简谐振动

本资料来源于《七彩教育网》http://www 本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn 简谐运动 复习要点 1．了解机械振动的定义及特点，了解回复力的概念。 2．掌握简谐运动的运动学特征及动力学特征，掌握利用简谐运动的力学特征判断运动是否是简谐运动的方法。 3．理解振幅、周期、频率等概念的含意。 4．掌握简谐运动的振动图象，学会借助于振动图象解决相关的简谐运动问题的方法 5．掌握特殊的简谐运动（单摆）的运动规律及周期公式。 二、难点剖析 1．简谐运动的特征与判断 （1）从运动学角度看，简谐运动的特征要有：往复性；周期性，对称性。所谓的往复性，指的是做简谐运动的质点总是在平衡位置附近（与平衡位置相距不超过振幅A的范围内）往复运动着，而迫使其往复的则是做简谐运动的质点所受到的回复力。所谓的周期性，指的是做简谐运动的质点所做具有往复特征的运动总是周而复始地进行着，而每一个循环所经历的时间都是相同的具有严格的周期性特征。所谓的对称性，指的是做简谐运动的物体在一个周期内将经历四个阶段：从平衡位置向着正方向最大位移运动，这一阶段运动速度逐渐减小而运动加速度的逐渐增大；从正方向最大位移处向着平衡位置运动，这一阶段运动速度逐渐增大而运动加速度则逐渐减小；从平衡位置向着负方向最大位移处运动，这一阶段运动速度逐渐减小而运动加速度则逐渐增大；从负方向最大位移处向着平衡位置运动，这一阶段运动速度逐渐增大而运动加速度则逐渐减小。上述四个阶段无论是从时间上看或是从空间上看，都是关于平衡位置为对称的。 （2）从动力学角度看，简谐运动的特征现在所受到的回复力的形式上：简谐运动的质点所受到的回复力F其方向总与质点偏离平衡位置的位移x的方向相反，从而总指向平衡位置；其大小则总与质点偏离平衡位置的位移x的大小成正比，即 F=－kx （3）通常可以利用简谐运动的动力学特征去判断某质点的运动是否是简谐运动，其具体的判断方法是分为两个步骤： 首先找到运动质点的平衡位置，即运动过程中所达到的受到的合力为零的位置，以该位置为坐标原点，沿质点运动方向过立坐标；其次是在质点运动到一般位置（坐标值为x）处时所受到的回复力F，如F可表为 F=－kx 则运动是简谐的，否则就不是简谐音。 ★2．匀速圆周运动与简谐运动的关系. （1）匀速圆周运动的投影是简谐运动. 如图所示，当质点m沿半径A的圆，以角 速度ω做匀速圆周运动时，一束平行光的照射下，质 点在水平地面上的投影剧院将在O点附近往复运动， 做圆周运动的质点所受到的向心力大小为 F向=mAω2 其投影剧院相当于受到的大小为 F回=F向cosθ 的回复力的振动，考虑到 cosθ= HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" EMBED Equation.3 具F向的方向与投影偏离“平衡位置”O点的位移x的方向相反，于是有 F向=－mAωcosθ=－m ω2x=－kx 即：匀速圆周运动的投影剧院是简谐运动 （2）简谐运动的周期公式 由于匀速圆周运动的周期与角速度的关系为ω= HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" EMBED Equation.3 而其投影做简谐运动的周期也为T，且注意到 K=mω2 于是可得到简谐运动的一般表达式为 T=2π HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" EMBED Equation.3 3．单摆理想化条件，受力特征及周期公式. （1）单摆及其理想化条件. 如图所示，一根长需求轻的线，悬挂着 一个小而重的球，就构成所谓的单摆。理想的单 摆应具备如下理想化条件：和小球的质量m相比， 线的质量可以忽略；与线的长度l相比，小球的 半径可以忽略。 （2）单摆的受力特征 当单摆做小角度摆支时，其受力情况为：受到一个恒定的竖直向下的重力mg，和一个变化的始终沿绳方向指向点的拉力F，而将这些力沿垂直于和平行于运速度方向分解，其中垂直于速度方向上的力使摆球的速度方向发生改变，充分摆球绕悬点做变速圆周运动所需的向心力。 F向=F－mgcosθ 平行于速度方向上的力使摆球的速度大小发生改变，充当摆球的回复力. F向=－mgsinθ=－ HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" EMBED Equation.3 x=－kx 可见：当单摆做小角度摆动时，其运动近似为简谐运动。 （3）单摆的周期公式 对于单摆，回复力与偏离平衡位置的位移的比例系数为 k= HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" EMBED Equation.3 将其代入简谐运动周期的一般表达式中，得 T=2π HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" EMBED Equation.3 =2π HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" EMBED Equation.3 该公式提供了一种测定重力加速度g的方法. 