二次函数及压轴题

http://blog.sina.com.cn/u/1709047513 朝阳 24．（本小题满分7分） 已知直线y=kx-3与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，抛物线 经过点A和点C,动点P在x轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x轴的另一个交点B向点A运动，点Q由点C沿线段CA向点A运动且速度是点P运动速度的2倍. （1）求此抛物线的解析式和直线的解析式； （2）如果点P和点Q同时出发，运动时间为t（秒），试问当t为何值时，△PQA是直角三角形； （3）在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大，若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由． 崇文 2５．已知抛物线 经过点A（1，3）和点B（2，1）． （1）求此抛物线解析式； （2）点C、D分别是 轴和 轴上的动点，求四边形ABCD周长的最小值； （3）过点B作 轴的垂线，垂足为E点．点P从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达F点,再沿FE到达E点，若P点在对称轴上的运动速度是它在直线FE上运动速度的 倍,试确定点F的位置,使得点P按照上述要求到达E点所用的时间最短．（要求：简述确定F点位置的方法，但不要求） 23．已知P（ )和Q（1， ）是抛物线 上的两点． （1）求 的值； （2）判断关于 的一元二次方程 =0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由； （3）将抛物线 的图象向上平移 （ 是正整数）个单位，使平移后的图象与 轴无交点，求 的最小值． 东城 18．已知：二次函数 中的 满足下： … 0 1 2 3 … … 0 … （1） 的值为 ； （2）若 ， 两点都在该函数的图象上，且 ，试比较 与 的大小. 23. 已知抛物线C1： 的图象如图所示，把C1的图象沿 轴翻折，得到抛物线C2的图象，抛物线C1与抛物线C2的图象合称图象C3． （1）求抛物线C1的顶点A坐标，并画出抛物线C2的图象； （2）若直线 与抛物线 有且只有一个交点时,称直线与抛物线相切. 若直线 与抛物线C1相切，求 的值； （3）结合图象回答，当直线 与图象C3 有两个交点时， 的取值范围． 24．如图，在平面直角坐标系中，A（ ，0），B（ ，2）.把矩形OABC逆时针旋转 得到矩形 . （1）求 点的坐标； （2）求过点（2，0）且平分矩形 面积的直线 方程； （3）设（2）中直线 交 轴于点P，直接写出 与 的面积和的值及 与 的面积差的值. 丰台 23．（本小题满分7分） 已知二次函数 ． （1） 求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点； （2） 当该二次函数的图象经过点（3，6）时，求二次函数的解析式； （3） 将直线y=x向下平移2个单位长度后与（2）中的抛物线交于A、B两点（点A在点B的左边），一个动点P自A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长． 25．（本小题满分8分） 已知抛物线 ． 　（1）求抛物线顶点M的坐标； 　（2）若抛物线与x轴的交点分别为点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围； 　（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 　海淀 23．关于 的一元二次方程 有实数根，且 为正整数. （1）求 的值； （2）若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系 中,抛物线 与 轴交于 、 两点（ 在 左侧），与 轴交于点 . 点 为对称轴上一点，且四边形 为直角梯形，求 的长； （3）将（2）中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点 的坐标为 ,当抛物线与（2）中的直角梯形 只有两个交点，且一个交点在 边上时，直接写出 的取值范围. 24. 点 为抛物线 ( 为常数， )上任一点，将抛物线绕顶点 逆时针旋转 后得到的新图象与 轴交于 、 两点（点 在点 的上方），点 为点 旋转后的对应点. （1）当 ，点 横坐标为4时，求 点的坐标； （2）设点 ，用含 、 的代数式表示 ； （3) 如图，点 在第一象限内, 点 在 轴的正半轴上，点 为 的中点， 平分 ， ，当 时，求 的值. 石景山 23．已知： 与 两个函数图象交点为 ，且 ， 是关于 的一元二次方程 的两个不等实根，其中 为非负整数． （1）求 的值； （2）求 的值； （3）如果 与函数 和 交于 两点（点 在点 的左侧），线段 ，求 的值． 25．