轮轨多点接触计算新方法曲线通过验证

机 械 工 程 学 报 JOURNAL OF MECHANICAL ENGINEERING 第 46 卷第 16 期 2 0 1 0 年 8 月 Vol.46 No.16 Aug. 2 0 1 0 DOI：10.3901/JME.2010.16.001 轮轨多点接触计算新曲线通过验证* 任尊松 1 金学松 2 (1. 北京交通大学机械与电子控制工程学院 北京 100044； 2. 西南交通大学牵引动力国家重点实验室 成都 610031) 摘要：建立包含多点接触轮对振动方程的车辆—轨道系统动力学模型，对轮轨多点接触计算和判定新方法—迹线极值法进行 车辆曲线通过验证，给出曲线通过接触点在车轮踏面上位置、轮轨接触点数和轮轨法向力。结果明，迹线极值法能够解决 轮轨多点接触问题并获得准确的轮轨多点接触几何参数和系统振动特性；当发生轮缘根部和轮缘两点接触时，采用多点接触 方法得到的结果比采用单点接触方法得到的结果更为合理可信，当不发生轮缘根部和轮缘两点同时接触时，多点接触法与单 点接触法得到的结果几乎完全一致；与新用车轮踏面相比，测试得到的磨耗后车轮踏面在其名义直径位置凹陷区域附近容易 形成踏面两点接触。证实了轮轨多点接触新方法的正确性和有效性。 关键词：轮轨多点接触 动态曲线通过 轮缘接触 踏面磨耗 中图分类号：U211 Verification for New Wheel-rail Muti-point Contact Method REN Zunsong1 JIN Xuesong2 (1. School of Mechanical, Electronic and Control Engineering, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044; 2. Traction Power State Key Laboratory, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031) Abstract：A vehicle-track system dynamic model, including multipoint contact wheelset vibration equations, is built to carry out curve negotiation verification of a new calculation and decision method for wheel-rail multipoint contact─trace line extremum method. The position of curve negotiation contact points on the wheel tread, the number of wheel-rail contact points and the wheel-rail normal force are presented. The result shows that the trace line extremum method can solve the wheel-rail multipoint contact problem and obtain the accurate geometric parameters of wheel-rail multipoint contacts and the system vibration characteristics. When two-point contact of wheel flank root and wheel flank occurs, the result obtained by using multipoint contact method is more reasonable and reliable than that by using single-point contact method. If no simultaneous two-point