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null数学建模漫谈数学建模漫谈 null数学建模1 从现实对象到数学模型 2 数学建模的重要意义 3 数学建模示例 4 数学建模的方法和步骤 5 数学模型的特点和分类null玩具、照片、飞机、火箭模型… …~ 实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机… …~ 物理模型地图、电路图、分子结构图… …~ 符号模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征1 从现实对象到数学模型我们常见的模型null你碰到过的数学模型——“航行问题”用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：答：船速每小时20千米/小时.甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时， 从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?x =20 y =5null航行问题建立数学模型的基本步骤 作出简化假设（船速、水速为常数）； 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）； 求解得到数学解答（x=20, y=5）； 回答原问题（船速每小时20千米/小时）。null数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling)对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、检验等）数学模型数学建模null2 数学建模的重要意义 电子计算机的出现及飞速发展； 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步， 越来越受到人们的重视。 在一般技术领域数学建模仍然大有用武之地； 在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具； 数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。null数学建模的具体应用 分析与设计 预报与决策 控制与优化 规划与管理数学建模计算机技术知识经济null3 数学建模示例椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析模型假设通常 ~ 三只脚着地放稳 ~ 四只脚着地 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形; 地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面; 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。null1.3 数学建模示例1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析模型假设通常 ~ 三只脚着地放稳 ~ 四只脚着地 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形; 地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面; 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。null模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 椅子位置利用正方形(椅脚连线)的对称性用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置 四只脚着地距离是的函数四个距离(四只脚)A,C 两脚与地面距离之和 ~ f()B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()两个距离椅脚与地面距离为零正方形ABCD 绕O点旋转null用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f() , g()是连续函数对任意, f(), g()至少一个为0数学问题已知： f() , g()是连续函数 ; 对任意， f() • g()=0 ; 且 g(0)=0， f(0) > 0. 证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.模型构成地面为连续曲面 椅子在任意位置至少三只脚着地null模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0. 令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0. 由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.评注和思考建模的关键 ~假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子和 f(), g()的确定null1.3.2 商人们怎样安全过河问题(智力游戏)   3名商人    3名随从随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货.但是乘船渡河的由商人决定.商人们怎样才能安全过河?问题分析多步决策过程决策~ 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.null模型构成xk:第k次渡河前此岸的商人数yk:第k次渡河前此岸的随从数xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, sk=(xk , yk)~过程的状态S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}S : 允许状态集合uk:第k次渡船上的商人数vk:第k次渡船上的随从数dk=(uk , vk):决策D={(u , v) u+v=1, 2} ____允许决策集合uk, vk= 0,1,2; k=1,2, sk+1=sk dk +(-1)k____状态转移律求dkD(k=1,2, n), 使skS, 并按转移律由 s1=(3,3)到达 sn+1=(0,0).