求双曲线离心率的取值范围涉及到解析几何

求双曲线离心率的取值范围涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点，综合性强方法灵活，解关键是挖掘题中的隐含条件，构造不等式，下面举例说明 求双曲线离心率的取值范围涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点，综合性强方法灵活，解题关键是挖掘题中的隐含条件，构造不等式，下面举例说明。 一、利用双曲线性质 例1设点P在双曲线 的左支上，双曲线两焦点为 ，已知 是点P到左准线 的距离 和 的比例中项，求双曲线离心率的取值范围。2 设点P在双曲线 的右支上，双曲线两焦点 ， ，求双曲线离心率的取值范围。3（同例2）2可知：P在双曲线右支上由图1可知： ， ，即 ，两式相加得： ，解得： 。4 已知点 在双曲线 的右支上，双曲线两焦点为 ， 最小值是 ，求双曲线离心率的取值范围。5（2000年全国高考题）已知梯形ABCD中， ，点E分有向线段 所成的比为 ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当 时，求双曲线离心率的取值范围。2建立平面直角坐标系，设双曲线方程为 ，设 其中 是梯形的高，由定比分点公式得 ，把C、E两点坐标分别代入双曲线方程得 ， ，两式整理得 ，从而建立函数关系式 ，由已知 得， ，解得 。6已知双曲线 与直线 ： 交于P、Q两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。7已知双曲线 上存在P、Q两点关于直线 对称，求双曲线离心率的取值范围。PQ中点为M，由点差法求得 ，当点M在双曲线内部时 ，整理得： 无解；当点M在双曲线外部时，点M应在两渐近线相交所形成的上下区域内，由线性规划可知： ，即 ，则 ，所以 。8 已知过双曲线 左焦点 的直线 交双曲线于P、Q两点，且 （ 为原点），求双曲线离心率的取值范围。OP⊥OQ得 ，即： ，解得： ，因为 ，所以 ，则 ，所以 。 解析： 点评： 二、利用平面几何性质 例 解析： ，由三角形性质 得： 解得： 。 点评： 三、利用数形结合 例 解析： ，点 四、利用均值不等式 例 解析： ， 五、利用已知参数的范围 例 解析： 六、利用直线与双曲线的位置关系 例 解析： 七、利用点与双曲线的位置关系 例 解析： 八、利用非负数性质 例 解析： ，由 求双曲线离心率的取值范围时要根据题情，因题制宜挖掘题中隐含的不等关系，构造不等式，从而求出双曲线离心率的取值范围 设 ，过左焦点 的直线 方程： ，代入双曲线方程得： ，由韦达定理得： ，设 ，弦 把双曲线方程和直线方程联立消去 得： 时，直线与双曲线有两个不同的交点则 ， ，即 且 ，所以 ，即 且 。 如图 由均值定理知：当且仅当 时取得最小值 ，又 所以 ，则 。由例 求双曲线离心率的取值范围时可利用平面几何性质，如“直角三角形中斜边大于直角边”、“三角形两边之和大于第三边”等构造不等式。由双曲线第一定义得： ，与已知 联立解得：求双曲线离心率取值范围时可先求出双曲线上一点的坐标，再利用性质：若点 在双曲线 的左支上则 ；若点 在双曲线 的右支上则 。由题设 得： 。由双曲线第二定义 得： ，由焦半径公式得： ，则 ，即 ，解得 。