2006IMO中国国家队选拔（第二十一届）

《数学奥林匹克报》 www.mathoe.com Mathematical Olympiad Express 普及数学知识，传播奥林文化，快递竞赛信息。 IMO 中国国家队选拔考试 2006 第 21 届 2006年3月31日 8∶00～12∶30辽宁沈阳东北育才学校每题21分 一、设H为ΔABC的垂心，D，E，F为ΔABC的外接圆上三点使得AD∥BE∥CF，S，T，U分别为D，E，F关于边 BC，CA，AB的对称点。求证: S，T，U，H 四点共圆。 二、给定正整数 n，求最大的实数C，满足：若一组大于1的整数(可以有相同的)的倒数之和小于C ， 则一定可以将这一组数分成不超过 n组，使得每一组数的倒数之和都小于1。 三、对正整数M，如果存在整数a，b， c， d 使得M ≤a＜b≤ c＜ d≤M＋49，ad＝bc， 则称M为好数, 否则称M为坏数。试求最大的好数和最小的坏数。 2006年4月1日8∶00～12∶30辽宁沈阳东北育才学校每题21分 四、设 k≥3是奇数. 证明：存在一个次数为 k的非整系数的整值多项式 ( )f x ，具有下面的性质： (1) ( )0f ＝0， ( )1f ＝1； (2) 有无穷多个正整数 n，使得：若方程 n＝ ( )1f x ＋⋯⋯＋ ( )sf x 有整数解 1x ，⋯⋯， sx ， 则 s≥ 2k－1。(若对每个整数 x，都有 ( )f x Z∈ ，则称 ( )f x 为整值多项式。) 五、给定正整数m，a，b， ( ),a b ＝1。A 是正整数集的非空子集，使得对任意的正整数 n都有 an∈A 或 bn∈A。对所有满足上述性质的集合A，求 { }1,2, ,A m∩ "" 的最小值。 六、已知ΔABC覆盖凸多边形M。证明：存在一个与ΔABC全等的三角形，能够覆盖M，并且它的一条边所在 的直线与M的一条边所在的直线平行或者重合。 2006第47届IMO于2006年7月6日～7月18日在斯洛文尼亚卢布尔雅那举行 中国国家队队员是 任庆春 天津耀华中学 金牌 邓 煜 深圳高级中学 金牌 沈才立 浙江镇海中学 金牌 柳智宇 华中师大一附中 金牌 甘文颖 湖北武汉武钢三中 金牌 金 龙 长春东北师大附中 金牌