向量不等式-｜a｜｜b｜≤a·b≤｜a｜｜b｜的应用

数 学 通 讯 2006年第 l0期 向量不等式一I a【I b l≤n· ≤ l a l f b l的应用 刘永良 (永兴县第一中学，湖南 423300) 由平面向量的数量积公式：a·b=lal · l b l cosO(其中 为非零向量 a与b的夹 角)，我们容易得到下面的结论： 一 ln1．1 bl≤n·6≤laI．1 b1． 当a与b共线且方向相同时，右边的不 等式取等号；当a与b共线且方向相反时，左 边的不等式取等号． 这个结论在证明不等式和求函数的最值 时常常用到，使用的关键是恰当地构造向量， 下面举例说明，请读者自己体会其中的技巧． 例 1 (1990年 日本 n 选拔赛) 若 X，Y，z∈R ，且 z+Y+z=1，求证： + +二 ≥36． X z 证明 设n=c√ ，√专，√导 ，6= (√ ，4-；，√z)，则a· =1+2+3=6， aI= l bl一~／—xq-y—+z=1． 又．．。I a『I bIi>a·b，即 ．．． + +旦≥36 ． X Y z 例 2 已知 a，6，f∈R ，且 a+6+f=l， 求证：vq-S-％-l+ 而 + 而 ≤~／ ． 证 明 设 m = (~／4口+1，~／46+1， FT)，一一(1，1，1)，则 m·，l=vq~一％-T+vqT％-l+、 丁， l ml=,,1—4aq-1+4b+—1+4cq-1， =√ 。．．m·一≤l ml l—l， ． 。 ． 4v／TS-T]+ 而 + =FT ≤、／，4口+1+46+1+4f+1 又 ’·’a十 b十f一 1， ：。,,／TS---+-f+、 + 4cvq-[4-T<~ 蕊 ． 例3 设 a，6，C，是正实数，求证： b C+ a + a ≥ ． + f+ + 6 2 渊 (焘 ，而b，而CC a b)， b+ √c+ a+ 一=(~／ ，~／ ¨干-)，则 m ·一一a+b+ C． m I= l—l= 开而 ． ‘ ．‘l m l l—l≥m·一， ． · ． + 52 + cz _丽(a+b+c)z ， 即 + t ≥学 ． 例4 (1984年列宁格勒奥林匹克 试题)已知 a，b，C∈R ，且 a+b+C=1，求 证： + +拿≥1． 证明 设 m=c ， ， = ， ， )，则 ． ． m ·n a+ b+ r= 】． m I一 一 再 =1． ．．’J m J·J，l J≥ ·，l， ． · ． 、^／] az瑶bz cz≥1，即a z十 bz十 cz≥1． 例 5 (第 15届伊朗数 学奥林匹克试 维普资讯 http://www.cqvip.com 2006年第 1O期 数 学 通 讯 13 题)若x,y,z均大于 1．~tk z +k +k z =z，求 证： 习 +,~／—y--—l+ 证明 设a一( 再 。再 ， 一 ( 测 a·6一 + 丁+,／7=i一， a I— l bI= 雨 ． 。．．I al I bl≥口·b， 一 1。 ．．． 再 ≥,／xST+ 了+ zv／-~-z1． 例 6 (《数 学通报 》1993(6)，数学 问题 839)若 口， ，y为锐角，且 COS。口-t-COS。卢-t- COS 7----1，求证 ： sinz十 + ≥旦 2． 口。sin 口。sin y，／ 。 证 明 设 a一 (sina，si ，sinT)，b一 ( ，南，丽1)，则a· ， 一 == 一 ， bI一 ．．．I alI bI≥口·6， ≥3， ． · ． +南+ ≥导． 例7设z， ∈R ，且 +专一1，求z +2y的最小值． 解 设口=(√ ，√ )，6一( ， _)，则 a·b— xz+^J x2 一3啦， I口I一√ + 一1，l 6l一厕 ．．． 习 ≥3√ ，．．．z+2 ≥18，当且 仅当 16= 1 ， 8．1． 歹1—1时取等号， 即当z一12，Y一3时，z+2y取得最小 值 18． 例 8 求函数 一2cosx--3sinx的最大、 最小值及取最值时 tanm的值． 解 设 口一(2，一3)，6一(cosx，sinx)，则 a·6一 一 2cosx-- 3sinx， I aI一 可 一、／， ， 一 ~—coszx+—sinzx=1， ‘ ． ‘ 一 I aI·I bI≤口·6≤ I a1．I bI， ． ’ ． 一 、／， ≤ ≤~／_． 当口与b共线且方向相同时，a·b取得 最大值~／ ，这时 ta 一 一一 3 ． ． 当口与b共线且方向相反时，a·矗取得 最小值一 ，这时 tan 一 =一 3 ． 例9 已知o