函数的奇偶性

〖JZ〗〖XC课下作业 第二章 第四节 函数的奇偶性 题组一 函数的奇偶性的判定 1.已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是 (　　) ①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x. A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ 解析：由奇函数的定义验证可知②④正确，选D. 答案：D 2.(2010·长郡模拟)已知二次函数f(x)＝x2－ax＋4，若f(x＋1)是偶函数，则实数a的值为(　　) A.－1 B.1 C.－2 D.2 解析：∵f(x)＝x2－ax＋4， ∴f(x＋1)＝(x＋1)2－a(x＋1)＋4 ＝x2＋2x＋1－ax－a＋4 ＝x2＋(2－a)x＋5－a， f(1－x)＝(1－x)2－a(1－x)＋4 ＝x2－2x＋1－a＋ax＋4 ＝x2＋(a－2)x＋5－a. ∵f(x＋1)是偶函数， ∴f(x＋1)＝f(－x＋1)， ∴a－2＝2－a，即a＝2. 答案：D 3.(2009·浙江高考)若函数f(x)＝x2＋(a∈R)，则下列结论正确的是 (　　) A.∀a∈R，f(x) 在(0，＋∞)上是增函数 B.∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数 C.∃a∈R，f(x)是偶函数 D.∃a∈R，f(x)是奇函数 解析：当a＝16时，f(x)＝x2＋，f′(x)＝2x－， 令f′(x)＞0得x＞2. ∴f(x)在(2，＋∞)上是增函数，故A、B错. 当a＝0时，f(x)＝x2是偶函数，故C正确. D显然错误，故选C. 答案：C 题组二 函数奇偶性的应用 4.已知函数f (x)＝ax4＋bcosx－x，且f (－3)＝7，则f (3)的值为 (　　) A.1 B.－7 C.4 D.－10 解析：设g(x)＝ax4＋bcosx，则g(x)＝g(－x).由f (－3)＝g(－3)＋3，得g(－3)＝f(－3)－3＝4，所以g(3)＝g(－3)＝4，所以f (3)＝g(3)－3＝4－3＝1. 答案：A 5.已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝(　　) A.－2 B.2 C.－98 D.98 解析：由f(x＋4)＝f(x)，得f(7)＝f(3)＝f(－1)， 又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)， f(1)＝2×12＝2，∴f(7)＝－2.故选A. 答案：A 6.设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝ (　　) A.0 B.1 C. D.5 解析：由f(1)＝， 对f(x＋2)＝f(x)＋f(2)， 令x＝－1， 得f(1)＝f(－1)＋f(2). 又∵f(x) 为奇函数，∴f(－1)＝－f(1). 于是f(2)＝2f(1)＝1； 令x＝1，得f(3)＝f(1)＋f(2)＝， 于是f(5)＝f(3)＋f(2)＝. 答案：C 7.已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f()＞0＞f(－)，则方程f(x)＝0的根的个数为 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析：由于函数是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，因此在(－∞，0)上单调递增，又因为f()＞0＞f(－)＝f()，所以函数f(x)在(，)上与x轴有一个交点，必在(－，－)上也有一个交点，故方程f(x)＝0的根的个数为2. 答案：C 8.(2010·滨州模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足：当x＞0时，f(x)＝2008x＋log2008x，则方程f(x)＝0的实根的个数为　　　　. 解析：当x＞0时，f(x)＝0即2008x＝－log2008x，在同一坐标系下分别画出函数f1(x)＝2008x，f2(x)＝－log2008x的图象(图略)，可知两个图象只有一个交点，即方程f(x)＝0只有一个实根，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x＜0时，方程f(x)＝0也有一个实根，又因为f(0)＝0，所以方程f(x)＝0的实根的个数为3. 答案：3 题组三 函数的奇偶性与单调性的综合问题 9.定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有＜0，则(　　) A.f(3)＜f(－2)＜f(1) B.f(1)＜f(－2)＜f(3) C.f(－2)＜f(1)＜f(3) D.f(3)＜f(1)＜f(－2) 解析：由已知＜0，得f(x)在x∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f(3)＜f(－2)＜f(1)，故选A.此类题能用数形结合更好. 答案：A 10.(2009·福建高考)定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如右图所示， 则在(－2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是 (　　) A.y＝x2＋1 B.y＝|x|＋1 C.y＝ D.y＝ 解析：∵f(x)为偶函数，由图象知， f(x)在(－2,0)上为减函数， 而y＝x3＋1在(－∞，0)上为增函数，故选C. 答案：C 11.(2009·山东高考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2] 上是增函数.若方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4， 则x1＋x2＋x3＋x4＝　　　　. 解析：由f(x－4)＝－f(x)⇒f(4－x)＝f(x)， 故函数图象关于直线x＝2对称， 又函数f(x)在[0,2]上是增函数，且为奇函数， 故f(0)＝0，故函数f(x)在(0,2]上大于0， 根据对称性知函数f(x)在[2,4)上大于0， 同理推知函数f(x)在(4,8)上小于0，故在区间(0,8)上方程f(x)＝m(m＞0)的两根关于 直线x＝2对称， 故此两根之和等于4， 根据f(x－4)＝－f(x)⇒f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)， 函数f(x)以8为周期， 故在区间(－8,0)上方程f(x)＝m(m＞0)的两根关于直线x＝－6对称，此两根之和等 于－12， 综上四个根之和等于－8. 答案：－8 12.(文)已知函数f(x)＝ 是奇函数. (1)求实数m的值； (2)若函数f(x)的区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围. 解：(1)设x<0，则－x>0， 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx， 所以m＝2. (2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增， 结合f(x)的图象知 所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]. (理)已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数. (1)求a、b的值； (2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围. 解：(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0， 即＝0，解得b＝1，从而有f(x)＝. 又由f(1)＝－f(－1)，知＝－，解得a＝2. 故a＝2，b＝1. (2)由(1)知f(x)＝＝－＋. 由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数. 又因f(x)是奇函数， 从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0 等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k). 因f(x)是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k， 即对一切t∈R有3t2－2t－k>0. 从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－. 1、​ 对的要求 知网学位检测为整篇上传，上传论文后，系统会自动检测该论文的章节信息，如果有自动生成的目录信息，那么系统会将论文按章节分段检测，否则会自动按每一万字左右分段检测。格式对检测结果可能会造成影响，需要将最终交稿格式提交检测，将影响降到最小，此影响为几十字的小段可能检测不出。都不会影响通过。系统的算法比较复杂，每次修改论文后再测可能会有第一次没测出的小段抄袭（经2 年实践经验证明，该小段不会超过200 字，并且二次修 改后论文一般会大大降低抄袭率）