contact of flank root and flank, the results by multipoint contact method and by single-point are almost in full agreement. Compared to the new wheel tread, the worn tread is easy to form two-point contact nearby the depression area of the nominal diameter position of wheel tread. The correctness and effectiveness of the new method are verified. Key words：Multi-point contact Dynamic curve negotiation Flange root contact Tread wear 0 前言* 轮轨多点接触问题是车辆—轨道动力学研 究的难点之一。自 20 世纪 80 年代以来，相关科 研工作者陆续提出了多种计算和判定方法。 PIOTROWSKI 等[1]可能最早研究了轮轨多点接触 问题，PASCAL 等[2-3]在这方面也作了大量的工作。 KALKER 的 Contact 程序能够近似轮轨多点接 * 国家自然科学基金(50875019)和西南交通大学牵引动力国家重点实验 室开放基金(TPL0805)资助项目。20100513 收到初稿，20100615 收到 修改稿 触问题。这些研究方法多数基于轮轨赫兹接触理论， 部分理论的数值方法通过对接触斑划分条形单元， 在计算接触斑压应力基础上获得法向力和切向力， 从而判定轮轨间接触状态以及轮轨法向力大小[1-4]。 采用法向矢量法，POMBO 等[5]提出了三维物体多 点接触计算方法，并将其运用于轮轨多点接触判断。 这些方法具有很强理论性，并已深入到轮轨接 触微观状态中。在实现相关理论研究的同时，却难 以在工程上的广泛应用，具体表现为计算过程复杂 且耗费更多的计算时间[6]。虽然这些方法可事先计 算好轮轨接触参数数表，在车辆动力学研究时，通 过插值来获得轮轨接触几何参数以提高计算效率。 机 械 工 程 学 报 第 46 卷第 16 期期 2 这种数表法对于规则的轮轨踏面，外形是有效的， 但对于不规则轮轨踏面，如车辆道岔动力学分析计 算，必须采用轮轨接触参数在线计算方法[7]，而这 种数表法难以确保准确计算。 因此，本文提出了一种新的轮轨多点接触计算 和判定方法——迹线极值法，并利用该方法研究了 轮轨静态接触几何关系。结果表明，磨耗后踏面在 名义滚动圆直径位置附近形成的凹陷区域两侧易形 成两点接触，且在轮对横移量超过 9.4 mm 时，也 易形成轮缘和轮缘根部两点接触。 由于该轮轨多点接触计算与判定方法涉及到 了与轮轨法向力有关的轮轨弹性压缩量，而曲线通 过能够较为全面地反映不同轮对横移量下轮轨接触 状态，因此本文将这种方法应用在车辆小半径曲线 动态通过计算中，并对其有效性和合理性进行 验证。 1 轮轨多点接触计算判定方法 轮轨多点接触新方法——迹线极值法由两部 分组成。第 1 部分是在车轮踏面离散点、轮对横移 量以及摇头和侧滚角基础上，由迹线法[7]获得车轮 踏面上可能的轮轨接触点迹线；将这些迹线点向钢 轨顶面插值(图 1)，并通过调整轮对侧滚角以获得第 1 个接触点；该部分为常规方法，具体可参照文献 [8]。第 2 部分为获得其他可能的轮轨接触点计算和 判定方法，简述如下。 图 1 轮轨接触几何计算插值法 在如图 1 所示的轮对坐标系 Oxyz 和轨道坐标 系 Ox'y'z'中，为进一步判断、确认轮轨间是否还存 在另外的接触点，即是否发生了多点接触，须对得 到的轮轨间插值距离进一步处理。 如图 2 所示，以道岔区轮/岔接触为例，设 zid 为 上述迭代求得左右各一个接触点后的第 i 个值点的 轮轨间插值距离，即 w rzi i id z z= − 1, 2, ,i n= " (1) 式中， wiz 、 riz 分别为车轮踏面(空间迹线)离散点 i 和钢轨轨顶外形插值的垂向坐标值，n 为最大离散 点数。 图 2 轮轨插值距离 由式 (1)获得的所有插值点距离形成的数 ( )zf d 仍为空间曲线，且与车轮踏面和钢轨轨顶外 形、轮对摇头角以及侧滚角密切相关。 对 ( )zf d 取车轮踏面外形横向位置坐标一阶 导数 w r w w d( )d( )( ) d d z z z zdf d y y −′ = = (2) 由函数 ( )zf d 得到的一阶导数 ( )zf d′ ，必然存 在 ( ) 0zf d′ = 的点，这些点称为函数 ( )zf d 的极值点 或拐点。如果函数 ( )zf d 只有一个极值点，即只有 一个点满足 ( ) 0zf d′ = ，那么轮轨间就只有一个接触 点，即为前面迭代所获得的轮轨接触点。如果极值 点个数大于 1，如图 3 所示，那么其他极值点有可 能成为潜在的轮轨接触点。 图 3 轮轨多点接触极值点计算 图 3 中如 A、B 所示的这类极值点，理论上不 应成为轮轨接触点，应排除在可能的接触点之外。 对函数 ( )zf d 在极值点处取二次导数，如果 ( ) 0zf d′′ < ，那么该极值点不是接触点应剔除。 采用数值离散点计算时，设前面迭代出的“最 小距离” 0 1 2min( , , , )z z z znd d d d= " ，所有极值点中 剔除上述 A、B 类极值点后剩下的极值点数为 m(1 m n< < )。如果这些点同时满足式(3)表述的条 月 2010 年 8 月 任尊松等：轮轨多点接触计算新方法曲线通过验证 3 件，则可判定轮轨间存在两个或两个以上接触点。 0 ( ) 0 ( ) 0 zi zi zi z f d f d d d ε ′ =⎧⎪ ′′ ≥⎨⎪ − ≤⎩ 1, 2, ,i m= " (3) 式中，ε 为极值点 i 处插值距离与上述“最小距离” 之间差值。 引入轮轨间弹性压缩量后，如图 4 所示，ε 实 际上为两个或多个轮轨间接触斑弹性压缩量差，其 值与接触点处轮轨法向力、接触斑大小、车轮和钢 轨横向曲率以及车轮滚动圆半径等密切相关。因此， 求解多点接触问题需要结合轮对振动方程并依据式 (4)，反复迭代计算并满足一定精度后才能获得，但 这避免了对轮轨接触斑单元划分以及繁琐的正压力 求解过程。 2 2 0 0 ( ) 0 ( ) 0 z z zi z f d f d d d δ ′ =⎧⎪ ′′ ≥⎨⎪ − ≤⎩ (4) 式中， 0δ 是迭代获得的接触点处轮轨弹性压缩量。 图 4 轮轨接触弹性压缩量示意图 如果确定出轮轨间存在多个接触点，还须确认 各接触点之间是否相互独立。这里简单地用两接触 点横向距离是否大于某一给定值 ed 来判断，即 0 diy y e− ≥ (5) 式中，ed 的具体数值一般依据轴重合理选取(这里 ed=8 mm)，以确保这两点不会因为两接触点过于靠 近因变形而形成事实上的一点接触。 如果还须作更准确的判断，则可按下述方法进 行。如图 4 所示，此时两点间必有另一极值点 B。 设 dzb 为极值点 B 处的轮轨插值距离，判断这两点 是否因为横向间距过小而退缩为一个不规则接触斑 的条件为 b 0 0 b z z z zi i d d d d δ δ > +⎧⎨ > +⎩ (6) 如果式(6)成立，则为两相互间隔的接触点；如 果不成立，则因弹性变形可能退缩为单接触点，但 此时按两点还是单点接触计算还需要比较两接触点 间斜率差，即 0i kk k e− ≥ (7) 式中， ke 为某一给定的斜率差值。参考国内 LMA 踏面结构，这里选取 ke =0.025。如果式(7)成立，则 应按两点接触计算轮轨力；如果式(7)不成立，即两 点斜率差很小，那么可按一点接触计算轮轨力。从 后面曲线通过结果可以看到，当两接触点斜率差异 很小时，一点接触和两点接触得到的结果几乎完全 一致。 2 车辆系统振动模型 以车辆悬挂系统为分界面，可将客车系统分为 车体、构架和轮对三大部分[9]，每一部分均包含 6 自由度。按照牛顿定律可以得到这三部分的振动方 程。鉴于轮对运动方程的特殊性，这里给出包含了 两接触点的轮对运动方程。 