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作者简介:傅丽仙(&’(! #),女,福建仙游人,讲师 )
文章编号:&""* # "*!+(!""+)"* # "&&* # "+
群决策向量方向合成法在项目
中的应用[,]
傅丽仙
(华东交通大学 基础科学学院,江西 南昌 ++""&+)
摘要:论证了群决策特征根法[&,+]存在的缺陷 )考虑到权重决策向量只与方向有关,而与大小无关,提出一种群组决策向量方
向合成法,指出用该方法所确定的集结规则 -满足公平性,其决策结果满足群组团体影响力的和最大并且是唯一的,较好地
解决了该问
)最后,举例予以说明 )
关 键 词:群组决策;方向合成;真实偏好;公平性;影响力
中图分类号:.!!% 文献标识码:/
! 群决策的特征根法[&]及其问题
由 !&,!!⋯!" 组成的 " 个相互地位平等的专
家决策系统 #,评价 $ 个对象 %&,%!⋯ & %$,给出这
$ 个对象的相对重要性 &设 !’ 对第 ( 个被评目标 %(
的评分值记为 )’(!(",*]( ’ 0 &,!⋯";( 0 &,!⋯ $
且 * 1 "),则 !’ 的决策向量为 !" 0( )’&,)’!⋯ )’$)+,
)’(的值越大,目标 %( 的值最优 &专家的决策水平不
仅取决于它的专业水平、经验、知识面和综合能力,
而且与决策时的精神状态、情绪和偏好密切相关 &
所以,现实中决策可靠性达最大值 &(或者说决策的
不确定、不可靠性达最小值 ")的专家是不存在的 &
因此,我们假设一个评分最准(可靠性达 &"",)、最
公正、,即决策水平最高的专家叫做理想(最优)专
家 !" &它的评分向量为
!"" 0()"’&,)"’!⋯)"’$)+!-$
由于人们总是聘请水平较高的专家参与,故我
们现实地定义理想专家为,对被评物的认识与专家
群体 # 有最高一致性的专家,即 !"的决策结论与
# 的完全一致,与专家的个体差异最小 &
定义 & 具有评分向量与群体中各专家评分向
量夹角之和最小专家,称为该群体的理想(最优)专
家 &
由上定义不难写出 )"是使函数
. 0#
"
’ 0 &
(/+)’)!
取最大值时的向量,式中 # 0( /&,/!,⋯ /$)+!
-$,且不失一般性,可设$#$! 0 &,即
234#
"
’ 0 &
(#+)’)! 0#
"
’ 0 &
(!"+!")! (&)
为了求 #,文〔&〕中给出并证明了如下定理:
定理 &对于任意 #!-$,
234#
"
’ 0 &
(#+)’)! 0#
"
’ 0 &
(!"+!")0!234
式中,为矩阵 0 0 !+! 的最大正特征根,!"!234为对
应于 0 的正特征向量,且$ !"$ 0 & &其中 ) 0 )
( ’()245,即 ) 的第 ’ 行为 !+" 0( )’&,)’&,⋯,) ’$)&!"1)
为单根,不计比例因子情况下,4"唯一 )
本定理给出了群体 6对多个被评目标做评判
决策的新特征根法 )这种方法求出的理想专家的评
判分,即为多个被评目标的排序 )此方法只需专家
直接对各被评目标打分,然后被评分矩阵转置自乘
记为矩阵 7,7的最大特征根对应的特征向量就是
最优决策结论 )
以上即为群决策的特征根法的基本内容[&])下
面我们看一个例子来说明定义 &存在的问题 )
第 !"卷第 *期
!""+年 &"月
华 东 交 通 大 学 学 报
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I9< )!" J9)*
.K@ ),!""+
万方数据
例 !设有两个专家组成的群决策系统,相应的
决策向量分别为!!、!"!!",如图:
# " !
!!
!"
