祝贺云飞专升本
又取得可喜成绩 2010 年河南省普通高等学校 选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试 高等数学 题 号 一 二 三 四 五 总 分 分 值 60 20 45 16 9 150 注意事项: 答题前,考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 本
的
必须答在答题卡上,答在试卷上无效。 一、选择题(每小题 2 分,共 60 分) 在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 1.设函数 f ( x) 的定义域为区间 (1 , 1],则函数 e f ( x 1 ) 的定义域为 A.[2, 2] B. (1, 1] C. (2, 0] D. (0, 2] 【答案】D. 解: 1 x 1 ᆪ 1 0 xᆪ2 ,应选 D. 2.若 f ( x) ( x ᅫR) 为奇函数,则下列函数为偶函数的是 A. y 3 x3 1 f ( x) , x ᅫ[1, 1] B. y xf ( x) tan3 x, x ᅫ (π, π) C. y x3 sin x f ( x) , x ᅫ[1, 1] D. y f ( x)e x2 sin5 x, x ᅫ[π, π] 【答案】D. x2 5 解: 根据偶函数的定义及结论得: y f ( x)e sin x, x ᅫ[π, π] 为偶函数, 应选 D. 3.当 x ᆴ 0时, e2 x 1是 sin 3x 的 A.低阶无穷小 B.高阶无穷小 C.等价无穷小 D.同阶非等价无穷小 【答案】D. 解: lim e2 x 1 2x lim 2 ,从而是同阶非等价无穷小,应选 D. xᆴ0 sin 3x xᆴ0 3x 3 ↓ 1 x sin 5 x 0 4.设函数 f ( x) ■ x 1 ○e x , x0 ,则 x 0 是 f ( x) 的 A.可去间断点 B.跳跃间断点 C.连续点 D.第二类间断点 【答案】A. 解: lim x ᆴ0 断点,应选 A. f ( x) lim x2 sin x ᆴ0 1 x5 0; lim x ᆴ0 1 f ( x) lim e x 0 ,从而 x 0 是可去间 x ᆴ0 5.下列方程在区间 (0, 1) 内至少有一个实根的为 A. x2 2 0 C. x3 5x2 2 0 【答案】C. B. sin x 1 π D. x2 1 arctan x0 解: 构造函数,验证端点函数值异号,应选 C. 6.函数 f ( x) 在点 x x0 处可导,且 f ᄁ( x0) 1,则 lim h ᆴ0 f ( x0 ) f ( x0 3h) 2h A. 2 3 B. 2 3 C. 3 2 D. 3 2 【答案】D. 解: lim f ( x0 ) f ( x0 3h) 3 f ᄁ( x ) 3 ,应选 D. h ᆴ0 2h 2 0 2 7.曲线 y x lnx 的平行于直线 x y 1 0 的切线方程是 A. y x 1 C. y x 1 B. y (x 1) D. y (lnx 1)( x 1) 【答案】A. 解: y x ln x yᄁ 1 ln x 1 x 1, y0 ,可得切线为 y x 1,应选 A. 也可以根据切线与已知直线平行这个条件,直接得到。 8.设函数 y x 1 x2 2 sin π ,则yᄁ 5 π x A. 2 cos 1 x2 5 2x B. 1 x2 2x 2 π C. D. cos 1 x2 【答案】B. 1 x2 5 5 解: y 1 x2 2 sin π yᄁ x ,应选 B. 5 1 x2 9.若函数 f ( x) 满足 df ( x) x sin x2 dx,则 f ( x) A. cos x2 【答案】B. B. cos x2 C C. sin x2 C D. cos x2 C 解: df ( x) 2x sin x2dx f ( x) ( x sin x2 )dx 10. d b exsin(1 2x)dx sin x2dx2 cos x2 C,应选 B. dx a A. ex sin(1 2x) C. ex sin(1 2x) C B. ex sin(1 2x)dx D. 0 【答案】D. 解: 定积分是常数,其导数为 0,应选 D. 11.