化二次型为标准型的方法

5 5.3.3 化二次型成形的其它方法 这一小节供考研生学习，考数学一的学需[1]，考数学三的学[1]、[2]。全小节也可供其他学生参考。 正交变换具有一些优良的“几何”特性，例如，若 ，其中 是正交阵，则有 。故而在处理几何、统计等领域有关二次型问题时常用正交变换法，但正交变换的计算较为麻烦，故若非必要，就希望能简便地确定一满秩线性变换将二次型化成标准形。 [1] 拉格朗日法（配方法） 例17 用配方法确定一满秩线性变换，将二次型 化成标准形。 解 因有 的项，故全式先对 配完全平方，有 再对 配完全平方，有 若令 即 则上述满秩线性变换 ，其中 ，将该二次型化成标准形 如果二次型中没有平方项作为进行配方的基础，需另行处理，见教材179页的例17。 [2] 规范形 在一个二次型的标准形中，当其平方项系数只取1, -1和0时，称为二次型的规范形。 例如我们已知在例16中二次方程的二次项部分构成之二次型被正交变换化成了标准形， 若进一步令 即 则二次型成规范形 亦即这个二次型可看作是直接被满秩线性变换 化成上述规范形。 类似地，在例17所得二次型的标准形中，若进一步令 即 则例给的二次型可看作被满秩线性变换 化成规范形 仔细观察一下可以发现例16及例17处理的是同一个二次型，用不同的方法（前者用正交变换法即特征值、特征向量法，后者用拉格朗日法即配方法）得到的标准形的不同，但规范形是一样的。可以证明，每个二次型，其规范形是唯一确定的（证略）。