第二章 有限变形的基本概念(徐春晖、李明瑞)

第二章 有限变形概论 1．固体力学学科的大致分类 固体力学是连续介质力学的一个重要分支。连续介质力学属于唯象理论，它 虽以物质的微观结构为背景，但不采用物质结构论(或称本质论)—物体的宏观性 质由组成物体的基本粒子的运动决定的观点，而是采用连续介质的假设，使得连 续场数学分析的方法都可应用。这种假设远较物质结构论简单实用，且由于它所 依据的是宏观经验，而所得的结论仍用于宏观世界，因此又是合理的。为了解决 “实际粒子离散”与“模型介质连续”的矛盾，连续介质力学采用宏观无限小﹑ 微观无限大的模型，认为在连续介质中所使用的微元体不是一个点，它应包含大 量的粒子，以便从物理的观点来看，它使质量﹑能量﹑温度﹑熵等概念具有确定 的物理内涵；另一方面它又足够小，以致从场的分析的观点来看，它在无限小尺 寸范围内均匀性的假设对场论中数学分析的误差可以忽略不计。连续介质的概念 与适用范围与具体物质的尺寸无关，既可以应用于大如地质板块，也可以应用于 微小的机械零件。 任何固体介质在受力后都会产生一定程度的变形。 如按照结构类型来分类， 研究固体受力变形的学科大致分为两大类。一类是研究一般形状固体的受力变形 的普遍规律的学科，例如弹性力学、塑性力学等。另一类则是根据物体的形状和 受力变形特点，作了力学简化，归结为某一种特殊力学结构模型的学科，例如杆、 梁、轴，板，壳、索、膜等，以及在此基础上发展的结构体系的学科，如结构力 学。从理论体系来说，前一类力学的理论体系较为严谨，对物体形状基本上不做 假设，得出的结果更具有一般性。在计算机与力学的结合物−计算力学没有出现 以前，这一类学科能够解出的问题屈指可数。但是这些解答大部分属于理论解， 是检验后起之秀−−计算固体力学的数值解的正确性和精确性的最重要的标志，所 以弥足珍贵。也有有用其他数学工具如复变函数，差分法得到了一些问题的数值 解。这为后继学科的发展特别是有限元方法的发展，奠定了基础。 另外还可以按照固体的受力变形后所建立的方程类型来分类，这就是对应于 线性方程的线性力学与对应于非线性方程的非线性力学。其中非线性力学又可细 分为： 几何非线性−这是研究固体在产生很大的位移、应变、转动等大变形问题的学科。 材料非线性−这是研究本构关系不再是线性关系的学科，例如塑性力学。 边界非线性−这是研究固体的边界条件不再是简单的给定的载荷边界条件或位移 边界条件等线性形式的边界条件，而可以是与位移耦合的非线性条件，例如弹性 体间的接触的边界条件。以及各种耦合的非线性，如温度场、电磁力场与上述的 各类非线性的相互耦合效应。 在计算固体力学的标志性的产物−有限元法诞生后，这几类力学学科均得到 了巨大的生命力，发展迅速，从求解问题的深度如断裂力学、应力集中的研究， 和求解问题的规模与精度如求解几百万自由度的问题，以及求解问题的类型已扩 展到冲击、疲劳、金属成型的领域。特别是最近 40 年来，随着线性问题的求解 在理论上与计算技术上的日趋成熟，研究的重点已转向非线性力学。应该说固体 受力变形的本质是非线性的，线性力学仅是变形力学的一次近似而已。本书的重 点是研究几何非线性力学，即大变形力学。 2．各种几何非线性理论 至于有关研究几何非线性的理论，现在有各种各样的名称，例如有称之为结 构非线性理论的，如[1-4]，有称之为大变形理论的[5-8]。 从历史上看，研究几何非线性理论的认识是有一个过程的。早在 1894 年， J.芬格就提出超弹性体的有限变形理论。有限变形理论的方程冗长、复杂、并具 有强烈的非线性，当时的人们感到在数学上进行一般性的讨论没有多大希望，所 以这方面的研究工作长时间进展不大。(以上摘自中国大百科全书力学卷) 最早研究力学简化结构大变形问题的是 T.Von卡门。他认为最能征梁板壳大变 形特征的是在变形时产生了较大的转动，即 θ =dv/dx 的二次项是一个不容忽视 的量，凭了他天才的直觉，他在壳的中面（或梁的中轴线）线位移上又加了 (dv/dx)2/2 的非线性项。这一项通常成称之为Von卡门项，并将线性方程附带有 Von 卡门非线性项的方程称之为Von 卡门方程。后人在Von 卡门方程的基础上 也加上了不同的增补项，可通称之为近似非线性方程，因为他们都没有导出在任 何情况下都适用的精确的方程。