已知：如图1，等边 的边长为 ，一边在 轴上且 ， 交 轴于点 ，过点 作 ∥ 交 于点 ． （1）直接写出点 的坐标； （2）若直线 将四边形 的面积两等分，求 的值； （3）如图2，过点 的抛物线与 轴交于点 ， 为线段 上的一个动点，过 轴上一点 作 的垂线，垂足为 ，直线 交 轴于点 ，当 点在线段 上运动时，现给出两个结论： ① ② ，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪个结论正确，并证明． 西城 23．已知关于x的方程 ． （1）求证：无论m取任何实数时，方程总有实数根； （2）若关于 的二次函数 的图象关于y轴对称． ①求这个二次函数的解析式； ②已知一次函数 ，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1≥y2均成立； （3）在（2）的条件下，若二次函数y3＝ax2＋bx＋c的图象经过点（－5，0），且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立． 求二次函数y3＝ax2＋bx＋c的解析式. 25．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为（3,0），连结BC． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）点P在线段BC的延长线上，连结AP，作AP的垂直平分线，垂足为点D，并与y轴交于点D，分别连结EA、EP． ①若CP＝6，直接写出∠AEP的度数； ②若点P在线段BC的延长线上运动（P不与点C重合），∠AEP的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠ADP的度数； （3）在（2）的条件下，若点P从C点出发在BC的延长线上匀速运动，速度为每秒1个单位长度． EC与AP于点F，设△AEF的面积为S1，△CFP的面积为S2， y＝S1－S2，运动时间为t（t>0）秒时，求y关于t的函数关系式． 宣武 24．已知：将函数 的图象向上平移2个单位，得到一个新的函数的图像． (1)求这个新的函数的解析式； (2)若平移前后的这两个函数图象分别与y轴交于 、 两点，与直线 交于 、 两点．试判断以 、 、 、 四点为顶点的 四边形形状，并说明理由； (3)若⑵中的四边形（不包括边界）始终覆盖着二次函数 的图象的一部分，求满足条件的实数b的取值范围． 25．已知：如图，在直角坐标系中，已知点 的坐标为 ，将线段 按逆时针方向旋转 ，再将其长度伸长为 的2倍，得到线段 ；又将线段 按逆时针方向旋转 ，长度伸长为 的2倍，得到线段 ；如此下去，得到线段 ， ， ， （ 为正整数） (1)求点 的坐标；(2)求 的面积； (3)我们规定：把点 （ ）的横坐标 、纵坐标 都取绝对值后得到的新坐标 称之为点 的“绝对坐标”．根据图中点 的分布规律，请你猜想点 的“绝对坐标”，并写出来． 大兴 24. 若 是关于 的一元二次方程 的两个根，则方程的两个根 和系数 有如下关系： . 我们把它们称为根与系数关系定理. 如果设二次函数 的图象与x轴的两个交点为 .利用根与系数关系定理我们又可以得到A、B两个交点间的距离为： 请你参考以上定理和结论，解答下列问题: 设二次函数 的图象与x轴的两个交点为 ，抛物线的顶点为C，显然 为等腰三角形. （1）当 为等腰直角三角形时，求 （2）当 为等边三角形时， . （3）设抛物线 与x轴的两个交点为A、B，顶点为C，且 ,试问如何平移此抛物线，才能使 ？ 25．已知抛物线 （ ）与 轴相交于点 ，顶点为 .直线 分别与 轴， 轴相交于 两点，并且与直线 相交于点 . (1)填空：试用含 的代数式分别表示点 与 的坐标，则 ； (2)如图11，将 沿 轴翻折，若点 的对应点 ′恰好落在抛物线上， ′与 轴交于点 ，连结 ，求 的值和四边形 的面积； (3)在抛物线 （ ）上是否存在一点 ，使得以 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出 点的坐标；若不存在，试说明理由. 23．已知抛物线 ， 其中 是常数． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）若 ，且抛物线与 轴交于整数点（坐标为整数的点），求此抛物线的解析式． 25．如图，在平面直角坐标系 中，点 关于 轴的对称点为 ， 与 轴交于点 ，将△ 沿 翻折后，点 落在点 处． （1）求点 、 的坐标； （2）求经过 、 、 三点的抛物线的解析式； （3）若抛物线的对称轴与 交于点 ，点 为 线段 上一点，过点 作 轴的平行线，交抛物线于点 . 1​ 当四边形 为等腰梯形时，求出点 的坐标； ② 当四边形 为平行四边形时，直接写出点 的坐标. 房山 23． 已知：抛物线 ： 的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1． （1）求抛物线的解析式和顶点P的坐标； （2）将抛物线沿x轴翻折，再向右平移，平移后的抛物线 的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求平移后的抛物线 的解析式； （3）直线 与抛物线 、 的对称轴分别交于点E、F，设由点E、P、F、M构成的四边形的面积为s, 试用含m的代数式表示s． 