 x aTeAA π−= wx 衰减度：振幅衰减的程度 x aTe A AV π == x w 显波层 浅埋 建筑物 通常把 V<100 时的地段称为显波层，浅埋建筑物 等温层深埋建筑物 通常把 V>100 时的地段称为等温层，深埋建筑物 随着 x的增大，振幅是衰减的——物体材料对温度 波的阻尼作用 深度越深，振幅衰减越甚——当深度足够大时，温 度波动振幅衰减到可以忽略不计的程度。地温可以 认为终年保持不变——等温层 例：土壤，a=6.17×10-7m2/s 0 x Aw Aw x1 Ax1 x2 Ax2 x aTeAA π−= wx 显波层 浅埋 建筑物 等温层深埋建筑物 100 : 71017.6 x w ==== −× xTxaT ee A AV ππ 令 ⎩⎨ ⎧ = == × = − )h8760( m5.11 )h24( m6.0 1017.6 100ln 7 T T T x 年波， 日波， π 0 x Aw Aw x1 Ax1 x2 Ax2 显波层 浅埋 建筑物 等温层深埋建筑物 ⎩⎨ ⎧ = == × = − )h8760( m5.11 )h24( m6.0 1017.6 100ln 7 T T T x 年波， 日波， π 弹药库建在深山洞中，洞中的温度一年四季变化很小 冬天贮藏大白菜只要挖1m左右深即可，因为日波的 穿透深度不到1m 故宫的墙很厚，为了保证室内温度四季基本稳定 0 x Aw Aw x1 Ax1 x2 Ax2 x aTeAA π−= wx 显波层 浅埋 建筑物 等温层深埋建筑物 影响温度波衰减的主要因素： 导温系数 a、波动周期T、深度 x a↑ →温度波的影响越深入、波的衰减越慢 T ↑ →温度波的影响越深入、波的衰减越慢 年温度波衰减得比日温度变化温度波衰减得慢很多、 其影响深入得多 温度波的频率越快、波的衰减越快、影响越浅 微波加热或材料微波烧结 延迟时间 ξ： 任何厚度 x 处温度达到最大值的时间比表面温度达到 最大值的时间落后一个相位角 ϕ ——温度波的延迟 （2）温度波的延迟 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= − x aTT eAx x aT πτπτθ π 2cos),( w 振幅 角速度 相位角 相位差 ππ π ξ a Tx T x aT 22 ===角速度 相位角12cos =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − x aTT πτπ 02 =− x aTT πτπ 延迟时间 ξ： 例：年温度波在地 下3.2 m处温度波的 延迟时间为： πξ a Tx 2 = 天70h68.1792 1017.6 36008760 2 2.3 2 7 ≈=×× ×== − ππξ a Tx 地下3.2 m处土壤中年波出现波峰时间比地面晚70天 有西晒的房屋，夏天下午室外的气温很高；由于延迟 性，室内晚上正好最热——西晒的房屋晚上很热 同一时刻地下不同深度 x 处的 温度值不同、最高温度不同； 达到最大值的时间也不同 ——具有衰减性和延迟性 （3）温度波的传播特性 0 x Aw Aw x1 Ax1 x2 Ax2 显波层 浅埋 建筑物 等温层深埋建筑物 把同一时刻、各 x 处的温度 连接起来，就象一个波 ——温度波具有传递特性 x aTeAA π−= wx波幅： 延迟时间 ξ： πξ a Tx 2 = 传播速度： T a a Tx xxu π π ξ 2 2 === 波长： [ ]m 2 0 Ta uTx π= = τ1 与 τ2 时刻温度波 半无限大物体中温 度波的波长 x0： 同一时刻温度分布 曲线上相角相同的 两相邻平面之间的 距离 相角相同的两相邻 平面之间的相角差 为2π ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= − x aTT eAx x aT πτπτθ π 2cos),( w 振幅 角速度 相位角 ππ 20 =xaT aTx π20 =波长： 3、周期性变化的第三类边界条件下的温度分布 前面分析了给定物体表面温度的 第一类边界条件（周期性变化） 的结果。给定第三类边界条件结 果如何？ 0 x Aw Aw 0 x h, tf 第三类边界条件：给出半无限大 物体与周围流体之间的对流换热 系数 h 和周围流体温度周期性变 化的规律 tf(τ) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=−= τπττθ T Att ffmff 2cos)()( Af ——流体温度波动的振幅 0 x h, tf —— 物体表面温度波振幅与 流体温度波振幅的比值f w A A=ϕ aThaTh πλπλ ϕ 2 221 1 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+ = 温度分布： ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−= − ψπτπϕτθ π x aTT eAx x aT 2cos),( f ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = πλ ψ aTh1 1arctg —— 物体表面温度波落后于 流体温度波的相角 ψ ϕ ψ 都是和 22λaTh 的单值函数 ϕ ψ 都是和 22λaTh 的单值函数 0 f w == A Aϕ D45=ψ时 02 2 =λ aTh 945.0 f w == A Aϕ D3=ψ时 10002 2 =λ aTh ↓↑ ⇒↑ ψϕ λ , 2 2aTh 三、周期性变化的热流波 x x x xtxq ∂ ∂−=∂ ∂−= ),(),(),( τθλτλτ热流密度： ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= − x aTT eAx x aT πτπτθ π 2cos),( w 4 2cos 2 2sin2cos 2sin 2cos),( w w w w ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−= ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛− ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−− ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−−= − − − − ππτππλ πτππτππλ ππτπλ πτππλτ π π π π x aTT e aT A x aTT x aTT e aT A aT x aTT eA x aTT e aT Axq x aT x aT x aT x aT ) 4 cos(2 sincos πα αα + =− 0 x Aqx Aqx 4 2cos 2),( w ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−= − ππτππλτ π x aTT e aT Axq x aT 振幅 qxA 4 2cos 2),0( w, ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +== πτππλττ TaTAqqw 在边界温度周期性变化的边界条件下，半无限大物体 表面的热流密度也必然是周期性地从表面导入或导出 半无限大物体表面的热流密度也是按简谐波规律变 化，而表面热流密度波比其温度波提前一个相位 π/4，相当于提前1/8周期 振幅 qwA 4 2cos 2),0( w, ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +== πτππλττ TaTAqqw 2 2 w w T cA aT AA wq λπρ πλ = = 表面热流密度： 表面热流密度振幅： ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡== Cm W 2 2 w DT c A A S wq λπρ 材料的蓄热系数 材料的蓄热系数：表示当物体表面温度波振幅为1°C 时，导入物体的最大热流密度 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡== Cm W 2 2 w DT c A A S wq λπρ 材料的蓄热系数 S 与材料的热物性以及波动的周期有 关。手册中给出各种材料的蓄热系数时其右下角标表 示周期 冰S24=18.5；水泥S24=11.2；木材S24=3.6；地毯S24=0.5 赤脚在冰、水泥、木材、地毯上行走感觉不同。Why？ 赤脚在地上走时，脚上有一个周期性变化的边界条件。 蓄热系数小的物质从皮肤吸收的热量少，使人感觉在 木材和地毯上行走时比在水泥和冰面上暖和。