例如，钱伟长解决的薄板大挠度问题就是。这类 方程在求解方法上多采用小载荷步长，多次加载法[9-12]。 这就是说，对原始的 未变形结构加上很小的载荷，由此可以得到一个解。以此为基础再加上很小的载 荷，由此又可以得到一个解，如此下去，直到预定的载荷为止。当分割载荷步长 很小，加载步数很多时，这类方法在某些特殊情况下也能得到具有较好的位移解， 但是缺乏一般性，也就是在一般情况下不能保证解的正确性，也不知道所得到的 解的近似程度到底如何评估。 例如在梁的理论中，提出了在梁的挠度 v较小时，有dv/dx = θ 是梁截面的转 角。事实上，我们知道应该有dv/dx = tanθ。只有当θ很小时才可以得到近似关系 tanθ ≈θ。这个近似关系在产生大转动时，就会产生很大的误差。上面介绍的Von 卡门方程式实际上就是用(dv/dx)2来代替θ2 。但是如果我们把大转动形成的大转 角分成许多份，每次转一个很小的角度，就可使上述近似关系成立。这就是多年 来形成的求解几何非线性问题的算法。显然这种算法不仅费时，也不可避免会形 成积累误差。而且在许多情况下也是行不通的。例如对于突然的失稳，结构的跃 变，含有刚体运动的问题，动力问题等。而且所有各种求解近似非线性的计算结 果都有一个共同的特点：即使用同一种理论、同一种算法，在采用不同计算步长 的时候，其计算结果将是不同的。这从上面的例子可以很好的说明。 tanθ ≠ 10 tan(θ/10 )≠ 100tan(θ/10 ) tanθ ≈N tan(θ/Ν )。但当 N→∝时这个结果可以成立。 另外，我们在将来的章节中还将严格地论证用这种计算方法是不可能求出较 好的应力的。 因为各种近似几何非线性理论对应力的定义是模糊不清的。 由于一直没有人给出梁板壳类结构的精确的方程式，也更谈不上理论解，所 以多年来许多研究者在 Von 卡门方程式的基础上加了各种各样的非线性项，以 求改进 Von 卡门公式，这就是目前为止的形形色色的各种非线性理论的出的方 程，这类方程在本质上继承了线性理论的思想体系，基本上都属于近似的几何非 线性方程。由于没有精确方程作对比，所以无从评论孰优孰劣。 C.Truesdell[13,14]对固体介质的有限变形作了集大成和奠基性的工作。并从 严格的数学力学分析建立起有限变形的理论体系。但是，不论是 J.芬格或是 C.Truesdell 都没有研究简化力学结构构件的有限变形理论。这类构件是最具有实 用价值的构件，但也是最难研究的，因为这类构件的大变形不仅有大位移和大应 变，还包含了大转动和大曲率。最近 40 来的学者虽然进行了不少的研究，但都 没有用严格的、系统的有限变形理论对此进行研究。第一个完成这项工作的是作 者的系列论文，[15-19]对此进行了全面的研究，并且建立起梁板壳的有限变形的 全部方程式。 3．有限变形的初步概念 有限变形这个名词是英文 Finite Deformation 的直译，曾引起不少误解，例如 有人认为这是一种比小变形假设的变形量稍大些，但又比大变形的变形量要稍小 些的变形，就是说它的变形量是“有限”的。这显然是一种错误的理解。为了理 解“有限”的真正含义，我们不妨对比地研究一下大家熟悉的“有限元法”中的 “有限”的含义。在有限元法出现前，人们处理的对象是微分方程中的微分单元。 微分单元是无穷小的单元，是微量。不论是 1 维的微分线元，还是 2 维的微分面 元，或是 3 维的微分体元，在建立微分方程式时，都允许忽略高阶的微量。这不 是一种近似，而是取极限过程的精确的、合理的做法。与之对应的有限单元则是 具有一定尺寸大小的单元，它不是微量。因此“有限”的含义是具有一定大小的 量，它不是微量，其本身或是其高阶量都不允许被忽略。有限变形这个名称中的 “有限”就应该作此理解。就是不管是位移、转角还是应变或是他们的高阶非线 性项在进行理论分析和建立方程时都应该同样看待，没有一项是可以忽略的。 在线性力学中，把位移、应变、转角等都理解为小量。在建立方程时把二次 以上的小量全都忽略了。应该注意，“小量”的概念与“微量”的概念有根本性 的不同。微量是微分的概念，忽略高阶的微量是一个极限过程，所以建立的方程 是精确的。小量则是一个定性的概念，忽略高阶小量是在建立方程时不得已而为 之的简化措施，两者是绝然不同的。