若 f ( x) f ( x) ,在区间 (0, ᆬ)内, f ᄁ( x) 0 , f ᄁᄁ( x) 0 ,则 f ( x) 在 区间 (ᆬ 0)内 A. f ᄁ( x) 0 , f ᄁᄁ( x) 0 C. f ᄁ( x) 0 , f ᄁᄁ( x) 0 B. f ᄁ( x) 0 , f ᄁᄁ( x) 0 D. f ᄁ( x) 0 , f ᄁᄁ( x) 0 【答案】D. 解: 根据偶函数的图像关于 y 轴的性质,在 (ᆬ 应选 D. 0)内有 f ᄁ( x) 0 ,f ᄁᄁ( x) 0 , 12.若函数 f ( x) 在区间 (a, b) 内连续,在点 x0 处不可导, x0 ᅫ(a, b) ,则 A. x0 是 f ( x) 的极大值点 B. x0 是 f ( x) 的极小值点 C. x0 不是 f ( x) 的极值点 D. x0 可能是 f ( x) 的极值点 【答案】D. 解: 根据可能的极限点是驻点或不可导点的结论知, x0 可能是 f ( x) 的极值点. 应选 D. 13.曲线 y xe x 的拐点为 ₩ 2 ₩ 1 A. x 1 【答案】C. B. x 2 C. 2, e2 D.1, │ 解: y xe x yᄁ e x xe x yᄁᄁ ( x 2)ex x2 ,应选 C. 14.曲线 y 2 arctan x 3 5x A.仅有水平渐近线 B.仅有垂直渐近线 C.既有水平渐近线,又有垂直渐近线 D.既无水平渐近线,又无垂直渐近线 【答案】A. 解: lim y lim ₩ 2 arctan x 3 3; lim y lim ₩ 2 arctan x 3 ᆬ,仅有水 x ᆴᄆᆬ x ᆴᄆᆬ │ 5x xᆴ 0 xᆴ0 │ 5x 平渐近线,应选 A. 15.若 cos x 是 f ( x) 的一个原函数,则 df ( x) A. sin x C B. sin x C C. cos x C D. cos x C 【答案】A. 解: f ( x) cos x ᄁ sin x, df ( x) f ( x) C sin x C,应选 A. 16.设曲线 y f ( x) 过点 (0, 1) ,且在该曲线上任意一点 ( x, y) 处切线的斜率为 x ex ,则 f ( x) x2 A. ex 2 【答案】B. x2 B. ex 2 C. x2 ex D. x2 ex 解:yᄁ x e x f ( x) x e x dx 1 x2 e x C,把点 (0, 1) 代入得C 0 , 2 所以 f ( x) π 17. π x2 ex ,应选 B. 2 x2 sin x dx 1 x4 A. 2 B. 0 C.1 D. 1 【答案】B. 解:根据奇函数在对称区间上定积分性质知,应选 B. x2 18.设 f ( x) 是连续函数,则 a f (t)dt是 A. f ( x) 的一个原函数 B. f ( x) 的全体原函数 C. 2xf ( x 2 ) 的一个原函数 D. 2xf ( x 2 ) 的全体原函数 【答案】C. 解:因为 ← ↑→ x2 a f (t )dt ᄁ 2 xf ( x2 ) ,所以 x2 a f (t)dt是 2xf ( x 2 ) 的一个原函数, 应选 C. 19.下列广义积分收敛的是 A. ᆬ 1 1 dx x B. ᆬ ln2 x dx e x ᆬ C. e 【答案】C. 1 dx x ln 2 x ᆬ D. 1 x dx 1 x2 ᆬ 解: 1 dx ᆬ 1 dlnx ,可看作 p 2 的广义积分,是收敛的,应 选 C. e x ln 2 x e ln 2 x 20.微分方程 x 4( yᄁᄁ) 2 yᄁx 2 y 0 的阶数是 A.1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B. 解:根据微分方程阶的定义知,此方程为 2 阶常微分方程,应选 B. r 21.已知向量 a {5, x, r 2} 和 b { y, 6, 4} 平行,则 x 和 y 的值分别为 A. 4, 5 B. 3, 10 【答案】B. C. 4, 10 D. 10, 3 r r 5 x 2 解: a // b x 3, y 10 ,应选 B. y 6 4 22.平面 x y z1 与平面 x y z 2的位置关系是 A.重合 B.平行 C.垂直 D.相交但不垂直 【答案】D. 解: 根据系数之间不成比例,也对应乘积之和也不为 0,位置关系是相交但不 垂直,应选 D. 23.下列方程在空间直角坐标系中
