P-δ与P-Δ效应

P-δ与P-Δ效应 及各国计算比较 摘要：二阶效应是指轴向力作用在产生挠曲的构件上或竖向荷载作用在产生侧移的结构上引起的附加作用效应，属于结构分析中的几何非线性问题，在较精确的结构分析设计中必须加以考虑。对这一问题国内外已进行了多年的系统研究，取得了重要进展。本文就二阶效应的两种情况进行讨论分析并给出具体的例子。 关键词：混凝土，二阶效应，弯矩，结构 1 混凝土结构的二阶效应概念 结构物受力后将产生内力和变形，内力和变形是相互伴生和对应的两类物理量。按现代控制论的观点，结构自身是一个非线性系统，结构所受荷载Fex是系统的激励，产生的内力Fin和变形D是结构在外部激励下的输出响应。结构静力学中一般将内力作为状态变量，荷载作为输入变量，变形作为输出变量，而联系输入变量和状态变量的状态方程就是平衡方程，见式(1.1) （1.1） 输出方程是联系内力和变形的物理方程，见式(1.2) （1.2） 为了简化分析，结构静力学在建立平衡方程时往往忽略结构的微小变形，以结构变形前的状态作为平衡态，由此建立的平衡方程是一组线性方程，这种分析思路实际是将非线性系统简化为线性系统。一般情况，结构的变形相对于结构自身的尺寸来说都很小，因此将结构简化为线性系统给结构分析带来的误差可以接受，这种结构分析处理方式称为结构的一阶分析，一阶分析得到的结构内力和变形分别称为结构的一阶内力和一阶变形。 系统状态变量的选取是相对的，若将结构的变形作为状态变量，也可以得到结构的状态方程，见式(1.3) （1.3） 通过物理方程((1.2)可以得到两种状态方程的关系 （1.4） 状态方程(1.1)与(1.3)是对结构等效的描述，结构内力和变形是相互对等的变量。状态方程(1.3)表明荷载与结构变形也是直接联系的，而结构一阶分析的简化处理忽略了这种直接联系，只是将结构变形作为结构内力的效应，这种简化处理存在概念性的误区，在某些情况下还会给结构分析带来较大的误差。例如图1.1中柱顶铰接悬臂柱，柱端作用有轴向力和弯矩。一阶分析只能求得由柱端弯矩引起的柱中一阶变形挠曲线和一阶内弯矩，如图1.1(a), (b)中实线所示。此外，柱端轴向力作用在由柱端弯矩产生的挠曲线上，将使柱中产生附加作用效应。最终柱中内力还将包括轴向力在已经产生挠曲变形的柱中引起的附加内力(产生的附加弯矩如图1.1(c)所示)，而柱的变形中也将包括轴向力在已变形柱中引起的附加变形，如图1.1(a), (b)中虚线所示。事实上，在同时受轴力和弯矩作用的柱类构件的内力和变形中也应该包括轴力在已变形柱中引起的附加内力和附加变形。这种附加作用效应是一阶分析不能得到而且也未曾涉及的新问题，因此必须进行专门的研究，即结构分析中的二阶效应问题。 结构中的二阶效应泛指结构上的荷载或构件中的轴向力在产生变形后的结构或构件中引起的附加作用效应，附加作用效应包括附加变形和相应的附加内力。一般来说二阶效应可分为竖向荷载在已产生侧移的结构中引起的P-Δ效应和各杆件轴力(主要是轴压力)在产生了挠曲变形的各单杆中引起的p-δ效应。二阶效应，在结构分析中也被称为“几何非线性”，是各类结构中大多数受力构件均存在的一般性力学现象，是较精确结构分析方法中必然要考虑的普遍性问题。到目前为止，学术界对结构分析设计中的二阶效应问题已经作了比较系统的研究。 混凝土结构的二阶效应应由两部分组成：p-δ效应和P-Δ效应。 p-δ效应是指由于构件在轴向压力作用下，自身发生挠曲引起的附加效应，可称之为构件挠曲二阶效应，通常指轴向压力在产生了挠曲变形的构件中引起的附加弯矩，附加弯矩与构件的挠曲形态有关，一般中间大，两端部小。 P-Δ效应是指由于结构的水平变形而引起的重力附加效应，可称之为重力二阶效应，结构在水平力（风荷载或水平地震力）作用下发生水平变形后，重力荷载因该水平变形而引起附加效应，结构发生的水平侧移绝对值越大，P-Δ效应越显著，若结构的水平变形过大，可能因重力二阶效应而导致结构失稳。 P-δ效应与P-Δ效应具有很强的非线性特征，准确分析现阶段还有困难。 2 二阶效应计算方法 2.1构件挠曲二阶效应（p-δ效应）计算 2.1.1 《混凝土结构设计》建议的方法 混凝土规范7.3.9和7.3.12条建议了两种方法： 第一种方法是采用考虑二阶效应的弹性分析方法（即折减弹性抗弯刚度的有限元法，见上文的讨论），直接计算出结构构件各控制截面包括弯矩设计值在内的内力设计值，并按相应的内力设计值进行各构件的截面设计，不再考虑受压构件的偏心距增大系数η; 第二种方法即偏心距增大系数法。