复习 06级-09级

06级 一、填空（5分×8）： 1、当且仅当 时，p级数∑∞ =1 1 n pn 收敛。 2、幂级数 在 内的和函数是 ( )∑∞ = − 0n nx 11 <<− x 。 3、设 x yx x yf 22 +=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ，则 ( ) =xf 。 4、 ( ) ( ) ( ) ( ) =+ ++→ 22 22 0,0, sin2lim yx yxx yx 。 5、（A）设 ( ) ( ) x yxxyxf y arctan1e, 2 −+= ，则 ( ) =0,1xf 。 6、两平行平面Ax+By+Cz+D1=0与Ax+By+Cz+D2=0之间的距离为 。 7、两个球面的交线 在xOy面上的投影曲线方程为 ( ) ( )⎩⎨ ⎧ =−+−+ =++ 111 1 222 222 zyx zyx 。 8、 的 Fourier 级数( ) ⎩⎨ ⎧ ≤<−− ≤<= 0π,1 π0, x xx xf ( )∑∞ = ++ 1 0 sincos 2 n nn nxbnxa a 在 时 收敛于 0=x ； π−=x 时收敛于 ； π=x 时收敛于 。 二、试解下列各题（6分×4）： 1、 已知两点 ( )1,2,41M 和 ，计算向量( 2,0,32M ) 21MM 的模、方向余弦和方向角。 2、 设f是C(2)类函数， ( )22 yxfz += ，求 yx z ∂∂ ∂ 2 。 3、 求级数 ( ) "" ++++⋅+⋅ 1 1 32 1 21 1 nn 的和。 4、 将函数 展开成 x的幂级数，并指出展开式成立的区间。 ( ) xxf 2sin= 三、（8分）判别级数 ( ) ( )∑∞ = + +− 1 1 e 1ln1 n n n n 是否收敛？若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？ 四、（8 分）设 ( ) ( ) (( ) (⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ≠+= 0,0,,0 0,0,,, 22 yx yx yx xy yxf 当 当 ) ) ) ) ，试用函数可微分的必要条件证明 在点 ( 处不可微。 ( yxf , 0,0 1 2 )五、（ 8 分）求过点 且平行于平面( 4,0,1− 01043 =−+− zyx ，又与直线 2 31 zyx =−=+ 相交的直线的方程。 六、（6分）设 是周期为 的周期函数，它在( )xf π2 [ )ππ,− 上的达式为 ( ) ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ << ≤≤− −<≤−− = π 2 π, 2 π 2 π 2 π, 2 π π, 2 π x xx x xf 把 展开成傅里叶级数。 ( )xf 七、（6分）证明曲线 是两相交直线，并求其对称式方程。 ⎩⎨ ⎧ =− =+−− zyx zyx 24 016122 22 07级 一、填空题（4分×8）： 1、当 x满足条件 时，级数 ∑∞ =0 1 n nx 收敛。 2、设级数 收敛于 2，则∑∞ =0n n u =−∑∞ = ) 2 52( 0 n n nu 。 3、若幂级数 在 处收敛，则在n n n xa )2( 0 −∑∞ = 0=x 3=x 处 （填入条件收敛、绝 对收敛或发散） 4、点 到平面 的距离为 ( 1,1,1 −P ) 42 =+− zyx 。 5、平面 43 =+− zyx 与平面 1=−− zyx 的夹角为 。 6、三角形 的三个顶点分别为 ，则三角形的面积 为 ABCΔ )0,1,2(),2,2,0(),1,2,1( CBA 。 7、已知函数 满足( yxf , ) 22, yxxy y xf +=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ，则 ( )yxf , ＝ 。 8、已知函数 ，则 ＝ xyxez = dz 。 二、解答下列各题（7分×5） 1、设函数 一阶连续可导，( vuf , ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ += y xyxfz , ，求 y zy x zx ∂ ∂+∂ ∂ 。 