多步决策问题null模型求解 穷举法 ~ 编程上机 图解法状态s=(x,y) ~ 16个格点允许决策 ~ 移动1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.s1sn+1d1, ，d11给出安全渡河方案评注和思考规格化方法,易于推广考虑4名商人各带一随从的情况允许状态S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}null 数学建模的一般步骤模 型 准 备了解实际背景明确建模目的搜集有关信息掌握对象特征形成一个 比较清晰 的‘问题’null模 型 假 设针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设在合理与简化之间作出折中模 型 构 成用数学的语言、符号描述问题发挥想像力使用类比法尽量采用简单的数学工具 数学建模的一般步骤null模型 求解各种数学方法、软件和计算机技术如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析模型 分析模型 检验与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、适用性模型应用 数学建模的一般步骤null建立数学模型的方法和步骤      第一、 模型准备 　　 首先要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。     第二、 模型假设 　　 根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力 ，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。      第三、 模型构成 　　根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。     第四、模型求解 　　可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。 第五、模型分析 　　对模型解答进行数学上的分析。"横看成岭侧成峰，远近高低各不同"，能否对模型结果作出细致精当的分析，决定了你的模型能否达到更高的档次。还要记住，不论那种情况都需进行误差分析，数据稳定性分析。 null数学建模的全过程现实对象的信息数学模型现实对象的解答数学模型的解答(归纳)(演绎)表述求解解释验证根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题选择适当的数学方法求得数学模型的解答将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象用现实对象的信息检验得到的解答实践现实世界数学世界null①数学建模实践的 每一步中都 蕴含着能力上的 锻炼，在调查研究阶段，需 要用到观察能力、分析能力和数据处理能力等。在提出假设 时，又需要用到 想象力和归纳 简化能力。 ②在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下前人或别人的工作，使自己的工 作成为别人研究工作 的继续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结果用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会在尽可能短的时间 内查到并学会我想应用的知识的本领。 ③还需要你多少要有点 创新的能力。这种能力不是生来就有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。 null例1 某人平时下班总是按预定时间到达某处，然 然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早 了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他 的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他 比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时 间？ 似乎条件不够哦 。。请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设 ？null分析 本题多少 有点象 数学中 解的存在 性条件 及证明，当 然 ，这里的情况要简单得多。 nullnullnull5 数学模型的特点和分类模型的逼真性和可行性模型的渐进性模型的强健性模型的可转移性模型的非预制性模型的条理性模型的技艺性模型的局限性 数学模型的特点null数学模型的分类应用领域人口、交通、经济、生态 … …数学方法初等数学、微分方程、规划、统计 … …表现特性描述、优化、预报、决策 … …建模目的了解程度白箱灰箱黑箱确定和随机静态和动态线性和非线性离散和连续null6 怎样学习数学建模数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用的准则想像力洞察力判断力 学习、分析、评价、改进别人作过的模型 亲自动手，认真作几个实际题目null建模实例 报童订报模型 ⑴ 问题: 报童每天清晨从报社购进报纸零售, 晚上将没有卖掉的报纸退回. 每份报纸订购价格为a, 零售价格为b, 退回价格为c ( b＞a＞c ). 请你为报童制定一个最佳订购方案.null⑵ 问题的分析 报童每天卖出报纸的数量x 是一个随机变量,因此报童每天的收入也是一个随机变量, 所以作为优化模型的目标函数, 不能是报童每天的收入, 而应该是他长期卖报的日平均收入. 