2.1 轮对振动 如图 5 所示，假设同一轮对左右车轮与钢轨间 均有两个接触点，且每一接触点上作用有三个方向 的轮轨力和力矩(图 5 中未标出力矩)，轴箱悬挂处 同样作用有三个方向的悬挂力。忽略颤振方程，轮 图 5 轮对多点接触运动模型 机 械 工 程 学 报 第 46 卷第 16 期期 4 对其他运动方程如式(8)所示。 纵向运动 w w r1 r2 l1 l2 p l p r x x x x x x m x F F F F F F = + + + + + �� 横向运动 w w r1 r2 l1 l2 p l p r w d w ( ) y y y y y y m y F F F F F F m g θ θ = + + + + + + − �� 垂向运动 w w p l p r l1 r2 l1 r2 w z z z z z z m z F F F F F F m g = + − − − − + �� 侧滚运动 2 se w w w w2 c r1 r1 r2 r2 l1 l1 l2 l2 p r p l p yr1 r1 r2 r2 l1 l1 l2 l2 l1 l2 r1 r2 d d ( ) x y z z z z z z y y y x x x x vI I Rt F l F l F l F l F F l F r F r F r F r M M M M θθ ω ψ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − + + − − − − − − + + + + �� � 摇头运动 se w w w w c l1 l1 l2 l2 r1 r1 r2 r2 p l p r p l1 l1 l2 l2 w r1 r1 r2 r2 w l1 l2 r1 r2 d d ( ) ( ) ( ) z y x x x x x x y y y y z z z z iI v I R t F l F l F l F l F F l F l F l F l F l M M M M θψ ω θ ψ ψ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − + +⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ + − − + − + + − + + + + + ��� 式中， l1,2xM 、 r1,2xM 、 l1,2zM 和 r1,2zM 分别为每一接 触斑上的纵向和垂向蠕滑力矩，ω 为车轮名义转动 速度， seθ 为轨道超高角， cR 为轨道曲线半径， dθ 为 车辆以速度 v 通过该曲线时对应的欠超高角， l1l 、 l2l 、 r1l 和 r2l 分别为两接触点到轮对中心的横向距 离， l1r 、 l2r 、 r1r 和 r2r 分别为每一接触点对应的滚 动圆半径。 每一轮轨接触斑上作用力，均由轮轨法向力、 轮轨蠕滑率以及其他相关参数决定。例如，轮对右 侧第一个接触点上三个方向的轮轨力 ( , , )r1x y zF ，可以 描述为式(9)的形式，即它们为轮轨法向力 nr1F 、接 触角 r1δ 、侧滚角θ 、摇头角ψ 、泊松比 λ、弹性模 量 E 、摩擦因数 µ 、纵向蠕滑率 1ξ 、横向蠕滑率 2ξ 以及自旋蠕滑率φ 等描述的函数决定。 ( , , )r1 nr1 r1 1 2( , , , , , , , , , )x y zF f F Eδ θ ψ σ ξ ξ φ µ= (9) 2.2 轮轨法向力求解 式(8)共计 9 个未知量，它们分别是 5 个加速度 wx�� 、 wy�� 、 wz�� 、 wθ�� 、 wψ�� 以及 4 个轮轨法向力 nl1F 、 nl2F 、 nr1F 、 nr2F ，要通过迭代轮轨力方式求解十分 困难。为此，这里引入轮轨弹性压缩量法首先求解 出每一接触斑上的轮轨法向力，然后再求解振动方 程。以右侧两接触点为例，两接触点弹性压缩量可 由式(10)获得，即轮轨弹性压缩量由轮对横向和垂 向位移、轮对侧滚和摇头角位移、钢轨垂向和横向 位移以及轮轨接触角等确定。 