2、 设 是周期为 2的周期函数，在( )xf ]1,1(− 上函数的定义为 ， 在 上的傅立叶级数展开式为 ( ) ⎩⎨ ⎧ ≤< ≤<−= 10, 01,2 xx x xf ( )xf ]1,1[− ( )∑∞ = ++ 1 0 sincos 2 n nn xnbxna a ππ 。求 ， 并写出傅立叶级数在 上的和函数 3a ]1,1[− ( )xs 的表达式。 3、求经过直线 2 32 1 −==− zyx ，且与平面 22 =−− zyx 垂直的平面方程。 4、已知空间曲线 ，写出该曲线的参数方程；并求以该曲线为准 线，母线垂直于 ⎩⎨ ⎧ =+−+ =−+Γ 012 0 : 2 22 zyx zyx yoz平面的柱面方程。 5、讨论级数的 ( ) )0(11 1 >+−∑∞ = p n n n p n 敛散性。 三、（8分）将函数 ( ) 43 1 2 −−= xxxf 在 2=x 处展开为幂级数。 四、（8分）考察函数 ( ) ( ) ( ( ) (⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ≠+= 0,0,,0 0,0,,, 22 3 yx yx yx y yxf 当 当 ) ) 在 ( )0,0 处的连续性、可导性 与可微性。 五、（7分）求 点在平面( 0,2,1−M ) 012 =+−+ zyx 上的投影点。 六、（5 分）已知非零向量 ba GG , 不共线，令 bamc GGG += ，其中 m 为实数，证明当 cG 最小 时 。 ac GG ⊥ 七、（5分）证明 1 ln 1 2 11 lim = +++ ∞→ n n n " 。 08级 一、填空题（每小题 4分，总计 32分 ） 1、 过点（1，2，-1）且与直线 垂直的平面方程为 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −= −= +−= 1 43 2 tz ty tx 。 2、设直线 的夹角为与则 2121 ,32 6 :, 1 8 2 5 1 1: ll zy yx lzyxl ⎩⎨ ⎧ =+ =−+=− −=− 。 3、设 =+⋅+×+=⋅× )()]()[(1 accbbacba ，则）（ 。 4、将函数 展开为 x的幂级数 22)( xexxf −= 。 3 5、设幂级数∑ 的收敛半径是 4，则幂级数 的收敛半径是 ∞ =0n n nxa ∑∞ = + 0 12 n n n xa 。 6、判别级数∑∞ =1 1 n n nn 的敛散性： 。 7、曲线 绕 y轴旋转所生成曲面的方程为 ⎩⎨ ⎧ = =− 0 3694 22 z yx 。 8、设 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= x yu arctan ，则 x u ∂ ∂ = 。 二、计算下列各题（每题 6分,共 18分） 1、 设 ),((,, yxf x z z y y xfu ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= 具有一阶连续导数），求 。 d u 2、 用定义判别级数∑∞ = + −+ 1 2 1 n nn nn 的敛散性，若收敛求其和。 3、 设 ，又设( ) ⎩⎨ ⎧ <≤− <<= 21,1 ,10,1 xx x xf ( )S x 是 ( )f x 的以 为周期的正弦级数展开式的 和函数，写出 4 S x( )在[0，2]内的表达式，并且求出 。 )7(S 三、（8分）将 )1( 43 1)( 2 −−−= xxxxf 展开成 的幂级数。 四、（8分）求点 分别到直线)1,1,1(p 2 5 3 2 1 − −=+= zyx 和平面 05423 =+−+ zyx 的距 离。 五、（9分）已知 cba ,, 为两两垂直的三个向量, ,3,2,1 === cba ,cbas ++= 求 的夹角与的模长 cbass ,,)2(;)1( 。 六、（10分）讨论函数 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ≠+= )0,0(),(,0 )0,0(),(, ),( yx yx yx xy yxf 在点（0，0）处的连续性、 可偏导性与可微性。 