当偏心受压构件的长细比l/r<17.5是认为是短柱，可以忽略二阶效应的影响，当偏心受压构件的长细比l/r>17.5时，在确定偏心受压构件的内力设计值时，可以近似考虑二阶弯矩对轴向压力偏心距的影响，将轴向压力对截面中心的处事偏心距e乘以第7.3.10条规定的偏心距增大系数。 按照《混凝土设计规范》第7.3.9条和第7.3.10条的条文解释，偏心距增大系数η反映了偏心受压构件达到其最大轴向压力时的“极限曲率”所对应的偏心距增大系数，综合反映p-δ效应和P-Δ效应。从7.3.10条的公式可以看出偏心距增大系数η对p-δ效应反映比较充分，但η与水平荷载作用下结构发生的侧移绝对值大小无关，由偏心距增大系数η很难真实的反映P-Δ效应影响。 2.1.2 《建筑抗震设计规范》建议的方法 《建筑抗震设计规范》第3.6.3条的条文说明中给出了以楼层稳定系数θ表达的内力增大系数计算公式（在上文已有提及），在第3.6.3条的条文说明中还特别强调，混凝土柱考虑多遇地震作用产生的重力二阶效应的内力时，不应与混凝土规范承载力计算时考虑的重力二阶效应重复。这里体现了综合考虑p-δ效应和P-Δ效应的思想 2.1.3 《高规》的建议 对于一般的高层建筑结构，由于结构侧移相对较大，约为楼层层高的1/3000~1/500，P-Δ效应相对较为显著，而构件的长细比不大，其p-δ效应相对较小，一般可以忽略不计。《高规》宣贯培训教材建议:为保证设计安全，不论是否考虑了P-Δ效应，对长细比大于17.5的偏心受压构件，计算其偏心受压承载力时，仍按照《混凝土设计规范》的规定考虑偏心距增大系数η。 2.2重力二阶效应（P-Δ效应）计算 计算P-Δ效应的近似方法有等效几何刚度的有限元法、等效水平力的有限元迭代法、折减弹性抗弯刚度的有限元、结构位移和构件内力增大系数法等。 2.2.1 等效几何刚度的有限元法 在不考虑P-Δ效应影响时，是在结构的初始拓扑关系基础上建立结构的平衡方程。一般可记为：[K]{u}=[F] 考虑P-Δ效应影响时，对于结构的任一节点j，因P-Δ效应而引起的Mj=Gjuj，相应的等效附加水平力为Vj  。对于所有节点，则形成一个等效附加水平分力向量。 可以看出，考虑P-Δ效应相当于结构的初始刚度矩阵[K]修改为等效刚度矩阵[K-KG]。新规范版的SATWE、TAT、PMSAP等软件都采用了等效几何刚度的有限元法，这种方法具有一般性，它既适用于采用刚性楼板假定的结构，也适用于存在独立弹性节点的结构。与不考虑P-Δ效应的分析结果相比，结构的周期、位移和构件的内力都有所不同。 2.2.2 折减弹性抗弯刚度的有限元法 折减弹性抗弯刚度的有限元法是今年来美国、加拿大等国设计规范推荐的一种考虑效益方法。这种分析方法的基本思路是采用折减等效刚度，近似的考虑钢筋混凝土结构中各类构件在极限状态时因开裂而导致刚度减小现象，使分析结果与设计状态尽可能一致。 《混凝土结构设计规范》引进该方法，第7.3.12规定，当采用考虑二阶效应的弹性分析方法时，宜在结构分析中对钢筋混凝土构件的弹性抗弯刚度乘以一下折减系数：梁取0.4，柱取0.6，对未开裂的剪力墙和核心筒取0.7，对已开裂的剪力墙和核心筒壁取0.45。 弹塑性阶段结构刚度的衰减是十分复杂的，采用统一的刚度折减系数，仅仅可能近似的反映在极限状态下结构整体的、宏观的性能，但很难真实的反映结构在极限状态下的刚度变化规律，特别是内力变化规律。而且，结构刚度折减后，按照目前的《建筑抗震设计规范》规定的反应谱方法计算的地震力随之减小，构件之间的内力会产生不同的分配关系，另外，结构位移控制条件也不明确，因为弹性位移和弹塑性位移的控制条件相差很大。鉴于上述原因，在目前的SATWE、TAT、PMSAP等软件中，都未提供折减弹性抗弯刚度的有限元法。 2.2.3 结构位移和构件内力增大系数法 增大系数法是一种简单可行的考虑重力二阶效应的方法。这类方法是对不考虑重力二阶效应的分析结果（结构位移、构件弯矩和剪力），乘以增大系数，近似考虑重力二阶效应的影响。 《高规》第5.4.2条和5.4.3条规定，高层建筑结构的重力二阶效应，可采用弹性方法进行计算，也可采用对未考虑二级效应的计算结果乘以增大系数的方法近似考虑，并建议了结构位移增大系数，以及结构构件弯矩和剪力增大系数。 