n1 w 1 0 1 e 1 1 e 1 n2 w 2 0 2 e 2 2 e 2 ( ) [ sin( )]cos sin( )sin cos ( ) [ sin( )]cos sin( )sin cos = + − +⎧⎪ − −⎪⎪ −⎪⎨ = + − +⎪⎪ − −⎪ −⎪⎩ z z i i z z i i F z d d l r F z d d l r δ θ θ δ θ θ δ ψ δ θ θ δ θ θ δ ψ (10) 式中， n1( )Fδ 、 n2( )Fδ 分别为两接触点的弹性压缩 量，其上的轮轨法向力 n1F 或 n2F 可由式(11)确定 3/ 2 n1 n1 ( ) (l) ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ FF δδ 3/ 2 n2 n2 ( ) (l) ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ FF δδ (11) 式中， (l)δ 为单位轮轨力产生的轮轨间弹性压缩量， 计算方法由式(12)给出[3] 2 1/ 22 2 2 0 3(1 )(l) 1 (1 )sin da b Ea λδ φ φπ/2 −−− ⎡ ⎤= − −⎣ ⎦π ∫ (12) 式中，a、b 分别是由 Hertz 接触理论决定的接触斑 椭圆长、短轴半径。需要说明的是，当车轮踏面或 钢轨轨顶外形磨耗后，应首先在求解踏面和外形函 数的一、二阶导数基础上，获得踏面或钢轨外形曲 率，才能进一步利用 Hertz 接触理论求解出 a、b 。 采用 Kalker 线性滚动接触理论，可求得作用于 接触斑上轮轨蠕滑力并进行修正[10]。最后，将每一 接触斑上的蠕滑力和法向力，在接触点处向轨道坐 标系方向投影，获得轨道坐标系方向各作用力 分量。 需要说明的是，钢轨、轨枕以及道床的振动方 程均包含在所建车辆―轨道系统模型中。 2.3 车轮踏面 目前国内 CRH1 和 CRH2 高速动车组车轮上均 采用了 LMA 磨耗型踏面(图 6 的实线)。对比踏面磨 耗前后车轮外形可知，磨耗后踏面中部即名义滚动 圆位置附近磨耗严重，轮缘也有轻微磨耗。采用前 述多点接触计算与判定方法，这里对该型踏面与 CHN60 钢轨配合时车辆动态曲线通过轮轨接触特 性进行计算，并对轮轨多点接触方法予以验证。 (8e) (8d) (8c) (8b) (8a) 月 2010 年 8 月 任尊松等：轮轨多点接触计算新方法曲线通过验证 5 图 6 新用和磨耗后的 LMA 踏面外形特征曲线 3 曲线通过时的轮轨接触关系 为使得轮轨间能够发生轮缘接触，这里设置极 端工况：车辆以 100 km/h 速度动态通过半径 R = 400 m 的小曲线以验证该轮轨多点接触新方法的适 用性。此时磨耗后踏面不仅将发生踏面接触，而且 还将发生轮缘接触；为比较轮轨多点接触方法和单 点接触方法对计算结果的影响，该速度工况下采用 单点接触法获得的结果也将给出；曲线通过速度 80 km/h 下的结果(仅发生踏面接触)也将给出，以说 明轮轨间不发生两点接触时两种方法结果的一致 性。另外，这里的轨道曲线为无随机激扰的理想平 滑曲线。 速度 v=100 km/h 时，采用多点接触方法获得的 曲线内、外侧车轮两接触点在车轮踏面上位置如图 7 所示，接触斑法向力以及轮对横移量如图 8 所示。 由此可见，当轮对横移量为 1 mm 左右时，曲线内 侧车轮踏面出现两个轮轨接触点，它们分布在名义 直径周围形成的磨耗凹陷区域两侧，这与静态计算 结果完全一致；此时内侧车轮总法向力，由这两接 触斑共同承担。 图 7 轮轨两点接触在车轮踏面位置分布 当轮对横移量为 10.2 mm 左右时，曲线外侧车 轮与钢轨间发生了两点接触：一点在轮缘根部，一 点在轮缘上(图 7)；轮缘根部接触点轮轨法向力明显 图 8 轮轨两点接触法向力曲线(多点接触方法) 较轮缘接触点的法向力大(图 8)，这说明此时轮轨力 仍主要由轮缘根部接触点承担；由于模型包含了轨 道振动，因而这里发生两点接触的轮对横移量(10.2 mm)较静态接触计算时的横移量(9.4 mm)大。