七、（10分）求幂级数∑∞ = +1 )1(n n nn x 的收敛区间及其和函数，并且求∑∞ = +1 2)1( 1 n nnn 的和。 八、（5分）设级数 收敛，∑ 绝对收敛，证明 绝对收敛。 ∑∞ = −− 1 1 )( n nn aa ∞ =1n nb ∑∞ =1n nnba 4 09级 一（I）、填空题（每小题 4分，总计 32分 ） 2、 设向量 ),0,1,1(),3,2,1( == ba GG 若非负实数 k 使向量 bka GG + 与 bka GG − 垂直，则 k= 。 3、 过原点及点（ 6， -3， 2），且与平面 824 =+− zyx 相垂直的平面方程 为 。 4、 设 为二元可微函数， ，则),( vuf ),( xy yxfz = x z ∂ ∂ = 。 5、 设 ，则)ln( 22 yxxez y ++= )0,1(dz = 。 6、 数项级数∑∞ = +−1 )12)(12( 1 n nn 的和为 。 7、 幂级数 n n n xn )1( 2 1 1 −∑∞ = 的收敛域为 。 8、 若级数 收敛，且∑∞ =1n na 1)1(lim 1 =−∞→ nn p n aen ，则 p的取值范围是 。 9、 设 ，⎩⎨ ⎧ <≤ <≤+= 420 202 )( x xx xf ),( 4 sin)( 1 +∞<<−∞π= ∑∞ = xxnbxs n n 其 中 ),2,1( 4 sin)( 2 1 4 0 "=π= ∫ ndxxnxfbn ，则 = )2(s , )9(−s = 。 一（II）、选择题（每小题 3分，共 12分） 1、 下列极限中存在的是（ ）. （A） yx yx y x + − → → )1(lim 0 0 ；（B） 24 2 0 0 lim yx yx y x +→→ ；（C） 22 2 0 0 lim yx yx y x +→→ ；（D） 22 0 0 lim yx xy y x +→→ . 2、 函数 ||),( xyyxf = ，在点（0，0）处（ ）. （A）可微； （B）偏导数存在，但不可微； （C）连续，但偏导数不存在； （D）不连续且偏导数不存在. 3、 设有直线 及平面⎩⎨ ⎧ =+−− =+++ 03102 0123 : zyx zyx L 0224: =−+−π zyx ,则直线 L（ ）. (A)平行于 π； （B）在 π 上； （C）垂直于 π； （D）与 π 斜交. 4、 在下列级数中，收敛的级数是（ ）. (A) ;) 1 ()1( 1 n n n n n +−∑ ∞ = (B) ; 1 )1( 1 ∑∞ = + −+ n n n n (C) ;（D） )11ln( 1 ∑∞ = + n n nn . 1 3 n n en − ∞ = ∑ 5 二、计算下列各题（每小题 7分，共 21分） 1、 一 直 线 过 点 且 与 直 线)3,1,2(0 −p 1 1 12 1 +=−= − zyx 相 交 ， 又 与 平 面 平行，求此直线方程。 0523 =++− zyx 2、 求通过直线 且与点 的距离为 1的平面 π 的方程。 ⎩⎨ ⎧ =+−− =+− 062 0223 : zyx yx L )1,2,1(M 3、 设 qpbaqbapba GGGGGGGGGG ⊥+=−=== ,4,23,2,1 ，求夹角 ),( ba GG 及 || qp GG × . 三、（6分）设 ，而)(2 ufxz = x yu = ，其中 二阶可导，求)(uf .,, 2 yx z y z x z ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 四、（8分）将函数 x xxf − += 1 1arctan)( 展开为 x的幂级数，并求 ).0()(nf 五、（8分）讨论级数 )11()1( 1 1 n e n n n −−−∑∞ = 的敛散性.若收敛，是绝对收敛还是条件 收敛？ 六、（8分）求幂级数 n n n x nn 2 1 1 )12( 1)1( −−∑ ∞ = − 的和函数. 七、（ 4 分）设 ，且0>na ),2,1(,1 "=≤+ naa nn ，若 发散，证明n n n a∑∞ = − 1 )1( n nn a )1( 1 1 +∑ ∞ = 收敛. 6