《建筑抗震设计规范》第3.6.3的条文说明中也给出了以楼层稳定系数表达的内力增大系数计算公式。 目前的SATWE、TAT、PMSAP等软件中，都未提供楼层内力和位移增大系数法。 2.2.4等效水平力的有限元迭代法 这种方法的基本思路是：根据楼层重力荷载，以及楼层在水平荷载作用下产生的层间位移，计算出考虑效应的近似等效水平荷载向量，然后，对结构的有限元方程进行迭代求解，直到迭代结果收敛，得到最终的位移和相应的构件内力。 这种方法计算效率不如等效几何刚度的有限元法，因为要对每一个水平荷载作用工况（或组合）进行迭代求解。02规范版的SATWE、TAT软件是采用这种方法考虑P-Δ效应影响的。 3 构件二阶弯矩简化计算方法 当判断不能忽略构件的二阶效应时，设计中应考虑二阶弯矩的影响。下面介绍不同国家的简化计算方法。 3.1 我国规范 中国混凝上规范采用偏心距增大系数η法考虑二阶效应对构件承载力的影响，假定外荷载产生的附加弯矩为△m，构件可承受的弯矩为 ，则 份， ，m为构件截而可承受的弯矩；η的计算公式为 （3.1） 式中: 为钢筋混凝柱长度； 为偏心距，本文中不考虑附加偏心距，故取 ， 为考虑偏心距变化对截而曲率影响的系数， 为考虑长细比l/h对截面曲率影响的系数。 由上述可得 （3.2） 对大偏心受压情况 ，取 = 1. 0；对小偏心受压情况 。 与N的线性关系表示为 （3.3） 式中： 为不考虑纵向弯曲系数 的轴心受压承载力，构件对称配筋时 ； 为界限情况下的轴向力，对称配筋时近似取 。 由上式可得 当 时， 对截面曲率影响不大；当 时， 按下式计算，即 将式（3.2）代入式（3.1）整理得 （3.4） （3.5） （3.5） 利用上式计算得出构件截面m-n曲线，联立式（3.5）、（3.6）可分别计算不同长细比时构件的 曲线和附加弯矩 曲线。 3.2 美国规范 美国规范中的二阶效应计算分为有侧移框架和无侧移框架。对于无侧移框架，采用弯矩增大系数法。在相对轴力n作用下，考虑二阶效应的混凝上受压构件较大的乘系数的端部弯矩为m，按式（3.6）计算 （3.6） （3.7） （3.8） （3.9） （3.10） （3.11） 式中: 为无侧移框架的弯矩增大系数， 为将实际弯矩图等效为均布弯矩图的等效系数，对于支座间有横向荷载的构件， 取1. 0，对于支座间无横向荷载的构件，按式（3.8）计算； 分别为受压构件的端部弯矩和相对弯矩，构件单曲率弯曲时为正，双曲率弯曲时为负；M2 、m2分别为受压构件较大的乘系数的端部弯矩和相对弯矩，恒为正，如图3.1所示， Pc为临界荷载，按式(3.9)计算；EI为构件的刚度， Ec为混凝上弹性模量，Ec= 30 GPa；Ig为不考虑钢筋的混凝上毛截而对重心轴的惯性矩，Ise为钢筋对构件截而重心轴的惯性矩， 为无侧移框架最大系数的轴向持续荷载与相同荷载组合最大乘系数的轴向荷载之比。 图3.1 单、双曲率的定义 对于本文中讨论的矩形截面构件， ， ，则EI按式（3.10）计算时， 分别为 （3.12） EI按式（3.11）计算时， 分别为 3.3 欧洲规范 欧洲规范有2种分析结构二阶效应的简化方法，即基于名义刚度的方法和基于名义曲率的方法。本文就基于名义曲率方法进行说明。 考虑二阶效应的混凝上结构受压构件截而所承受的弯知为 （3.13） （3.14） 式中： 为混凝土有效高度； 为二阶偏心距； 为与曲率分布有关的系数，对于截面尺寸不变的构件，通常取 =10； 为构件的曲率， ， 为曲率， ， 为受拉钢筋屈服应变， ， 为轴向荷载修正系数， ， ， 为最大抵抗弯矩时的 值，可取0.4， 为 考虑徐变影响的系数， ，本文中不考虑混凝土徐变的影响，故取 。 当 时 4 结束语 本文结合二阶效应的概念及不同的分析计算方法对其进行整理，同时给出中国，美国，欧洲规范中的计算方法，使二阶效应更清晰地表示出来。有利于大家的理解和对比学习。其中很多地方都是参考相关资料，因此在理解上需参考相关的文献，本文在后面已注明了相应的参考文献。 参考文献 TIKKA T K ,MIRZA S A. 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