4．简谐运动的图象及其应用 （1）图象的形式 当质点做简谐运动时其振动图象形如图所给出的正弦曲线. （2）图象的意义 简谐运动的振动图像反映的是某振动质点在各个时刻相对于平衡位置的位移的变化情况. （3）图象的应用. 由定量画出的简谐运动的振动图象可以得到：振幅A；周期T；某时刻质点相对于平衡位置的位移；某时刻质点的振动方向；某一阶段质点的位移，速度，加速度，回复力，振动的能量形式等物理量的变化情况。 三、典型例题 例1．如图所示，正方体木块漂浮在水平上，将其稍向下压后放手，试证明：木块将做简谐运动. 分析：从简谐运动的动力学特征出发，一判断 木块是否做简谐运动， 解答：设木块的边长为a，质量为m，则当图 14—4中木块浸入水中的高度为h，而处于静止状 态时所受到的重力mg与浮力. F1=ρha2g 大小相等，木块在该位置处于平衡状态，于是 可取该装置为平衡位置建立坐标；当木块被按下 后上下运动过程中浸入水中的高度达到h+x，而如 图14—5所示时，所受到的浮力大小为 F2=ρ(h+x)a2g 于是，木块此时所受到的合外力为 F=mg―F2=―ρa2gx―kx 由此可知：木块做的是简谐运动 例2．已知在单摆a完成10次全振动的时间内，单摆b完成6次振动，两摆长之差为1.6m，则两单摆摆长la与lb分别为 A．la=2.5m，lb=0.9m B．la=0.9m，lb=2.5m C．la=2.4m，lb=4.0m D．la=4.0m，lb=2.4m 分析：由周期比得摆长比，加上题设条件中的摆长差已知，故la与lb可求 解答：已知两摆长之差为1.6m，即 HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" EMBED Equation.3 =1.6 而单摆a摆动10次时间内，单摆b无成36次全振动，这就意味着两个单摆的周期之比为 HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" EMBED Equation.3 = HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" EMBED Equation.3 考虑到：Ta=2π HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" EMBED Equation.3 Tb=2π HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" EMBED Equation.3 得： HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" EMBED Equation.3 = HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" EMBED Equation.3 于是解得： la=0.9m lb=2.5m 应选B. 例3．如图所示，质点沿直线做简谐运动 平衡位置在O点，某时刻质点通过P点向右运动，径 1s再次回到P点，再经1s到达O点，若 HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" EMBED Equation.3 =2cm， 则：质点运动的周期T=_________s；质点运动的振幅为A=_______cm， 分析：注意到简谐运动的周期性，对称性等特征，吉合简谐运动的振动图象可作出正解的解答. 解答：由简谐运动的对称性可知，质点在第1s内从P点到达右端最大位移处，再回到P点，可见从最大位移处回到P点历时应该为0.5s，而人P点到O点又历时1s，可见 HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" EMBED Equation.3 T=1.5s 即：T=6s 另外，考虑到简谐运动的振动图象 （如图所示），质点在t1时刻从 P点开始向右运动，t2时刻又回到P点， t3时刻到达平衡位置O点，即 t2―t1=t3―t2=1s 由此不难得到： Asin600=2 即 A= HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" EMBED Equation.3 HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" EMBED Equation.3 cm 应依次填充：6， HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" EMBED Equation.3 HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" EMBED Equation.3 本资料由《七彩教育网》www.7caiedu.cn 提供！ 本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn