线性系统的频域分析法

总目录 第五章 线性系统的频域分析法 学习目的及要求: （1） 掌握频率特性的基本概念，频率特性与传递函数的关系； （2） 掌握频率特性的表达方法； （3） 熟练掌握Nyquist图和Bode图的一般绘制方法； （4） 熟练运用 Nyquist 判据判断系统的稳定性； （5） 熟练运用Bode图分析系统性能； （6） 掌握闭环频率特性的概念； （7） 掌握频域中的性能指标； （8） 掌握稳定裕度的概念。 本章重点、难点: 1 重点：频率特性的表达方法，基本概念， 频率特性的绘制 系统稳定性的判断及相对稳定性的衡量 2 难点：闭环频率特性的求法， 开环幅相频率特性图的画法， 频率特性和时间响应的关系。 本章: 5.1频率特性 5.2 频率特性的表达方式 5.3典型环节的频率特性 5.4 开环系统频率特性的绘制 5.5用频率特性法分析系统的稳定性 5.6系统暂态特性和开环频率特性的关系 5.7闭环系统的频域特性 本章学时：12学时 本章学习方法： 联系传递函数，微分方程等模型，将频率法和时域分析法、根轨迹法相比较，理解和掌握古典控制系统的完整体系。 5．1 频率特性的基本概念 本节重点：掌握频率特性的基本概念；正确理解频率特性的物理意义、数学本质及定义 一、 定义 在正弦输入信号作用下，环节或系统的输出稳态分量（或称频域响应）与正弦函数的复数比，称为环节或系统的频域特性。 引例： 由电路知识可知， 也是同频率的正弦信号，只不过幅值和相位发生变化，它们之间的关系满足 我们称之为频率特性，它是一个复变函数（是将 中的 ）。 提出问题： 1、这种分析方法是否适合于一般系统，即如果已知传递函数 ，那它的频率特性是不是 。 2、如果输入不是正弦，而是一般周期函数，通过 变换分解成一系列 正弦函数之和。 3、如果是非周期函数，这种关系还成立吗？ 以上分析表明：当电路的输入为正弦信号时，其输出的稳态响应结论： 1. 输入、输出正弦函数也是一个正弦信号，频率和输出信号的频率相同，但幅值和相角发生了变化。 2. A（ ω）和φ（ω）只与系统参数及输入正弦函数的频率有关， 3. 频率特性与传递函数的关系 4． 5．2 频率特性表达方法 本节重点：掌握频率特性的表达方式及特点 一、幅相频率特性 1、​ 代数形式 2. 指数形式 3.幅相特性表示法 极坐标图形式 在复平面，把频率特性的模和角同时表示出来的图就是极坐标图。 看一个惯性环节的频率特性 可以证明它的图像是一个半圆 ，令 有 二、对数频率特性 横坐标为 轴，以对数刻度表示之，十倍频程 纵坐标为贝尔lg （分贝20 lg ） 对数分度： 对数幅频特性绘在以10为底的半对数坐标中，幅值的对数值用分贝（dB）表示 画惯性环节的对数频率特性 令 ， ， ， ， 每增大十倍， 下降20分贝 相频： 对数频率特性优点： 1）​ 展宽频率范围 2） 2）​ 几个频率特性相乘，对数幅、相曲线相加 4）两个频率特性互为倒数，幅、相特性反号，关于 轴对称 小结 ：频率特性的表示方法，理解幅相频率特性图及BODE图的表达方式。 5．3 典型环节的频率特性 本节重点：熟记典型环节频率特性的解析式、曲线形状及特征点、特征量； 一、比例环节 传递函数 二、惯性环节 传递函数: 3.乃氏图 由0~无穷大时,A(ù) 在极坐标上轨迹 4.波特图（Bode图） 惯性环节的极坐标图 惯性环节的对数幅相特性曲线 三、积分环节 传递函数: 积分环节的极坐标图 积分环节的对数幅相特性曲线 四、微分环节 理想微分环节的极坐标图 理想微分环节的对数幅相频率特性 五、振荡环节(0<§<1) 可以证明：峰值频率 峰值 二阶振荡环节的极坐标图 二阶振荡环节的BODE图 六、时滞环节 时滞环节的极坐标图 时滞环节的对数幅相特性曲线 七 、最小相位环节 具有相同幅频特性的一些环节，其中相位移具有最小可能值的环节，称为最小相位环节。反之，则称为非最小相位环节。 最小相位系统的特性： 系统（环节）幅频特性给定时，也就决定了相频特性，或系统相频特性给出时，也就决定了幅频特性。 5.4 开环系统频率特性的绘制 本节重点：掌握频率特性的表达方式及特点 一.开环幅相频率特性的绘制 起点 终点 3.极坐标（乃图）与直角坐标横纵轴交点 方法一： 方法二： 与负实轴的交点：由 确定 与正实轴的交点：由 确定 与负虚轴的交点：由 确定 与正虚轴的交点：由 确定 4.曲线凹凸点与传递函数的分子中的时间常数有关。 如果在传递函数的分子中没有时间常数，则当ω由0增大到∞过程中，特性的相位角连续减小，特性平滑地变化。如果在分子中有时间常数，则视这些时间常数的数值大小不同，特性的相位角可能不是以同一方向连续地变化，这时，特性可能出现凹部。 实例应用分析 二、系统开环频率特性的Bode图的绘制 基本绘制步骤： ​ 确定交接频率标在角频率ω轴上。 ​ 在ω＝1处，量出幅值20lgK，其中K为系统开环放大系数。 ​ 通过A点作一条-20NdB/dec的直线，其中N为系统的串联积分环节的个数，直到第一 ​ 个交接频率 。 如果 ，则低频渐进线的延长线经过A点。 ​ 以后每遇到一个交接频率，就改变一次渐进线斜率。 每当遇到 环节的交接频率时，渐进线斜率增加-20dB/十倍频； 每当遇到 环节的交接频率时，渐进线斜率增加+20dB/十倍频； 每当遇到 环节的交接频率时，渐进线斜率增加-40dB/十倍频。 ​ 绘出用渐进线表示的对数幅频特性以后，如果需要，可以进行修正。通常只需在交接 频率出以及交接频率的二倍频和1/2倍频处的幅值就可以了。 对于一阶项，在交接频率处的修正值为±3dB； 在交接频率的二倍频和1/2倍频处的修正值为±1dB。 对于二阶项，在交接频率处的修正值可由求出。 系统开环对数幅频特性L(ω)通过0 分贝线，即 时的频率 称为穿越频率。 穿越频率 是开环对数相频特性的一个很重要的参量。 ​ 绘制开环系统对数相频特性时，可分环节绘出各分量的对数相频特性，然后将各分量 的纵坐标相加，就可以得到系统的开环对数相频特性。 例题： 3.实例分析 5．5 用频率法分析控制系统的稳定性 教学重点：乃氏判据、对数判据确定系统的稳定性； 稳定裕度； 教学难点：相对稳定性； 教学要求：熟练运用乃氏判据、对数判据确定系统的稳定性；明确稳定裕度的概念,熟练用解析法和图解法计算稳定裕度； 本节介绍另一种重要并实用的方法——乃奎斯特稳定判据。即根据系统的开环频率特性，来判断闭环系统的稳定性，并能确定系统的相对稳定性。 一、S平面和平面 根平面（S）平面：用S=δ+jω代表闭环系统特征方程式的根。前一章根轨迹是画在S平面的。 平面（W平面）：如用=P（s）+jф（s）表示。异端u（s）为横坐标，v（s）为纵坐标，该平面称为W平面。 二个平面的关系： 若在S平面给定一个定点，则在W平面有一个对应点，反之，在W平面给定一个点，则在S平面上有一个对应点。 同样，当自变量S在S平面上移动画一条曲线时，在W平面也就会有一条曲线与之对应，两曲线之间的关系，则随着表达式的不同而变化。 二、平面（W平面）上的关键点 1、平面上开环幅相特性曲线（乃图）对应S平面上的什么？ 由乃图知道，开环传递函数中s=jω并另ω由-∞→∞时，在平面上 画出的轨迹，因为W（jω）两个坐标P（ω），自变量是ω，而对应S平面中， 考虑ω时，只能走虚轴，即实部为零，只在虚轴上。 综上所述，可以找到平面上的关键点，在第四章中，根轨迹于虚轴的交点是S平面的关键点，此时系统处于稳定边界，闭环特征返方程式有纯虚根。 即 ： 说明曲线通过平面上（－1，j0）点， 所以这一点（－1，j0）是平面上的关键点。 ω由0→＋∞时，S平面上正虚轴对应平面的曲线，只是一半，ω由－∞→0没画在 中。 三、乃奎斯特判据的要点 S平面根轨迹位于虚轴左侧时系统稳定，而乃图究竟在（－1，j0）点左侧稳定还是右侧稳定？ 由下例说明 S平面根轨迹图 由根轨迹知，当 临界时，系统稳定，反之，系统不稳定。 由乃图可知，当 时，也就是 （因为与K有对应关系） 乃图与负实轴交点坐标 即乃图在（－1，j0）点右侧系统一定稳定，反之，系统一定不稳定。 如图将乃图封闭起来（增设增补曲线），则系统稳定与否就可以看作乃图是否包围（－1，j0）点了。当然，也可以将乃图是否包围（－1，j0）点的说法说成是乃图在 负实轴“－1”之左部分是否有穿越，穿越次数就是包围的次数。 四、乃奎斯特判据（乃氏判据） 可由幅角定理证明（从略） 1.​ 乃氏判据： 已知闭环系统的开环传递函，其右极点的个数为P, 在复平面上绘制相应的幅相频率特性（乃图，ω由0→+∞）,并设乃图穿越负实轴“－1”之左部分的次数为N,（穿越次数见下图说明） 若：令Z为闭环系统右特征根个数，并且满足 Z=P-2N 则为Z=0 闭环系统一定稳定 Z≠0 闭环系统一定不稳定 右极点个数P=1 注：这里只考虑ω由0→+∞时，Z=P-2N 而当－∞→+∞时，Z=P-N，不同 K>1，用乃氏判据判稳定 解：非最小相位系统 P=1 起点：A（0）＝－K （第4象限） 终点：A(∞)=0 Z=P-2N=1-2× ＝0 稳定 例2： P=0,Z=0,N=0,稳定 2、应用 例1 系统 试：由乃氏判据判定其稳定性 解：绘制乃图如下： 因为 P=0,N=0 Z=P-2N=0 闭环系统一定稳定 同学们可用劳斯判据在验证一次。 例2 系统 试由乃氏判据判断系统稳定性 解：绘制乃图如下： P=0, N=-1, Z=P-2N=0-2×（－1）＝2≠0 系统一定不稳定， 并有两个闭环极点在s平面的右半部。（两个右根） 五、由开环对数频率特性判断系统稳定性——对数判据 1、关系 系统开环频率特性的乃图与Bode图之间存在着一定的对应关系。 ①      乃图上 的单位图对应于Bode图的零分贝线。 ②      单位图以外对应L(ω)>0 ③      乃图上负实轴对应于Bode图上相频特性的－π线。 当幅相特性逆时针方向穿越“－1”左部，为正穿越“＋1”，相频特性，由下向上穿越－π线，产生正相位移；当幅相特性顺时针穿越（－1，－∞）线段，相频特性由上向下穿越一π线，负穿越在 Bode图上反映为在L(ω)>0频段内，相频特性穿越－π线。 2、判据 A(ω)=1 L(ω)=0 A(ω)>1 L(ω)=20lg A(ω)>0 单位圆外， A(ω)<1 L(ω)<0 单位圆内 3、举例 P=0 N=-1 Z=P-2N=0-2(-1)=2 闭环系统不稳定，有2个极点在右半s平面。 六.系统的稳定裕度 1、相位裕度 2、增益裕度 在相角位移 小结： 根据系统的开环频率特性，来判断闭环系统的稳定性，并能确定系统的相对稳定性。明确稳定裕度的概念,熟练用解析法和图解法计算稳定裕度。 5.6 系统暂态特性和开环频率特性的关系 教学重点：掌握系统对数频率特性的主要特征； 理解三频段的概念与作用。 1、​ 开环对数频率特性的基本性质 ​ 波德定理 ​ 波德第一定理指出，对数幅频特性渐进线的斜率与相角位移有对应关系。例如对数幅频特性斜率为-20NdB/十倍频，对应于相角位移 。在某一频率 时的相角位移，当然是由整个频率范围内的对数幅频特性斜率来确定的，但是，在这一频率 时的对数幅频特性斜率，对确定时的相角位移，起的作用最大。离这一频率 越远的幅频特性斜率，起的作用越小。 ​ 波德第二定理指出，对于一个线性最小相位系统，幅频特性和相频特性之间的关系是唯一的。当给定了某一频率范围的对数幅频特性时，在这一频率范围的相频特性也就确定了。