所以说线性的小变形理论只有在变形是无穷 小时才是正确的，而实际变形一定是有限的。所以小变形理论在任何情况下都只 是一种近似理论，它的近似程度视变形量的大小而定。下面先简单介绍几种有限 变形理论中的与小变形理论中有巨大差别的一些概念。后面还将详细的研究，反 复的讨论。 10 位形的概念 位形又称构形（configuration）,它是物体(连续介质集合)全部点集 X 在某一瞬时 t 所占有空间位置和形状的描述。在不同时刻，物体发生位置和形状的变化，所 以位形是时间的函数，可表示为 X（X1, X2, X3 ）= X(t) 。 在结构体未产生断裂 破坏前，函数X(t)一般是连续可微的。同时也可把一个位形x (t)看作是另一个位 形X(t)的连续可微函数，x = x(X)，并认为其反函数X = X(x)也存在。最常用的有 如下几种位形名称： 初始位形：物体在未受力变形时的位形，也就是在初始时刻物体中每一点的位置。 X = X(t=0) 参考位形：选取在某一瞬时的位形为参考，来度量另一个时刻的位移、应变、应 力、材料系数张量…等各种状态变量。当然初始位形就可以是参考位形。但是也 可以选取其他时刻的位形作为参考位形。 当前位形(现时位形)：所要研究的瞬时t 的位形，也就是在当前时刻物体内每一 个质点在空间中的位置，x= x (x1,x2,x3) = x (t)。 如果以 u 表示从初始时刻到当前时刻物体中每一个质点的位移，则初始位形与当 前位形有关系： x =X + u 这就是说，物体在当前时刻的位移是以初始位形为参考位形来度量的。当采用其 他时刻的位形为参考位形时，这个关系也成立，不过位移 u 的内涵不一样，它 是从参考位形到当前位形来度量的。 . . X1 X2 X3 x1 X1 x2 x3 X1 Ω0 ω (X1 , X2 , X3) (x1 , x2 , x3) X x u 图2.1 物质坐标系与空间坐标系采用同一坐标系 20 物体运动的拉格朗日（Lagrange）描述与欧拉（Euler）描述 为了确定初始位形Ω0中质点的位置，在初始位形上固结一坐标系OX1X2X3 (这个坐标系是固定不动的)，初始OX1X2X3中质点的位置由其在OX1X2X3中的坐标 XK(K=1,2,3)确定，即XK(K=1,2,3)可作为识别物体中不同质点的标志，因此称XK为 物质坐标，称OX1X2X3为物质坐标系，又称为Lagrange坐标系Lagrangian Coordinate System (LCS)。 为了确定现时位形ω中质点的位置，在空间建立一坐标系ox1x2x3，现时位形 中质点的位置由其在ox1x2x3中的坐标xk (k=1,2,3)确定，显然不同的时刻xk由不同 的质点所占据，同一质点在不同的时刻占据不同的xk值。坐标xk可以作为识别空 间点的标志，因此称xk为空间坐标，称ox1x2x3为空间坐标系，又称为Euler坐标系， Eulerian Coordinate System（ECS）。 空间坐标系ox1x2x3可以选择和物质坐标系OX1X2X3重合，也可以不重合。这 里为简化起见采用同一坐标系作为物质和空间坐标系，参图 2.1。 在连续介质力学中，物理和力学参量可以用物质坐标XK为自变量来描述，称 为物质描述或Lagrange描述；也可以用空间坐标xk为自变量来描述，称为空间描 述或Euler描述。物质描述给出了任一质点在任意瞬时物理参量的值，空间描述给 出的则是任一空间点在任意瞬时的物理参量值。 物质质点的运动可用下面方程描述： (2.1.1) )t,X(xx Jii = ),,J,i( 321= 上式是物质描述。如用空间描述，则是： )t,x(XX jII = ),,j,I( 321= 此式表示t时刻占据空间位置xj是物质点XI.。 对于运动的物体我们可以在运动的每一时刻建立起运动平衡方程来描述物体 每一质点的内力与外力的状态。所以平衡的概念当然是指物体受力产生变形后处 于某一瞬时位形的各点内力与外力的平衡。但是在以后介绍如何建立平衡方程 时，将会介绍可用各种参考位形来建立，就是说完全可能用未变形的初始位形为 参考位形来建立当前时刻的平衡方程，当然也可以当前时刻的位形为参考位形来 建立当前时刻的平衡方程。这就需要我们深入理解位形的概念以及对于不同时刻 的参考位形的物理量之间的相互关系。 