复合函数初步

nullnull复合函数初步 null复合函数： 如果y是u的函数,而u又是x的函数, 即,y=f(u),u=g(x),那么y关于x的函数 y=f[g(x)]叫做函数f和g的复合函数,u 叫做中间变量.注意：若y=f(u)定义域为A，u=g(x)值域为B， 则必须满足B  Anull求复合函数的定义域(1)已知函数y=f(x)的定义域,求它的 复合函数f[g(x)]的定义域.　　我们知道函数　　　　　　　的定义域为____________, 则f(x+1)的定义域为___________.{x|-1≤x≤1}{x|-2≤x≤0}null训练：已知f(x)的定义域是[-1,4],求 g(x)=f(x+1)+f(1-x)的定义域. {x|-2≤x≤2}说明: 函数的定义域是指自变量x的取值 范围, 所以对于g(x)=f(x+1)+f(1-x) 的定义域,应设x+1,1-x的取值范围满 足y=f(x)中的x的取值范围.null结论:(1)已知函数f(x)的定义域为[a,b],求其 复合函数f[g(x)]的定义域应有不等 式a≤g(x)≤b解出x即得.null求复合函数的定义域　　我们知道函数　　　　　　　　的定义域为____________, 则f(x)的定义域为___________.{x|0≤x≤1}(2)已知复合函数y=f[g(x)]的定义域, 求原函数y=f(x)的定义域.{x|2≤x≤3}训练：已知f(x+1)的定义域是[-1,4],求 f(x)的定义域. x∈[0,5]null结论:(1)已知函数f(x)的定义域为[a,b],求其 复合函数f[g(x)]的定义域，应由不 　 等式a≤g(x)≤b解出x即得.(2)已知复合函数y=f[g(x)]的定义域为 [a,b],求原函数y=f(x)的定义域,应 求出y=g(x)的值域(x∈[a,b]),即得 y=f(x)的定义域.null练习:(1)设函数f(x)的定义域是[0,2],求函 数f(x2)的定义域.(2)已知y=f(2x+1)定义域是[0,1],求 y=f(x)的定义域.(3).已知f(x2)的定义域是[-1,1],求 函数f(x)的定义域.(3) [0,1]null例1求下列函数的定义域、值域：解：（1）由x-1≠0得x≠1 所以，所求函数定义域为{x|x≠1}⑴ ⑵ ⑶由 ，得y≠1所以，所求函数值域为{y|y>0且y≠1}求复合函数的值域null说明：对于值域的求解，可以令考察指数函数y=并结合图象 直观地得到:函数值域为 {y|y>0且y≠1}null ⑵解：（2）由5x-1≥0得所以，所求函数定义域为由 得y≥1所以，所求函数值域为{y|y≥1} ⑶解：（3）所求函数定义域为R由可得所以，所求函数值域为{y|y>1}null　 求下列函数的定义域和值域：⑴ ⑵解： ⑴要使函数有意义，必须 当时 , ； 当时 , ∵ ∴ ∴值域为 ⑵要使函数有意义，必须 ∵ ∴又∵ ∴值域为 练习:null练习:null练习:复合函数的单调性复合函数的单调性规律： 当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数； 当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数 “同增异减”增函数增函数减函数减函数null 例：求函数 的单调性.nullnull练习： 求函数的单调区间．： (－∞, －3]单减区间 [2,+∞)单增区间注意：求单调区间时，一定要先 　　　看定义域．复合函数的单调性小结复合函数的单调性小结复合函数y=f[g(x)]的单调性可按下列步骤判断： (1) 将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x)。其中y=f(u)又称为外层函数, u=g(x)称为内层函数; (2) 确定函数的定义域； (3) 分别确定分解成的两个函数的单调性； (4) 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)]为增函数； (5) 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)]为减函数。 复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异减”。null复合函数的奇偶性复合函数的奇偶性null函数的奇偶性： 　　奇＋奇＝奇 　　偶＋偶＝偶 　　奇×奇＝偶 　　偶×偶＝偶 　　奇×偶＝奇 　　奇＋偶＝（不确定）类比： 负＋负＝负 正＋正＝正 负×负＝正 正×正＝正 负×正＝负 负＋正＝（不确定）nullnull分析：因为x2-2x+3= (x-1)2+2≥2,函数y=2x为增函数。[4,+∞)[1,+∞)3.讨论函数f(x)= 的奇偶性和单调性null分析：函数的定义域为R∴ f(x)在R上是奇函数（2）设x1,x2∈R,且x1