25、如图，在平面直角坐标系 中，直线l1： 交x轴、y轴于A、B两点，点M(m,n)是线段AB上一动点, 点C是线段OA的三等分点． （1）求点C的坐标； （2）连接CM，将△ACM绕点M旋转180°，得到△A’C’M. ①当BM= AM时，连结A’C、AC’,若过原点O的直线l2将四边形A’CAC’分成面积相等的两个四边形，确定此直线的解析式； ②过点A’作A’H⊥x轴于H，当点M的坐标为何值时，由点A’、H、C、M构成的四边形为梯形？ 怀柔 23．已知二次函数y＝x2－x＋c． (1)若点A(－1，n)、B(2，2n－1)在二次函数y＝x2－x＋c的图象上，求此二次函数的最小值； (2)若D(2，y1)、E(x2，2)两点关于坐标原点成中心对称，试判断直线DE与抛物线y＝x2－x＋c＋的交点个数，并说明理由． 24．已知如图，在梯形 中， 点 是 的中点， 是等边三角形． （1）求证：梯形 是等腰梯形； （2）动点 、 分别在线段 和 上运动，且 保持不变．设 求 与 的函数关系式； （3）在（2）中，当 取最小值时，判断 的形状，并说明理由． 25．如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线 HYPERLINK "http://www.gzsxw.net/" EMBED Equation.DSMT4 与ｘ正半轴交于点A,与ｙ轴交于点B,过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC．现有两动点P、Q分别从O、C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DE∥OA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F．设动点P,Q移动的时间为t(单位:秒) (1)求A,B,C三点的坐标; (2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程; (3)当0＜t＜ 时,△PQF的面积是否总为定值?若是,求出此定值,若不是,请说明理由; (4)当t 时,△PQF为等腰三角形? 门头沟 23.关于x的一元二次方程 . （1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根； （2）点A（ ， ）是抛物线 上的点，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，若点B与点A关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由. 25. 如图：抛物线经过A（－3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点． （1）求抛物线的解析式． （2）已知AD＝AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t 秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值； （3）在（2）的条件下， M为抛物线的对称轴上一动点，当MQ＋MC的值最小时，请求出点M的坐标． 密云 24．如图，将腰长为 的等腰Rt△ABC（ 是直角）放 在平面直角坐标系中的第二象限， 使顶点A在y轴上， 顶点B在抛物线 上，顶点C在x轴 上，坐标为（ ，0）． （1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； （2）抛物线的关系式为 ，其顶点坐标为 ； （3）将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°，到达 的位置．请判断点 、 是否在（2）中的抛物线上，并说明理由． 25．如图，在梯形 中， ，梯形的高为4．动点 从 点出发沿线段 以每秒2个单位长度的速 度向终点 运动；动点 同时从 点出发沿线段 以每秒1个单位长度的速度向终点 运动．设运动的时间为 （秒）． （1）当 时，求 的值； （2）试探究： 为何值时， 为等腰三角形． 顺义 23．已知：抛物线 与 轴有两个不同的交点． （1）求 的取值范围； （2）当 为整数，且关于 的方程 的解是负数时，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，若在抛物线和 轴所围成的封闭图形内画出一个最大的正方形，使得正方形的一边在 轴上，其对边的两个端点在抛物线上，试求出这个最大正方形的边长． 25．如图，直线 ： 平行于直线 ，且与直线 ： 相交于点 ． （1）求直线 、 的解析式； （2）直线 与y轴交于点A．