反过来说，给定了某一频率范围的相角位移，那么，这一频率范围的对数幅频特性也就确定了。可以分别给定某一个频率范围的对数幅频特性和其余频率范围的相频特性，这时，这一频率范围的相角位移和其余频率范围的对数幅频特性也就确定了。 结 论： ​ 穿过Wc的幅频特性斜率以-20dB/十倍频为宜，一般最大不超过-30dB/十倍频。 ​ 低频段和高频段可以有更大的斜率。低频段有斜率更大的线段可以提高系统的稳态指标；高频段有斜率更大的线段可以更好地排除高频干扰。 ​ 中频段的穿越频率Wc的选择，决定于系统暂态响应速度的要求。 ​ 中频段的长度对相位裕量有很大影响，中频段越长，相位裕量越大。 2、​ 系统暂态特性和开环频率特性的关系 以二阶系统为例 小结： 1、​ 频率特性是线性系统（或部件）的正弦输入信号作用下的稳态输出和输入之比。它和传递函数、微分方程一样能反映系统的动态性能，因而它是线性系统（或部件）的又一形式的数学模型。 2、​  传递函数的极点和零点均在s平面左方的系统称为最小相位系统。由于这类系统的幅频特性和相频特性之间有着唯一的对应关系，因而只要根据它的对数幅频特性曲线就能写出对应系统的传递函数。 3、​ 乃奎斯特稳定判据是根据开环频率特性曲线围绕(-1, j0)点的情况（即N等于多少）和开环传递函数在s右半平面的极点数P来判别对应闭环系统的稳定性的。这种判据能从图形上直观地看出参数的变化对系统性能的影响，并提示改善系统性能的信息。 4、​ 考虑到系统内部参数和外界环境的变化对系统稳定性的影响，要求系统不仅能稳定地工作，而且还需有足够的稳定裕量。稳定裕量通常用相位裕量和增益裕量来表示。在控制工程中，一般要求系统的相位裕量在30º-60º范围内，这是十分必要的。 5、​ 只要被测试的线性系统（或部件）是稳定的，就可以用实验的方法来估计它们的数学模型。这是频率响应法的一大优点。 5.7 闭环系统的频率特性 教学重点：控制系统频率评价指标 系统暂态特性和闭环频率特性的关系 闭环系统频率特性与开环频率特性的关系 教学难点：闭环频率特性的绘制 一、闭环频率特性频域的性能指标 1、谐振峰值Mp(Mr)是闭环系统幅频特性的最大值。 通常，Mp越大↑，超调量δ％↑。 2、谐振频率ωp,是闭环系统幅频特性出现谐振峰值时的频率。 3、截至频率ωb，0分贝一下3dB时对应的频率。 4、频率宽Bw(带宽) 闭环系统频率特性幅值，由其初始值M(0)减小到0.707 M(0)的频率(或由ω＝0的增量 降低3分贝时频率)。0≤ω≤ωb 频带越宽，上升时间越短，但对于高频干扰的过滤能力越差。 5、剪切速度。指在高频时频率特性衰减的快慢。在高频区衰减越快，对于信号和干扰分辨力强，频率越大，斩波作用越强，系统抗干扰能力越强。 二、闭环系统频率特性与开环系统频率特性的关系 一、从开环对数幅频特性可以判断闭环稳定性及静态特性 ​ 如果开环对数频率特性穿越0分贝时的斜率为-1，并且有一定宽度 我们看如下频率特性 -1段的宽度 6.25， 可以看出这种结构和参数几乎是临界情况。如要求闭环系统稳定 　应以-1斜率穿越0分贝轴，且-1段的宽度为 倍。 ​ 该系统II型，K如何从图上求出？——由K可知系统静特性 二、如何从开环对数幅频特性来判断闭环系统的动态特能 主要看开环的中频段 ​ 稳定裕量与动态性能（超调）的关系 有一些近似的关系 更粗略 （有一定范围） ​ 剪切频率 与过渡过程时间 的近似关系 让我们看 系统闭环以后 如果K↗，频带加宽 减小，说明频率尺度与时间尺度成反比关系 对于复杂系统也有类似关系 三、高低频段特性与动态性能的关系 低频段主要影响静态特性 高频段要衰减得快些，抑制噪声 四、介绍几个经验公式 小结： 理解闭环频率特性的概念 掌握闭环系统频率特性与开环频率特性的关系