易知,从 !(#,#⋯#)点出发的!!,!",所夹并与
!!,!"分别成锐角的任一向量!(包括!!,!")都满
足定义 !所定义的理想专家的要求,它们都可作为
最终决策向量,现实中这种决策结果显然是不可能
达成一致或妥协的 "
定理 !之所以得出唯一性,是因为有一个数学
上的错误 "文[!]认为:
设 # 为群决策向量,"$ 为 # 与 $% $(%$!,%$",⋯,
%$")&,$ $ !,",⋯,’,则
%&’#
’
$ $ !
"$ (")
与(!)式等价,因此,有(!)式唯一解 #$%(")式亦
有唯一解 #$ (
这是错误的,例如:对于只有 "个专家组成的群
组决策系统,相应决策向量分别为 $% $( %$!,%$"⋯
%$")&!!",$ $ !,",则
(")式即 %&’"! (""&%)*+,-("! ("")
"! (""![#,#"]
&%)*(+,-"!+,-"" . -&’"!-&’"") (/)
(!)式即 %)*
#!!
"
’#’" $ !
[( #&%!)" (( #&%")"]& %)*
(+,-""! ( +,-""") (0)
而(/)&(0)(文〔!〕定理 !得出结论是(!)有唯
一最优解,从而(")有唯一最优解,与例 !结论不符,
是因为定理 ! 的唯一性结论是在文[!]承认(/)&
(0)的错误前提下得出的 (
文["]虽然理论上有些进展,但保留了上述定
理 !的错误前提 (
! 群决策的向量方向合成法
由 )!,)"⋯)’ 组成的 ’ 个相互地位平等的专
家决策系统 *,评价 " 个对象 +!,+"⋯ ( +",给出这
" 个对象的相对重要性 (设 )$ 对第 , 个被评目标 +,
的评分值记为 %$,!(#,-]( $ $ !,"⋯’;, $ !,"⋯ "
且 - 1 #),则 )$ 的决策向量为 $% $( %$!,%$"⋯ %$")&!
!",%$,的值越大,目标 +, 的值最优 ( )$ 的决策向量
$% 既有大小,又有方向 ( $% 的大小’ $%’反映了第 $
个专家对 +!,+"⋯+" 整体印象的好坏,在方向一致
的情况下,不同的专家打分也可能不同,有的专家
可能会整体偏高,有的专家可能会整体偏低,但对
应分量成比例 (在群决策中,我们关心的是 " 个被
评价对象 +!,+"⋯+" 的相对重要性,而这种相对重
要性的信息是由决策向量的方向
达出来的,与该
向量的大小无关,因此,制定集结规则时,必须剔除
各决策向量的大小(专家对 +!,+"⋯+" 整体印象的
好坏)对群决策结果影响 (
鉴于专家对 " 个对象 +!,+"⋯ +" 的相对重要
性的评价只与决策向量的方向有关,而与向量的大
小无关,令 !! $
$!
’$!’
,!" $
$"
’$"’
⋯!& $
$&
’$&’
,即!!,!"⋯!& 分别是 $!,$"⋯ $& 相应的
单位向量,以下我们仅对!!,!"⋯!& 集结方式加以
研究 "
定义 ! 设有 ’ 个 " 维决策向量 $!,$"⋯ $&!
!",!!,!"⋯!& 分别是 $!,$"⋯ $& 相应的单位向
量,称!!,!"⋯!& 分别为 $!,$"⋯$& 的真实偏好 "
定义 " 对于 ’(’(")个专家组成的群组决
策系统,设!是最终达成群组妥协或一致的向量,
(不妨令’!’" $ !),$$ 分别是第 $ 个专家的真实偏
好!$( $ $ !,"⋯’)在!上的投影,则称’$$’" 为
第 $ 个专家对最终决策结果!的影响力 (
定义 / 对于一个集结规则 .,任意 $%、$’,!)