示的曲面为柱面的是 A. y 2 z2 1 C. z 2 x2 y2 B. z x2 y2 D. z x2 y2 【答案】A. 解:在空间直角坐标系中表示柱面的方程至含有两个变量,应选 A. ↓ xy 2 2 24.关于函数 f ( x, y) ■x y ○ x2 y2 ᄍ0 x2 y2 0 下列表述错误的是 A. f ( x, y) 在点 (0, 0) 处连续 B. fx (0, 0) 0 C. fy (0, 0) 0 D. f ( x, y) 在点 (0, 0) 处不可微 【答案】D. 解:lim f ( x, y) lim xy 不存在,从而 f ( x, y) 在点 (0, 0) 处不连续,应选 xᆴ 0 y ᆴ 0 A. xᆴ0 x 2 y2 y ᆴ0 25.设函数 z x ln( x y) ,则ᄊz y ᄊy x A. B. xln( x y) y( x y) ln( x y) x C. y2 xln(x y) x D. 【答案】D. x y y( x y) ᄊz x x y2 1 y(x y 解: z ln( x y) y ᄊy y2 ln( x y) ᄡ y x y ᄊz xln(x y) x ,应选 D. ᄊy y2 y(x y 2 2 x x2 0 2 x x2 26.累次积分 dx f ( x, y)dy写成另一种次序的积分是 1 y 2 2 y y2 0 y 0 2 y y 2 A. dy f ( x, y)dx B. dy f ( x, y)dx 1 1y2 1 1 1y 2 C. 1 dy 1y 2 f ( x, y)dx D. 1 dy 1 1y 2 f ( x, y)dx 【答案】D. 解:( x, y) | 0 ᆪ x ᆪ 2, 2x x2 ᆪ y ᆪ 2x x2 ( x, y) | 1 ᆪ y ᆪ 1,1 1 y2 ᆪ x ᆪ 1 1 y2 ,应选 D. 27.设 D {( x, y) | x ≤ 2, y ≤ 2} ,则dxdy D A. 2 B.16 C.12 D. 4 【答案】D. 解: dxdy SD 16 ,应选 B. D ᆬ n n 0 ᆬ ¥an n0 ( x 2) 2 n 的收敛区间为 A. ( R , R) B. (2 R, 2 R) C. (R, R) D. (2 R , 2 R) 【答案】D. ᆬ 解 : 收 敛 区 间 是 不 考 虑 端 点 的 , 因 ¥an x n 1 在 x ᅫ (R, R) 内 收 敛 , 级 数 ᆬ ¥an n 1 ( x2)2 n ᆬ 写 作 ¥an [( x1) ] n 1 , 所 以 有 ( x 2)2 ᅫ (R, R) , 即 有 2 R x 2 ᆬ R,即¥an n0 ( x 2) 2 n 收敛区间为 (2 R , 2 R) .应选 D. 29.下列级数绝对收敛的是 ᆬ ᆬ n A.¥(1) n 1 n 1 n B.¥(1) n n 1 3 22 n ᆬ C.¥(1) n n 1 【答案】B. ᆬ n 1 2n 1 n ᆬ n ᆬ ᆬ D.¥(1)n n1 n n 2n2 1 3 3 ₩ 3 ¥ 22 n ¥ 22 n ¥ 4 解: n 1 (1)n n 1 n1 │ 是收敛,故应选 B. 30.若幂级数 ᆬ ¥an n 0 ( x3)n 在点 x 1 处发散,在点 x 5 处收敛,则在点 x 0 , x 2 , x 4 , x 6 中使该级数发散的点的个数有 A. 0 个 B.1个 C. 2 个 D.3 个 【答案】A. 解: 令 x 3 t,则级数化为 ᆬ ¥an t 。而 x 1 就是 t 2 , x 5 就是 t2 , n 0 这说明级数 ᆬ ¥an t 的收敛域为 (2, 2],从而点 x 0 , x 2 , x 4 , x 6 ,相当 n 0 于 t 3 ,t 1 , t1 , t3 ,故原级数发散的点的个数有 2,应选 C. 二、填空题(每空 2 分,共 20 分) 31.设 f (3 2x) 的定义域为 ( , 4],则 f ( x) 的定义域为 . 解: 3 x ᆪ 4 6 2 x ᄈ 8 9 3 2 xᄈ 5 , 所以 f ( x) 的定义域为[5, 9)。 32.极限 lim x ᆴᆬ x ( x 2 x 3) . 解: lim x ᆴᆬ x ( x 2 x 3) lim xᆴ ᆬ 5 x x 2 x3 5 。 2 33.设函数 f ( x) ( x 1)( x 2)( x 3)( x4) ,则 f ( 4 ) ( x) . 