D3_2洛必达法则

null第二节第二节三、其他未定式 二、 型未定式一、 型未定式洛必达法则 第三章 null微分中值定理函数的性态导数的性态函数之商的极限导数之商的极限 转化本节研究:洛必达法则洛必达 一、一、定理 1.型未定式(洛必达法则) 证:证:(  在 x , a 之间)无妨假设在指出的邻域内任取则在以 x, a 为端点的区间上满足柯故定理条件: 西定理条件,推论1.推论1.定理 1 中换为下列过程之一:推论 2. 若理1条件, 则条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.洛必达法则定理1 例1. 求例1. 求解:原式注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !例2. 求例2. 求解: 原式 思考: 如何求 ( n 为正整数) ?洛二、二、型未定式存在 (或为∞)定理 2.证: 仅就极限存在的情形加以证明 .(洛必达法则)1)1)的情形从而2)2)的情形.可用 1) 中结论3)3)时, 结论仍然成立. ( 证明略 )说明: 定理中换为之一,条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.定理2 例3. 求例3. 求解:原式例4. 求解: (1) n 为正整数的情形.原式洛例4. 求例4. 求(2) n 不为正整数的情形.从而由(1)用夹逼准则存在正整数 k , 使当 x > 1 时,说明:说明:1) 例3 , 例4 表明时,后者比前者趋于更快 .例如,事实上用洛必达法则2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问 . 3) 若3) 若例如,极限不存在不能用洛必达法则 ! 即 三、其他未定式:三、其他未定式:解决方法:通分取倒数取对数例5. 求解: 原式洛例6. 求例6. 求解: 原式通分取倒数取对数洛例7. 求例7. 求解: 利用 例5例5 通分取倒数取对数例8. 求例8. 求解: 注意到原式洛例9. 求例9. 求例3法1. 直接用洛必达法则.下一步计算很繁 ! 法2. 利用例3结果.原式例3 例3内容小结内容小结洛必达法则思考与练习思考与练习1. 设是未定式极限 , 如果是否的极限也不存在 ? 举例说明 .极限不存在 , 说明3) 原式:说明3)3.3.分析:原式洛4. 求4. 求则解: 令原式洛洛作业作业 P138 1 (6)，(7)，(9)，(12)，(13)，(16), *4第三节 洛必达(1661 – 1704)洛必达(1661 – 1704)法国数学家,他著有《无穷小分析》(1696),并在该书中提出了求未定式极限的方法, 后人将其命名为“ 洛必达法的摆线难题 ,以后又解出了伯努利提出的“ 最速降 线 ” 问题 ,在他去世后的1720 年出版了他的关于圆锥曲线的书 .则 ”.他在15岁时就解决了帕斯卡提出备用题备用题求下列极限 :解:洛null则原式 =解: 令(用洛必达法则)(继续用洛必达法则)null解:原式 =第三节 洛