一动点 从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线 上的点 处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线 上的点 处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线 上的点 处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线 上的点 处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…… 照此规律运动，动点 依次经过点 ， ， ， ， ， ，…， ， ，… ①求点 ， ， ， 的坐标； ②请你通过归纳得出点 、 的坐标；并求当动点 到达 处时，运动的总路径的长． 通州 22．如图①所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与 轴负半轴上.过点B、C作直线 .将直线 平移，平移后的直线 与 轴交于点D，与 轴交于点E. （1）将直线 向右平移，设平移距离CD为 （t≥0），直角梯形OABC被直线 扫过的面积（图中阴影部份）为 ， 关于 的函数图象如图②所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，且NQ平行于x轴，N点横坐标为4，求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积. （2）当 时，求S关于 的函数解析式. 25．在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A、B两点，（点A在点B左侧）.与y轴交于点C，顶点为D，直线CD与x轴交于点E. （1）请你画出此抛物线，并求A、B、C、D四点的坐标. （2）将直线CD向左平移两个单位，与抛物线交于点F（不与A、B两点重合），请你求出F点坐标. （3）在点B、点F之间的抛物线上有一点P，使△PBF的面积最大，求此时P点坐标及△PBF的最大面积. （4）若平行于x轴的直线与抛物线交于G、H两点，以GH为直径的圆与x轴相切，求该圆半径. 17．已知二次函数 的图象的顶点在x轴的负半轴上，求出此二次函数的解析式. 延庆 23．已知: 关于 的一元二次方程 ①. （1）求证: 方程①有两个实数根; （2）求证: 方程①有一个实数根是1; （3）设方程①的另一个根为 ，若 ， 为正整数且方程①有两个不相等的整数根时，确定关于 的二次函数 的解析式； （4）在（3）的条件下，把Rt△ABC放在坐标系内，其中∠CAB = 90°，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），BC = 5， 将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在抛物线上时，求△ABC平移的距离。 24. 如图，已知抛物线C1： 的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在 点B的左边），点B的横坐标是1． （1）求P点坐标及a的值； （2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛 物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式； （3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线 C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标． 燕山 25．如图，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（1， ），若把线段OA 绕点O逆时针旋转120°，可得线段OB． （1）求点B的坐标； （2）某二次函数的图象经过A、O、B三点， 求该函数的解析式； （3）在第（2）小题所求函数图象的对称轴上， 是否存在点P，使△OAP的周长最小， 若存在，求点P的坐标； 若不存在， 请说明理由． 平谷 23．已知：关于 的一元二次方程 （m为实数） （1）若方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围； （2）在（1）的条件下，求证：无论 取何值，抛物线 总过 轴上的一个固定点； （3）若 是整数，且关于 的一元二次方程 有两个不相等的整数根，把抛物线 向右平移3个单位长度，求平移后的解析式． 24．如图，已知抛物线C1： 的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点A的横坐标是 ． （1）求 点坐标及 的值； （2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向左平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点A成中心对称时，求C3的解析式 ； （3）如图（2），点Q是x轴负半轴上一动点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、E为顶点的三角形是直角三角形时，求顶点N的坐标．