解: f ( x) ( x2 3x 2)( x2 7 x 12) x4 4x3 7 x2 22 x24 所以 f ( 4 ) ( x) 24 . ↓x 2t 1 34.设参数方程 ■ 2 ○y 3t 1 所确定的函数为 y y( x) ,则 d2 y . dx2 dy yᄁ 6t d2 y 1 3 解: t 3t, (3t )ᄁ 2 . dx xᄁ 2 dx2 x xᄁ 2 t t 35. (ln x 1)dx . 解: (ln x 1)dx x ln x C. 36.点 (3, 2, 1)到平面 x y z1 0 的距离是 . | 3 2 1 1 | 解: d 3 。 3 37.函数 z (1 y)x 在点 (1, 1) 处的全微分 dz . 解:因为 dz (1 y) x ln(1 y)dx x(1 y)x 1 dy,所以 dz 2 ln 2dx dy. 38.设 L 为三个顶点分别为 (0, 0) , (1, 0) 和 (0, 1) 的三角形边界, L 的方向为 逆时针方向,则 ( xy 2 y3 )dx ( x2 y 3xy2 )dy . ᄊP ᄊQ 解:因为 2xy2 3 y2 ,与积分路径无关, ᄊy ᄊx 故 ( xy 2 y3 )dx ( x2 y 3xy2 )dy0 。 39.已知微分方程 yᄁay ex 的一个特解为 y xex ,则 a . 解:把 y xex 代入方程得 (a 1) x 0 a 1 . ᆬ 3n 40.级数 的和为 . n 0 ᆬ n 解: ¥ e3 。 n 0 n! 三、计算题(每小题 5 分,共 45 分) ₩ x2 (e x 1) sin x si n t d t 41.求极限 lim 0 . xᆴ0 1 cos x x4 │ ₩ x2 x2 (e x 1) sin x si n t d t (e x 1) sin x sin tdt 解: lim 0 lim lim 0 1 分 xᆴ 0 1 cos x x4 x ᆴ0 1 cos x x ᆴ0 x4 │ lim x lim 2x sin x2 3 分 x ᆴ0 1 cos x x ᆴ 4x3 lim 2x lim 2x3 2 1 3 5 分 x ᆴ0 sin x xᆴ0 4x3 2 2 42.设由方程 e y xy2 e2 确定的函数为 y y( x) ,求 dy . dx x 0 解:方程 e y xy2 e2 两边 x 求到得 e y yᄁ y2 2xy 0 2 分 y2 2xy 即有 yᄁ 4 分 e y 把 x 0 代入方程有 y 2 dy dy 2 4e2 5 分 dx x 0 dx x 0 y 2 e 0 43.求不定积分 e2 x ex 1 dx. e2 x ex 1 ex 1t xln(t 1 ) (t 2 1)2 2t 1 2 分 解: dx dt t t2 2 (t2 1)dt 3 分 2 t 3 2t C4 分 3 2 ( e x 1)3 2 e x 1 C5 分 3 2 44.求定积分 x 0 2x x2 dx. 解: x 2x x2 dx 2 xdx 2 2x x2 dx1 分 0 0 0 1 x 2 2 2 2 0 0 1 (1 x)2 d (1 x) 3 分 2 1 1 1 t 2 dt(令1 x t)4 分 2 1 S 2 1 π 5 分 2 圆 2 45.求过点 (1, 2, 5)且与直线 ↓2x y z 1 ○x 3 y3 r r 平行的直线方程. r r r r i j k 解:取所求直线的方向向量s n1 ᄡ n2 2 1 代入直线点向式方程得所求直线方程为 x 1 y 2 z5 。5 分 1 1 3 0 3 ,1, ,3 分 3 1 5 46.求函数 f ( x, y) x 2 3 y 2 2xy 8x 的极值. ↓ᄊf ᄊx 解:令 ■ᄊ 2 x 2 y 8 0 得唯一可能的极值点(6,2),2 分 f 6 y 2 x 0 ○ᄊy 2 2 2 而 A ᄊ f 2, B ᄊ f 2, C ᄊ f 6 , ᄊx2 ᄊxᄊy ᄊy 2 有 B2 AC 8 0, A 0 ,4 分 故(6,2)是极小值点,极小值为 f(6, 2) 36 12 24 48 24 5 分 47.将 f ( x) 3x 2 x2 x1 展开成 x 的幂级数. 解: f ( x) 3x 1 1 1 分 2 x2 x 1 1 x 1 2 x 1 因为 1 x ᆬ ¥xn n 0 , (1 x 1) ,所以 ᆬ ¥( x)n , (1 x 1) , ¥ (2x)n , ( 1 x 1 ) 3 分 1 x n 0 1 2x n 0 2 2 ᆬ ᆬ ᆬ 1 1 所以 f ( x) ¥ ( x)n ¥ (2x)n ¥←→(1)n 2n xn , xᅫ ₩ , 5 分 n 0 n 0 n 0 │ 2 2 48.