12、棱柱、棱锥的侧面积与体积

§1 集合的概念和运算（一） §9.9棱柱、棱锥的侧面积与体积 【复习目标】 1．​ 掌握棱拄、棱锥侧面积体积的计算方法； 2．​ 掌握棱锥的平行于底面的截面性质及简单运用，对于复杂的几何体，要注意”割”与”补” 等方法的应用，注意改变几何体的观察角度，得到最佳求积方法, 注意等积变形的应用. 【课前预习】 1．​ 若斜三棱柱的高为4 , 侧棱与底面所成的角为60°, 相邻两侧棱之间的距离为5, 则该三棱柱的侧面积是 。 2．​ (99全国高考)如图, 在多面体ABCDEF中, 已知面ABCD 是边长为3的正方形,EF∥AB,EF∥DC, EF＝ , EF与面 AC的距离为2,则多面体体积为 （ ） A. B. 5 C. 6 D. 3．​ 某平行六面体各棱长均为4, 在由顶点P出发的三条棱上分别截取PA＝1, PB＝2, PC＝3.则由三棱锥P---ABC的体积是原平行六面体体积的 （ ） A. B. C. D. 4．​ 一个斜三棱柱的侧面的面积为S, 另一条侧棱到这个侧面的距离为a , 则这个三棱柱的体积是 A. B. C. D. （ ） 5．​ 三棱锥V-ABC中, AB＝AC＝10, BC＝12, 各侧面与底面成的二面角都是45°, 则三棱锥的高是 ,侧面积是 . 6．​ 一个锥体被平行与底面的平面所截,若截面面积是底面面积的四分之一, 则锥体被截面截得的两部分的体积比是 。 【典型例】 例1 若一个斜棱柱A1B1C1-ABC的底面是等腰△ABC,它的三边长分别是AB＝AC＝10cm, BC＝12cm, 棱柱的顶点A1与A, B, C三点等距离,且侧棱AA1＝13cm ,求此三棱柱的全面积. 例2 已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1, CC1的中点,求四棱锥C1-B1EDF的体积. 例3 如图,有一边长a米的正三角形不锈钢薄板折成一个三棱柱的无盖容器,要分别过正三角形三个顶点各挖去一个全等的四边形, 如四边形BDEF. （1）​ 四边形BDEF必须满足什么条件? （2）​ 设正三棱柱的高为x ( m), 体积为V (m3), 试问x取何值时,体积V最大,并求其最大值. 【巩固练习】 1.​ 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a, 那么四面体A1- C1BD的体积为 。 2.​ 正六棱锥底面边为a, 体积为 a3, 那么侧棱与底面所成的角等于 。 3.​ 长方体的三条棱长成等比数列, 若体积为216 (cm3) , 则全面积最小值是 . 4.​ 正三棱锥的侧棱与底面所成的角的正切值为 ，则侧面积与全面积的比为 . 【本课小结】 【课后作业】 1.​ 在三棱锥P-ABC中，PA、PB、PC两两成60°，PA= ，PB= ，PC= ，，求三棱锥P-ABC的体积。 2.​ 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1= ，底面ABCD是边长AB= ，BC= 的矩形，E为C1D1的中点，求B1-BDE的体积。 3.​ 在斜三棱柱ABC-A1B1C1中, AC＝BC, D为AB的中点, 平面A1B1C1⊥平面ABB1A1，异面直线BC1⊥AB1. （1）​ 求证：AB1⊥平面A1CD； （2）​ 若CC1与平面ABB1A1的距离为1, A1C＝ , AB1＝5, 求三棱锥A1-ACD的体积.