汽车保险问题研究

汽车保险问题 汽车保险问题研究 曹天祥，滕靖财，韦麒 [摘 要]面对新的交通法的颁布以及车辆强制保险这样的大背景，各个保险公司为了迎合市场的需要，保险公司有必要建立一个适当的数学模型分析在交通法颁布前后保险费的变化，以适应时代的潮流。本文从投保人人均所担负的事故赔偿费的角度来讨论保险费用的变化情况。如果人均所担负的赔偿费减少，则人均所担负的风险相应的变小，相应的投保人所交的保险费也应减少。本文就是根据人均所担负的赔偿费的变化的讨论来回答题目的保险费变化的问题。 [关键字]汽车保险 初等模型 比例模型 1 问题重述：已知某汽车保险公司的保险，即： （1）该公司只提供一年期的综合保险单，若客户在这一年内没有提出赔偿要求，则给予额外补助； （2）客户被分成0，1，2，3类，新客户属于0类；级别越高，从保险费中得到的回扣越多； （3）当客户续保时，若上一年中没有要求赔偿，则提高一个类别；若上一年中要求过赔偿，则降低两个类别或0类； （4）客户不论是由于自动终止保险还是则某种原因（例如事故死亡），保险公司将退还保险金的适当部分。 现在政府为了减少交通事故，参考其他城市的做法，制定了一系列安全法规。根据其他城市的经验，实行安全法规以后，死亡的司机减少40％，一般来讲医疗费也会减少20％至40％。问题是想知道这样以后保险公司所制定的保险费是应该增加还是应该减少，提出一般的解答方法并运用已知的该公司在某一年的保险数据来验证所提出的方法的正确性。 2 问题分析：题目所要求的是在执行安全法规前后该汽车保险公司所制定的保险费的变化情况。社会保险的作用就在于分担风险，汽车保险费由净保费和附加保费两部份构成，附加保费用于支付保险公司的营业费用，这部份费用可假定是不变。因而问题的关键就在于净保费的变化。净保费在数量上应该满足保险公司的收支平衡。因而通过对对本年各个数据的分析、求解来确定下一年的净保费的金额。虽然投保人数的变化与保险费的多少有关，但通过合理的假设（每辆车都必须投保）以及在颁布法规的情况下各个保险公司的保险费都会发生相似的变化（就可以忽略各保险公司的竞争）可以得到投保人数的变化不依赖于保险费的变化。所以本题所要解决的主要问题就是下一年的事故赔偿费总额的估算和总投保人数的估算。最后通过得到的各类的净保费以及已知的该类的保险费折扣率来计算得到基本保险费。模型建立部分分为两个过程，首先解决没有颁布法规的情况，再在此基础上解决法规颁布了的情况。 3 合理假设： a)​ 每一类别中总投保人数等于续保人数与新投保人数之和，注销人数等于自动终止保险人数与死亡人数之和。 b)​ 每一类别的没有索赔的比例（所交保险费的折扣率）不变，自动终止保险人数与总投保人数比例不变，死亡司机人数与索赔人数比例不变，每年的新投保人数按等比例增长。 c)​ 下一年的平均死亡赔偿费，平均修理费，平均医疗费不变，下一年的平均偿还退回的保险金额不变，注销人平均所得到的偿还退回金金额不变。 d)​ 颁布了法规的情况下，每个类别的死亡司机比没有颁布法规时都减少40％。 4​ 符号说明 n 总人数； 没有颁布法规情况下，下一年第i类投保人数 颁布法规情况下，下一年第i类投保人数 w 费用 没有颁布法规情况下，下一年第i类费用 颁布法规情况下，下一年第i类费用 比例系数 i类的没有索赔补比例（即所交基本保险费的折扣率）。 ω 新投保人数的增长比例。 各类投保人所承担的平均事故赔偿费。 Y 没有颁布法规的情况下，下一年的基本保险费。 其中，中文下标“总”表示总投保人数或总索赔费用，“续”表示续保人数，“新”表示新投保人数，“注”表示注销人数，“索”表示索赔人数，“死”表示死亡人数或死亡赔偿费，“修””表示修理费，“医”表示医疗费，“退索”表示自动退保人中索赔过的人数。 5​ 模型建立 5.1 未颁布法规的情况下下一年的基本保险费估算 先将各种数据计算如下： （i）下一年3类总投保人数=3类续保人数—3类注销人数—3类降为1类的人数（索赔人数）+3类注销人中索赔过的人数（包括3类死亡人数和3类自动退保人中索赔过的人数）（因为索赔人数和注销人数中都包括这部份人）+2类升为3 类的人数,即： （1） （ii）下一年2类总投保人数=1类升为2类的人数=1类续保人数—1类注销人数—1类降为0类的人数（即索赔人数）+1类死亡人数+1类自动退保人中索赔过的人数，即： （2） （iii）下一年1类总投保人数=0类升为1类的人数=0类总投保人数—0类注销人数—0类索赔人数+0类死亡人数+0类自动退保人中索赔过的人数+3类降为1类的人数（3类索赔人数—3类死亡人数―3类自动退保人中索赔过的人数），即： （3） （iv）下一年0类总投保人数=0类索赔人数—0类死亡人数―0类自动退保人中索赔过的人数+1类降为0类的人数（1类索赔人数—1类死亡人数―1类自动退保人中索赔过的人数）+2类降为1类的人数（2类索赔人数—2类死亡人数―2类自动退保人中索赔过的人数）+下一年的新投保人数，即： （4） （v）下一年的自动退保人数与总投保人数成比例，同时注销人数等于自动退保人数与死亡人数之和，即： （5） （vi）下一年的死亡人数与索赔人数成比例，即： （6） 再根据我们的假设，所收的基本保险费总和与所支出的达到收支平衡，即： (7) 5.2 颁布法规的情况下下一年的基本保险费估算 颁布法规之后，新的收支平衡方程： （8） 5.3 下面讨论颁布法令后，医药费降低后的情况： （9） 分别为20％和40％ 6​ 模型求解及结果分析 利用上述等式，计算得到以下数据： （1） ＝732； ＝454。 从上面这个计算结果发现，颁布法令后，所收取的保险费减少了，这说明法令对交通事故起了一定的抑制作用。 （2） 年数 1 2 3 4 5 =20%， 350.2325 324.8081 330.4525 380.9776 480.8917 =40%， 323.8117 301.7184 307.7442 355.0825 448.3025 从上面这个计算结果发现，当 =20%和40%时，五年内的费用都是先下降后上升。根据经济学有关知识，开始的一段时间，法规的颁布对交通事故有抑制作用，因为保险费中各种支出的减少，所以导致保险费的有一定的减少，随着时间的推移，虽然每个人索赔者得到的医疗费维持不变（都是维持在现阶段相应比例的情况下），但是由于索赔比例人数的下降导致了续保这种2、3级人数不断上升，返还给他们的折扣在保险费中占了相当的比例，导致保险费出现反弹。 7​ 误差分析：本题与现实会有一定误差，主要在于我们的几个假设。为了方便计算，我们假设了b）自动终止保险人数与总投保人数比例不变和死亡司机人数与索赔人数比例不变，而这些会产生一定误差，只是误差不会很大。假设b）每年的新投保人数按等比例增长，而实际上每年来保险公司投保的人数受报单价格和保险公司声誉影响，不一定是按我们假设的成固定增长率增长。另外我们假设下一年的平均死亡赔偿费，平均修理费，平均医疗费不变，这假设一般来说是合理的，但是如果遇到物价或市场不稳定的时候，还要另外考虑它们的变化情况。 8​ 模型评价：本文所做的模型是在对许多现实做了近似假设的前提下建立起来的，有较大的误差在所难免。模型中没有讨论现金的现值变化，所求得的一些重要的比例参数只由一年的数据算得，无法十分精确的与现实生活拟合。根据一些文献，我们发现，个人索赔次数服从泊松分布的假设源于前人的大量统计得出，能够较好地模拟现实。但是考虑到模型较复杂，会有相当的计算复杂度，以及时间紧迫，我们还是采取了简单的直接用频率方法确定索赔次数，进而建立初等模型，列出方程，也应当有较好的模拟性。 9​ 附录 下面是用matlab计算数据的程序 1 未颁布法令的情况： n=[384620 0 0 0]; n1=[1280708 1764897 1154461 8760058]; n2=[18264 28240 13857 324114]; n3=[582756 582463 115857 700872]; n4=[11652 23315 2292 7013]; w=[0 0.25 0.4 0.5]; s1=[1020 1223 947 805]; s2=[1526 1231 823 814]; N=n1+n; a=(n3-n4)./(N-n4); n5=(n2-n4).*a; m1(1)=n3(1)+n3(2)+n3(2)-n4(1)-n4(2)-n4(3)-n5(1)-n5(2)-n5(3); m1(2)=N(1)+n3(4)+n5(1)+n4(1)-n5(4)-n4(4)-n2(1); m1(3)=n1(2)+n4(2)+n5(2)-n2(2)-n3(2); m1(4)=n1(4)+n4(4)+n5(4)+n1(3)+n4(3)-n2(4)-n3(4)-n2(3)-n3(3); m=k*sum(m1); M=m1;M(1)=M(1)+m; k1=n2./N; k2=n4./n3; k=n(1)/sum(n1); k3=n3./N; m3=k3.*m1; m4=m3.*k2; m2=M.*k1+m4; s=1894*10^6/sum(n4); sz=70000000/sum(n2); s3=m3.*s1+(m3-m4).*s2+m4.*s+m2*sz; S=sum(s3); H=(M-m3).*(1.-w); X=S/(sum(H)+sum(m3)) 2.