须说 明的是，图 7 中，左侧和底部组成的坐标代表车轮 踏面外型，右侧和上部组成的坐标表示接触点在车 轮踏面上位置；图 8 中，左侧和底部组成的坐标系 统用以表示接触斑法向力，右侧和底部组成的坐标 表示不同曲线长度位置轮对横移量。 图 9 给出了外侧车轮轮轨接触点处接触角变化 情况以及轮缘接触点上法向轮轨力情况。当轮缘接 触发生时，该接触斑上出现轮轨法向力，且轮轨接 触角为最大轮缘角值。 图 9 轮轨接触角及轮轨法向力曲线 图 10 给出了脱轨系数曲线。按照 GB5599— 1985 规定，脱轨系数为车轮轮轨横向力与垂向力之 比。轮轨一点接触时这一定义容易理解和执行，但 对于发生两点甚至多点接触时，每一接触斑上均可 以得到这一比值。因此如何处理这一特殊情况需要 作进一步分析。当然，此时仍可用多接触点上总轮 轨横向力与总垂向力之比作为脱轨系数的定义。 相同工况下，采用单点接触法获得的轮轨接触 机 械 工 程 学 报 第 46 卷第 16 期期 6 图 10 脱轨系数曲线 点在车轮踏面位置如图 11 所示，轮轨法向力和轮对 横移量如图 12 所示。 图 11 轮轨接触点在车轮踏面位置 图 12 接触点法向力曲线(轮轨单点接触方法) 由此可见，当轮对横移量为 1 mm 左右时，内 侧车轮轮轨接触点在名义直径位置磨耗区域两侧跳 跃，由于接触角变化很小，此时轮轨力只产生轻微 波动；当轮对横移量达到 10.2 mm 时，外侧轮轨接 触点在轮缘根部和轮缘上发生跳动(图 11)，且两位 置对应的轮轨接触角有很大差异，使得轮轨间发生 横向冲击并致使接触点处轮轨法向力产生剧烈波动 (图 12)。与采用轮轨多点接触方法计算结果相比， 该结果是不真实的。因此，相对于轮轨单点接触法 计算结果，采用轮轨多点接触法得到的结果更为真 实可信。 速度为 80 km/h 时，采用多点接触法得到的接 触点在车轮踏面位置如图 13 所示，轮轨法向力如图 14 所示。由此可见，当轮对横移量约为 1 mm 时， 曲线内侧车轮踏面发生了两点接触，这与前一速度 工况下轮轨接触状态完全一致；当轮对完全运行在 曲线上时，外侧车轮与钢轨间只有一点接触，这主 要是此时车辆曲线通过速度降低，轮对横移量未 达到发生轮缘根部和轮缘同时接触所需要的横移 量值。 图 13 踏面两点接触位置分布(v=80 km/h) 图 14 踏面两点接触轮轨法向力曲线(v =80 km/h) 当曲线通过速度为 80 km/h 不发生轮缘根部和 轮缘两点接触时，单点接触法得到的接触点法向力 和多点接触得到的法向力总和，分别如图 15、16 所示。由此可见，当不发生轮缘和轮缘根部两点接 触时，两种方法得到的结果几乎完全一致。这里也 证实了当两接触点斜率相差很小时，两种方法在 Hertz 接触理论下得到的结果基本一致的结论。 4 结论 (1) 建立包含轮轨多点接触车辆系统动力学模 月 2010 年 8 月 任尊松等：轮轨多点接触计算新方法曲线通过验证 7 图 15 轮轨法向力曲线(单点接触法) 图 16 轮轨法向力曲线(多点接触法) 型，对新的轮轨多点接触与判定方法进行了曲线通 过验证。结果表明，当发生轮缘根部和轮缘两点接 触时，采用轮轨多点接触方法得到的结果，比采用 单点接触方法得到的结果更为真实可信，而当不发 生轮缘根部和轮缘两点接触时，两种方法得到的结 果几乎完全一致。这种新的轮轨多点接触法具有较 为完整的理论基础，在全面提高计算效率的同时具 有很强的实用性，对解决类似的轮轨接触问题提供 了一种全新方法。 (2) 该轮轨多点接触判定和计算方法实际上是 一种轮轨几何约束法，这种方法既可用于轮轨踏面 外型和静态轮轨接触几何关系校核，还可用于 车辆―轨道动力学分析计算。该方法将不仅可以十 分方便地解决道岔区轮轨两点、甚至轮轨三点接触 关系问题[7]，还可以用于研究轮缘根部发生两点接 触时轮缘接触点的尖啸噪声问题，这也是接下来需 要开展的研究课题之一。 参 考 文 献 [1] PIOTROWSKI J, CHOLLET H. 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