30 应变和应力的概念 应变与应力的定义和参考位的选取密切相关。在小变形理论中，正应变定义 为εx =∂u/∂x。如果令X为初始位形的坐标，x为对应点在当前位形中的坐标，u 是 该点位移。可以有x=X + u。在正应变的定义中，位移对坐标取导，到底应该是 对当前坐标还是初始的坐标，显然这是两个完全不同的量。在小变形理论中是不 加区分的，而在有限变形中必须明确。我们来研究最简单的一种情况。一根 杆AB原长为L，伸长了u，所以现长为 tL = L+u 。现在让此杆一端A不动，另一 端B绕不动端转 1800，如图 2.1 所示。如果以A点为坐标原点，以AB方向为x轴， 则B点的初始坐标为X = L，位移 u = -2L，在转动后的坐标为 x = -L; 所以 ∂u/∂x = 2 ；∂u/∂X =-2 。显然都是不合理的，因为刚体转动不应该产生应变。所以小 变形理论中的应变定义在有限变形中不能采用。即使目前还有人在应用的Von 卡 门公式在刚体转动中也将不可避免的产生了应变。 A B A L LL 图 2..2 杆的刚体转动 由上述简例得到一条非常重要的结论。 对有限变形的应变定义必须要满足条件：刚体运动不应该产生应变。 对于刚体平动而言，小应变的定义也不会产生应变。 另外一方面，有限变形理论是小变形理论的推广和发展，当变形很小时有限 变形理论应该自动退化成小变形理论。由于刚体平动时，小应变的定义也不会产 生应变，所以有限变形的应变定义应该满足要求 1，当变形极小时，有限变形应 变定义可以退化成小变形应变定义，2，刚体转动不产生应变。 事实上可以有很多满足这个要求的应变定义的类型。所以在有限变形理论中 有许多种可供选择的满足对刚体运动的不变性的应变的定义，不像在小变形理论 中，只有一种应变定义。有的学者只推崇对数应变，将其称之为真应变，因为对 数应变满足累加特性，例如对于描述杆的伸长变化的对数应变定义为： 0ln( ) tL L ε = ，其中tL与分别为初始时刻与当前时刻的杆长。由于对数函数的特 性： ln(ab) = ln(a) + ln(b)，所以有 )ln()ln()ln()ln( 0 2 01 12 0 1 1 2 L L LL LL L L L L ==+ 。 在此我们可以将 1 0ln( ) L L 理解为第一次伸长应变1ε ，将 21ln( )LL 理解为增量应变 1εΔ ，于是上式可以表示为 2 1 1ε ε= + Δ ε 。这个特性在非线性问题中几乎是仅有的，是十分可贵的。 对杆的问题而言，由于对数应变的定义中只有杆长的变化，所以也满足对刚体运 动的不变性。可惜的是即使在小变形理论中也很难将对数应变运用于各种复杂受 力状态，例如就很难定义剪切对数应变。在有限变形理论中，我们将会对上述的 对数应变的定义推广到一般情况下，并且将论证在金属塑性大变形理论中，对数 应变将成为唯一可用的应变定义，起到不可取代的巨大作用。 类似于应变有多种多样的定义，在有限变形理论中应力的定义也有多种多 样，其主要区别就在于对所选取的参考位形的依赖性。在小变形理论中，对应力 的定义是从一个受力变形的物体，选取某一个假想截面，将物体分成两半，将内 力暴露为外力，建立坐标系后，从物体的平衡关系得出了物体内部一点的应力定 义。在小变形理论中事实上对于物体变形前后的位置与形状是不加区分的。而在 有限变形理论中则必须严加区分。不仅如此，所谓的假想截面可以对于不同参考 位形任意选取。由此演变出各种应力定义。在本章中就不一一介绍，将在后续的 专门章节中研究。正因为有多种多样的应变与应力的定义，在历史上也引起了一 些在认识上的混乱，例如：本构关系中应该如何选择合适的应力与应变，是否各 种应力与应变可以随便配对，在能量变分原理中是否需要使用特定的应力应变对 等等。这些问题队都将在将来予以一一研究讨论澄清。 参考文献 1．贾春元，板的非线性分析，科学出版社，1989 2．魏德敏，拱的非线性理论及其应用，科学出版社，2004 3．贾乃文，非线性空间结构力学，科学出版社，2002 4．童根树、许强，薄壁曲梁线性和非线性分析，科学出版社，2004 5． K.J. 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