四面体内心和旁心的另外两个性质

四面体内心和旁心的另外两个性质 李 青 林 　　周 　园 (华中师范大学数学与统计学学院 , 430079) 　　文[1 ][3 ]对三角形内心 ,旁心的性质进行 了研究 ,文[4 ]给出了四面体内心与旁心的一 个有趣性质 ,笔者深受启发 ,探究出空间四面 体内心和旁心的另外两个性质 ,为行文方便 , 我们把文 [ 4 ]的两个结论作为本文的两个 引理 . 引理 1 　设四面体 AB CD 的四个顶点 A , B , C , D 所对的三角形面积分别为 S A , SB , S C , S D . I 为四面体 AB CD 的内心 (内切球球 心) ,则有 S A·IA + SB·IB + S C·IC + S D·ID = 0. 引理 2 　设四面体 AB CD 的四个顶点 A , B , C , D 所对的三角形面积分别为 S A , SB , S C , S D . I 为四面体 AB CD 的三面角 A 所对的 旁心 (旁切球球心) ,则有 S A·IA = SB·IB + S C·IC + S D·ID = 0. 先给出四面体内心的两个性质 : 图　1 性质 1 　设四面 体 AB CD 的四个顶点 A , B , C , D 所对的三 角形面积分别为 S A , SB , S C , S D . I 为四面 体 AB CD 的内心 ,过 I 作平 面 交 AB , A C , A D 于 M , N , L (如图 1 所示 ) , 且 A M = m AB , A N = n A C , AL = l A D ,则有 SB m + S C n + S D l = S A + SB + S C + S D . 证明 　由引理 1 有 　S A·IA + SB·IB + S C·IC + S D·ID = 0] S A·IA + SB·( IA + AB ) 　+ S C·( IA + A C) + S D·( IA + A D) = 0] ( S A + SB + S C + S D) ·IA + SB·AB 　+ S C·A C + S D·A D = 0] IA = SBS A + SB + S C + S D AB 　+ S CS A + SB + S C + S D A C 　+ S DS A + SB + S C + S D A D , ① 又由于点 I 在面 M NL 内 , 则有 A I =α A M +βA N +γAL (其中α+β+γ= 1) , 所以 A I =αm AB +βn A C +γl A D. ② 综合 ①, ②式得到 α+β+γ= 1 αm = SBS A + SB + S C + S D βn = S CS A + SB + S C + S D γl = S DS A + SB + S C + S D , 所以有 SB m + S C n + S D l = S A + SB + S C + S D . 性质 2 　设四面体 AB CD 的四个顶点 A , B , C , D 所对的三角形面积分别为 S A , SB , S C , S D . I 为四面体 AB CD 的内心 ,过 I 作平 面交 AB , A C , A D 于 M , N , L (如图 1 所示)且 A M = m AB , A N = n A C , AL = l A D , 记 V A2BCD的体积为 V , V A2MNL的体积为 V′,则有 V V′≤ ( S A + SB + S C + S D) 3 27 SB S CS D . 证明 　由性质 1 知 63 数学通讯 (2008 年第 17 期) 　　　　　　　　　　　　·专论荟萃· SB m + S C n + S D l = S A + SB + S C + S D , 令 x = SB m , y = S C n , z = S D l ,则 x + y + z = S A + SB + S C + S D . 由于 xyz ≤( x + y + z3 ) 3 = ( S A + SB + S C + S D) 3 27 , 所以有 SB S CS D m nl ≤ ( S A + SB + S C + S D) 3 27 , 所以 VV′= 1 m nl ≤ ( S A + SB + S C + S D) 3 27 SB S CS D . 当且仅当 x = y = z = S A + SB + S C + S D3 (即 m = S A + SB + S C + S D3 SB , n = S A + SB + S C + S D 3 S C , l = S A + SB + S C + S D 3 S D ) 时 等号成立 . 四面体的旁心也有类似结论 : 图　2 结论 1 　设四面体 AB CD 的四个顶点 A , B , C , D 所对的三角形 面积分别为 S A , SB , S C , S D . I 为四面体 AB CD 的三面角 A 所对的旁 心 ,过 I 作平面分别交 AB , A C , A D 于 M , N , L (如图 2 所示) 且 A M = m AB , A N = n A C , AL = l A D ,则有 SB m + S C n + S D l = SB + S C + S D - S A . 证明 　由引理 2 知 S A·IA = SB·IB + S C·IC + S D·ID , 所以有 S A ·IA = SB ·( IA + AB ) + S C· ( IA + A C) + S D·( IA + A D) , 即得 ( SB + S C + S D - S A ) ·IA = SB ·AB + S C·A C + S D·A D. 故 IA = SBSB + S C + S D - S A AB + S C SB + S C + S D - S A A C + S D SB + S C + S D - S A A D ③ 又由于点 I 在面 M NL 内 , 则有 A I = αA M +βA N +γAL , (其中α+β+γ= 1) , 所以 A I =αm AB +βn A C +γl A D. ④ 综合 ③④式得到 α+β+γ= 1 αm = SBSB + S C + S D - S A βn = S CSB + S C + S D - S A γl = S DSB + S C + S D - S A 所以有 SB m + S C n + S D l = SB + S C + S D - S A . 结论 2 　设四面体 AB CD 的四个顶点 A , B , C , D 所对的三角形面积分别为 S A , SB , S C , S D . I 为四面体 AB CD 的角 A 所对的旁 心 ,过 I 作平面分别交 AB , A C , A D 于 M , N , L (如图 2 所示) 且 A M = m AB , A N = n A C , AL = l A D ,记 V A2BCD的体积为 V , V A2MNL 的 体积为 V′,则有 VV′≤ ( SB + S C + S D - S A ) 3 27 SB S CS D . 证明过程与性质 2的证明类似 ,这里略去. 参考文献 : [1 ] 　田富德. 三角形内心的两个性质. 数学通讯 , 2007 (19) . [2 ] 　李成友. 再议三角形重心性质的空间拓广. 数 学通讯 ,2007 (15) . [3 ] 　代银. 三角形旁心的两个性质. 数学通讯 , 2008 (5) . [4 ] 　段惠民. 四面体内心与旁心的一个有趣性质. 数学通讯 ,2004 (9) . (收稿日期 :2008 - 05 - 12) 73·专论荟萃·　　　　　　　　　　　　数学通讯 (2008 年第 17 期)