7-1简谐振动1

nullnull ：（1）简谐振动的基本特征可以用以下三个方面来表示 null 以上三种说法在力学范围内是等效的，是同一物理本质的不同描述。 null(3) 判断一物体的运动是否为简谐运动，必须以简谐振动的基本特征为依据。有的读者认为，只要物体在某一位置附近作周期性运动，就是简谐振动，这是不对的。 一根质量可以忽略不计的轻弹簧和连挂的重物，组成弹簧振子 null二、描述简谐振动的特征量1. 振幅AXnull在SI制中，单位为 m(米) 2. 周期和频率 A 是参与振动的物体在振动过程中离开平衡位置的最大位移的绝对值,称为振幅。振幅是描述振动物体运动范围和运动幅度的物理量。 因为余弦 (或正弦)函数都是周期函数，因此简谐振动的位移也是周期性变化的。nullnull在SI制中, 单位分别为 周期 S (秒)、频率 Hz (赫兹)、角频率 rad·s-1 (弧度 / 秒) null3.相位和初相位注意：（1）相位是时间的线性函数，每一时刻，相位有确定的值，因而cos也都有确定的值； （2）当振幅A和角频率确定之后，振动物体的位移和速度完全由相位来决定。相位决定了振动物体在任意时刻的运动状态，而初相位决定了振动物体在初始时刻的运动状态； null（3）在A和不知道的情况下。尽管不能求得位移和速度，但是可以通过相位得出位移和速度的变化趋势。 （4）通过相位来判断两个同频率的简谐振动是同步、超前、还是落后（a）(1  2 ) = 0或2，两简谐振动相位相同 ;（b） (1  2 ) = 或奇数倍，简谐振动相位相反； （c） > (1  2 ) > 0，则说明1超前于2；（d）2 >(1  2 )>  ，则说明1落后于2； 若 (1  2 ) > 2，则应先减去2，再判断。nullnull三、简谐振动的矢量图解法和复数解法1.位移的矢量图解法周期 T矢量端点在X 轴上的投影对应振子的位置坐标nullnullnull简谐量的复数表示* 例 1：有一劲度系数为32.0 N  m-1 的轻弹簧, 放置在光滑的水平面上，其一端被固定, 另一端系一质量为500 g的物体。将物体沿弹簧长度方向拉伸至距平衡位置10.0 cm 处，然后将物体由静止释放, 物体将在水平面上沿一条直线作简谐振动。分别写出振动的位移、速度和加速度与时间的关系。 null解：设物体沿x 轴作简谐振动 A = 10.0 cm = 0.100 m 当t = 0 时 ，x = A ，cos =1 ， 即  = 0 速度、加速度的最大值为 vm =  A = 8.00×0.100 m  s1 = 0.800 ms1 am= 2 A = (8.00)2 ×0.100 m  s2 = 6.40 ms2 v = 0.800 sin 8.00 t ms1 a = 6.40 cos 8.00 t ms2 所以null 关键是要从振动曲线上求得振幅A、角频率和初相位。 振幅A可以直接从振动曲线上得到： A = 4.0102 m 初始时刻t = 0的位移x0和速度v0分别由以下两式表示 null从振动曲线可以得到x0 = A /2，将此值代入式(1)，得 由振动曲线在t = 0附近的状况可知，v0 > 0，同时因为A和都大于零，根据式(2)，必定有 可以确定，在t = 0时旋转矢量是处于第四象限内的，故取初相位为 null 最后求角频率 。从振动曲线可以看到，在t = l s时，x = 0，代入 从振动曲线还可以看到，在t = l s时，位移由正值变为负值。在旋转矢量图上，位移由正值变为负值，对应于旋转矢量处于  /2的位置，而不是处于 /2的位置，故应取 null 这样，可以将该简谐振动具体地写为 null四、简谐振动的能量以弹簧振子为例x = A cos ( t+) v = A sin ( t+) 总能量 尽管在振动中弹簧振子的动能和势能都在随时间作周期性变化, 但总能量是恒定不变的，并与振幅的平方成正比。 null 弹簧振子的动能和势能都随时间作周期性变化。当位移最大时，速度为零，动能也为零，而势能达到最大值；当在平衡位置时，势能为零，而速度为最大值，所以动能也达到最大值。 null此式表明，在平衡位置处，x = 0, 速度为最大；在最大位移处，x =  A, 速度为零。 null结论： (1) 对于弹簧振子这样的振动系统，线性回复力是保守力，所以振动系统的总机械能是守恒的。振动的过程，是动能与势能相互转换的过程。 (2) 弹簧振子的动能和势能分别按正弦的平方和余弦的平方随时间变化，而总机械能却是恒定不变的。 null 例 3：长为l 的无弹性细线，一端固定在A点，另一端悬挂质量为m的物体。静止时，细线沿竖直方向，物体处于点O，是系统的平衡位置。若将物体移离平衡位置，与竖直方向夹一小角度，由静止释放, 物体就在平衡位置附近往返摆动, 称为单摆。证明单摆的振动是简谐振动，并其能量。 根据牛顿第二定律得当偏角 很小时， sin  null这说明在偏角q 很小时, 单摆的振动是简谐振动 单摆系统的机械能包括两部分: 势能 Ep = m g h = m g l (1-cos ) 因为 很小, 上式只取前两项 null 上式表示, 尽管在简谐振动过程中，单摆系统的动能和势能都随时间作周期性变化，但总能量是恒定不变的，并与振幅的平方成正比。 null解 要证明某一振动是否为简谐振动，就要看该振动是否符合简谐振动的基本特征。null 设木块的边长为l，密度为1，水的密度为2。木块在平衡位置处静止时，应满定 取木块静止时质心的位置为坐标原点O，以竖直向下为x轴的正方向。在某时刻，木块的质心向下移至x处，木块所受合力为： null 式中k =  2l2g，负号表示力F的方向与位移x的方问相反。可见，F具有线性回复力的特点，木块在水面的上下振动是简谐振动。 null 小 结 1.简谐振动的基本特征 2. 描述简谐振动的特征量null相位和初相位nullXnull 小 结 1.简谐振动的基本特征 2. 描述简谐振动的特征量null相位和初相位null三、简谐振动的矢量图解法和复数解法周期 Tnull四、简谐振动的能量 振动系统的总机械能是守恒的。振动的过程，是动能与势能相互转换的过程