计算二重积分 D 解:积分区域如图所示 x2 y2 d ,其中 D 是由圆 x2 y2 3 所围成的闭区域. y 在极坐标系下积分区域表示为 ( , r) | 0 ᆪ ᆪ 2π, 0 ᆪ rᆪ 3 ,3 分 x O 故 x2 y2 d 2 π 3 d r 2dr4 分 2 2 0 0 x y D 3 ᆴ r 3 3 2 1 3 2π r dr 2π r 3 2 3π 。5 分 0 0 49.求微分方程9yᄁᄁ6 yᄁ y 0 的通解. 解:这是二阶常系数线性齐次微分方程其特征方程为9r 2 6r 1 0 2 分 从而有两个相等特征根 r r 1 3 分 1 2 3 1 x 故方程的通解为 y (C C x)e3 ( C , C 是任意常数)5 分 1 2 1 2 四、应用题(每小题 8 分,共 16 分) 50.要做一个容积为V 的圆柱形带盖容器,问它的高与底面半径的比值是多少时 用料最省? 解:设容积的高和底面半径分别为 h , r ,其表面积为 S , 则V πr 2 h, S 2πr 2 2πrh,2 分, 把 h V πr2 代入得 S 2πr 2 2V , (r 0) ,此问题转化为求 S 最小值,4 分 r 令 S ᄁ 4πr 2V 0 得唯一可能的极值点 r 3 V ,根据实际意义可知 S 一定存 r r2 2π 在最小值,故此时 S 就取得最小值6 分 V h π r 2 V V ₩ 3 2π V 2π 这时 ᅲ 3 ᅲ 2 ---7 分 r r πr 3 π │ V π V 故容积的高与底面半径的比值为 2 时,用料最省。8 分 51.平面图形 D 由曲线 y x 2 ,直线 y 2 x 及 x 轴所围成.求: (1) D 的面积; (2) D 绕 x 轴旋转形成的旋转体的体积. 解:平面图形 D 如图所示 ↓y x 2 y y x2 联立方程 ■ 得交点(1,1), ○y 2 x (-2,4)。 2 (1, 1) 取 x 为积分变量,且 x ᅫ[0,1] [1, 2] 。 ------3 分 (1)所求平面图形 D 为 O 1 2 x y 2 x 1 2 x A x 2 dx (2 x)dx 3 1 1 2 (2x x2 ) 1 1 5 5 分 0 1 3 2 3 2 6 0 1 (2)平面图形 D 绕 x 轴旋转形成的旋转体的体积为 V π 1 4 1 2 x dx π ᅲ1 ᅲ1 x5 1 π π 8 π 8 分 x 0 3 5 3 15 五、证明题(9 分) 52.设函数 f ( x) 在闭区间[0 , 1] 上连续,在开区间 (0 , 1) 内可导,且 f(0) 0 , f(1) 2 .证明:在 (0 , 1) 内至少存在一点,使得 fᄁ( ) 21成立. 方法一 证明:构造函数 F ( x) f ( x) x2 , ----2 分 因 f ( x) 在闭区间[0 , 1] 上连续,在开区间 (0 , 1) 内可导,所以函数 F ( x) 在闭区间 [0 , 1] 上连续,在开区间 (0 , 1) 内可导,且 F ᄁ( x) f ᄁ( x) 2x. ---4 分 于是 F ( x) 在[0 , 1] 上满足拉格朗日中值定理的条件,故在开区间 (0 , 1) 内至少存 在一点,使得 Fᄁ() F (1) F (0) ,---6 分 1 0 将 f(0) 0 , f(1) 2 代入上式,得 F ᄁ() F (1) F (0) [ f (1) 1] [ f(0) 0] 1 ,----8 分 1 0 即 fᄁ( ) 2 1, 于是 fᄁ( ) 21.----9 分 方法二 证明:构造函数 F ( x) f ( x) x2 x, ----3 分 因 f ( x) 在闭区间[0 , 1] 上连续,在开区间 (0 , 1) 内可导,所以函数 F ( x) 在闭区间 [0 , 1] 上连续,在开区间 (0 , 1) 内可导,且 F ᄁ( x) 并有 F (0) F(1) 0 f ᄁ( x) 2x1 . ---5 分 即有 F ( x) 在[0 , 1] 上满足罗尔中值定理的条件,故在开区间 (0 , 1) 内至少存在一 点,使得 Fᄁ() 0 ,------8 分 即 fᄁ( ) 2 1 0 , 故 fᄁ( ) 21.----9 分