颁布法令之后： n=[384620 0 0 0]; n1=[1280708 1764897 1154461 8760058]; n2=[18264 28240 13857 324114]; n3=[582756 582463 115857 700872]; n4=[11652 23315 2292 7013]; w=[0 0.25 0.4 0.5]; s1=[1020 1223 947 805]; s2=[1526 1231 823 814]; N=n1+n; a=(n3-n4)./(N-n4); n5=(n2-n4).*a; m1(1)=n3(1)+n3(2)+n3(2)-n4(1)-n4(2)-n4(3)-n5(1)-n5(2)-n5(3); m1(2)=N(1)+n3(4)+n5(1)+n4(1)-n5(4)-n4(4)-n2(1); m1(3)=n1(2)+n4(2)+n5(2)-n2(2)-n3(2); m1(4)=n1(4)+n4(4)+n5(4)+n1(3)+n4(3)-n2(4)-n3(4)-n2(3)-n3(3); m=k*sum(m1); M=m1;M(1)=M(1)+m; k1=n2./N; k2=n4./n3; k=n(1)/sum(n1); k3=n3./N; m3=k3.*m1; m4=m3.*k2; m2=M.*k1+m4; m4=m4.*0.6; m3=m4./k2; s=1894*10^6/sum(n4); sz=70000000/sum(n2); s3=m3.*s1+(m3-m4).*s2+m4.*s+m2*sz; S=sum(s3); H=(M-m3).*(1.-w); X=S/(sum(H)+sum(m3)) S 3 颁布法令，医药费下降20%以及40%的情况（下面程序中的X即就是 ） n=[384620 0 0 0]; n1=[1280708 1764897 1154461 8760058]; n2=[18264 28240 13857 324114]; n3=[582756 582463 115857 700872]; n4=[11652 23315 2292 7013]; w=[0 0.25 0.4 0.5]; s1=[1020 1223 947 805]; s2=[1526 1231 823 814]; k=n(1)/sum(n1); k1=n2./N; k2=n4./n3; k3=n3./N; s=1894*10^6/sum(n4); sz=70000000/sum(n2); N=n1+n; a=(n3-n4)./(N-n4); n5=(n2-n4).*a; m1(1)=n3(1)+n3(2)+n3(2)-n4(1)-n4(2)-n4(3)-n5(1)-n5(2)-n5(3); m1(2)=N(1)+n3(4)+n5(1)+n4(1)-n5(4)-n4(4)-n2(1); m1(3)=n1(2)+n4(2)+n5(2)-n2(2)-n3(2); m1(4)=n1(4)+n4(4)+n5(4)+n1(3)+n4(3)-n2(4)-n3(4)-n2(3)-n3(3); m=k*sum(m1); M=m1;M(1)=M(1)+m; m3=k3.*m1; m4=m3.*k2; m2=M.*k1+m4; m4=m4.*0.6; m3=m4./k2; sg=s2*(1-l(2)); s3=m3.*s1+(m3-m4).*sg+m4.*s+m2*sz; S=sum(s3); H=(M-m3).*(1.-w); X=S/(sum(H)+sum(m3)); n1=m1; n2=m2; n3=m3; n4=m4; N=M; X for i=1:4 a=(n3-n4)./(N-n4); n5=(n2-n4).*a; k1=n2./N; k2=n4./n3; k=n(1)/sum(n1); k3=n3./N; m1(1)=n3(1)+n3(2)+n3(2)-n4(1)-n4(2)-n4(3)-n5(1)-n5(2)-n5(3); m1(2)=N(1)+n3(4)+n5(1)+n4(1)-n5(4)-n4(4)-n2(1); m1(3)=n1(2)+n4(2)+n5(2)-n2(2)-n3(2); m1(4)=n1(4)+n4(4)+n5(4)+n1(3)+n4(3)-n2(4)-n3(4)-n2(3)-n3(3); m=k*sum(m1); M=m1;M(1)=M(1)+m; m3=k3.*m1; m4=m3.*k2; m2=M.*k1+m4; s3=m3.*s1+(m3-m4).*sg+m4.*s+m2*sz; S=sum(s3); H=(M-m3).*(1.-w); X=S/(sum(H)+sum(m3)); n1=m1; n2=m2; n3=m3; n4=m4; X End 参考书目 [1]姜启源，谢金星，《数学模型》，高等教育出版社，2003年8月 [2]峁诗松，程依明，濮晓龙，《概率论与数理统计教程》，2004年3月 [3]张洪涛，《保险学》，中国人民大学出版社，2002年9月