从概率论中大数定律的观点来看, 这相当于报童每天收入的期望值. 另一方面, 如果报纸订得太少, 供不应求, 报童就会失去一些挣钱的机会, 将会减少收入；但如果订多了, 当天卖不完, 每份得赔钱, 报童也会减少收入.null⑶ 问题的假设 设报社有足够的报纸可供定购; 当天卖不出去的报纸只能退回; 报童除了订购报纸费用外, 其它费用 (如交通费、摊位费等) 一概不计; 报童每天订购n份报纸, 实际能卖出r份报纸, 且P{ x = r } = p ( r ). null⑷ 模型建立 如果0≤r≤n, 则售出r份报纸增加收入(b - a )r, 退回n-r份减少收入(a – c)(n-r)；如果r＞n, 则售出n份报纸增加收入(b - a ) n. 因此报童每天收入的期望值： 问题归结为在a, b, c, p ( r )为已知时, 求n使f ( n ) 最大. ⑸ 模型求解与结果 ⑹ 模型结果的模拟检验null报童每天卖出报纸的数量x 是一个随机变量, 它一般服从泊松 (Poisson) 分布或服从正态分布x ~ N (μ ,σ2 ) 其中参数可根据统计报童以前卖出报纸的数量得到. 当a = 35, b = 50, c = 12, x ~ N ( 80, 202 ) 时, 从1-5式中可解出n = 75. 用计算机模拟产生服从正态分布N ( 80, 202 ) 的随机数20个如下： 93 85 103 73 70 53 80 93 90 59 81 97 38 64 86 79 69 87 53 88 假设上述数据为报童20天中每天实际卖出报纸的份数, 则当报童每天订购73份报纸时, 20天的总收入17910达到最大, 这一结果与本模型中制定报童每天订购75份报纸(20天的总收入17902)的方案基本相同.null⑺ 模型的推广 报童订报模型适用于一些季节性强、更新快、不易保存等特点的货物订货模型. 但是模型中有一个严格的限制条件：两次订货之间没有联系, 这种策略是决策论中的一种定期定量订货策略.null背景世界人口增长概况中国人口增长概况研究人口变化规律控制人口过快增长如何预报人口的增长null指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798)常用的计算公式x(t) ~时刻t的人口基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数今年人口 x0, 年增长率 rk年后人口随着时间增加，人口按指数规律无限增长null指数增长模型的应用及局限性 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程19世纪后人口数据null阻滞增长模型(Logistic模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大假设r~固有增长率(x很小时)xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）nullx(t)~S形曲线, x增加先快后慢阻滞增长模型(Logistic模型)null参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口 预报，必须先估计模型参数 r 或 r, xm 利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位~百万）专家估计阻滞增长模型(Logistic模型)null模型检验用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较实际为281.4 (百万)模型应用——预报美国2010年的人口加入2000年人口数据后重新估计模型参数Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)阻滞增长模型(Logistic模型)湖州市人口研究湖州市人口研究湖州市人口发展预测 (可参阅理学院网页网络教学栏）  《湖州市人口信息与决策分析》课题组 湖州市历次人口普查数据湖州市历次人口普查数据湖州市人口分龄结构（一）湖州市人口分龄结构（一）湖州市人口分龄结构（二）湖州市人口分龄结构（二）人口预测的数学模型 设 为t 年代满i周岁但不足i+1周岁的人口总数，i=0,1,2,…,m，m为人能活到的最高年龄，则t年代的人口总数为人口发展预测的数学模型 ：人口预测的数学模型符号说明符号说明   1)   Φ(t)为t年代年龄在育龄区间[r1,r2]内所有妇女在一年中所生的婴儿数；v(t)为t年代妇女平均生育率；    2)   ki(t)是t年i周岁人的性别比例系数，ki(t)xi(t)为t年代i周岁的妇女总人数;    3)   hi(t)是妇女生育模式，v(t) hi(t)表示从t-1到t一年内年龄为i岁的妇女平均一个人所生的婴儿数，v(t) hi(t) ki(t)xi(t)为t 年代年龄为i周岁的所有妇女在一年内所生婴儿数；     4)   　　　为t 年代婴儿死亡率，Φ(t)-x0(t) 表示从t-1到t年代死亡的婴儿数；    5)   　　　为t 年代i周岁人群的死亡率；        6)   fi(t)为t年代i周岁的人群的净迁入量（迁入与迁出之差）。       人口数学模型计算机实现算法NS流程图 人口数学模型计算机实现算法NS流程图 湖州市预测人口数 湖州市预测人口数 null  续前表模型评价模型评价　　我们对湖州市1990-2010年分龄人口及总人口作了预测，数据见前表。具体数据分析如下： 1）原始数据更多地采用了1990年湖州市人口普查所得到的数据，如婴儿死亡率、各年龄初始数据、妇女生育模式等。这些数据实际上是随着年代而变化的，但为计算方便，我们假定它们是不变的，这对预测数据精度有影响。 2）对湖州市1990-2000年总人口数的预测数和实际数的比较看，对总人口数预测是比较正确的。 3）从湖州市的人口普查数据看，1990年和2000年的分龄人口数见表2，表2中实际数据和表1中的预测数据是非常接近的，这说明预测是成功的。 4）预测数据和实际存在着一些差异，有必要对原始数据作动态分析，这样预测将会更精确。 思考题思考题　　　认真比较指数增长模型与Logistic模型，并举例说明。