$)’,!) ,)’,$ 是. 下 $%、$’ 的决策结果,若 $%、
$’ 与 $ 的夹角总相等,称 . 具有公平性 (
由定义 "易知,集结规则 . 具有公平性的含义
是:任意 $%、$’! &,!) $)’,!) ,)’,$ 是 . 下
$%、$’ 的决策结果,则第 % 个专家与第 ’ 个专家对 $
具有同样的影响力 "
在群决策中,我们认为能够达到群体一致的最
佳的决策是群体中各专家对最终决策结果达到影
响力最大化 "
注意到 $’$$’" $
!%!
’!%’·’!’’!%’
$!%!(注意’!’" $ !)
于是问题即为求解
%)*
’!’ $ !
#
’
$ $ !
’$$’" $ %)*
’!’ $ !
#
’
$ $ !
!%! (2)
由向量内积的性质
#
’
$ $ !
!%! $#
’
$ $ !
!%!
所以!与#
’
$ $ !
!% 同向时,(2)式取到最大值,于是
3!! 华 东 交 通 大 学 学 报 "##/年
万方数据
(!)的最优解为
! "!
!
" " #
!! #"!
!
" " #
!!" ($)
且($)是(!)唯一最优解 $
定义 % 设有 !(!#&)个 % 维向量 "#,"&⋯"#
$&%,它们相应的单位向量分别为!#,!&⋯!# 称
!
!
" " #
!! $"!
!
" " #
!!"为 "#,"&⋯"# 的方向合成向量 %
由定义 %及定义 %前面的讨论易知以下定理成
立 %
定理 # 设有 !(!#&)个 % 维决策向量为 "#,
"&⋯"#$&%,!#,!&⋯!# 分别为 "#,"&⋯"# 的真实
偏好,各专家地位平等的情况下,则决策结果满足
公平性、唯一性、群组团体影响力的和最大的充分
必要条件是集结规则 ’ 为($)式,’ 下的决策结果
是 "#,"&⋯"# 的方向合成向量 $
在群决策中,鉴于 % 个被评价对象 (#,(&⋯(%
的相对重要性,仅与决策向量方向有关,而与大小
无关,其最终决策结果是方向合成向量(相对来讲,
起作用的都是它们的方向),故称以上群决策方法
为向量方向合成法 $
! 群决策的向量方向合成法在项目评价中
的应用
现有三个项目分别是 )#,)&,)’,每个项目各有
三个同类指标 (#(利润率),(&(安全系数,与风险相
对,安全系数越大,风险越小),(&(环保指数),每个
项目相应的各指标都是越大越好(见表 #)$由六个
专家 *#,*&,*’,*%,*!,*$对 (#,(&,(’ 三个指标做
评判,评分结果见表 &,试给出项目投资的优先次
序 $
表 #
项目
指标
)# )& )’
(# ( $) ( $* ( $+!
(& ( $) ( $$ ( $*
(& ( $+! ( $+ ( $)!
表 &
指标
专家
*# *& *’ *% *! *$
(# ! # & # ’ #
(& % ’ % & % %
(’ # % ! % ! !
依表 &按群决策向量方向合成法得 $位专家对
(#,(&,(’ 的相对重要程度的最终决策结果为(( $
’$,( $$,( $+&),于是项目 )#,)&,)’ 的最终评价分别
为 # $’#,# $#),# $%&,所以项目 )#,)&,)’投资的优先
次序为 )’ , )# , )& $
" 结 论
本文从数学角度论证了群决策特征根法不满
足唯一性,从而是错误的方法 $
参考文献:
[#]邱菀华 -群组决策特征根法 -应用数学与力学[.]- #**+,
#)(##):#(&+ / #(’’-
[&]王明文 -谭玮 -关于群组决策特征根法的注记 -江西师范
大学学报[.]- 012 -&’-31-’ -456-#***,* / &&&-
[’]邱菀华 -管理决策与应用熵学[7]-北京:机械工业出版
社 - &((&,(#):&++ / &)*-
#$% &%’$() (* +%,’(- ./-%,’/(0 1(23(4/’/(0 #$-(56$ &57’/89-(53
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+##第 !期 傅丽仙:群决策向量方向合成法在项目评价中的应用
万方数据