不可能的世界

《瀑布》，石版画，1961《瀑布》，石版画，1961 彭罗斯的“不可能三杆” 彭罗斯的“不可能三杆” 不可能 埃舍尔的 “不可能世界” 一条瀑布从高处倾泻而下，转 动着水轮。然后，水流顺着砖砌的水 渠向前流动。可是，这水流竟流到了 瀑布上方，然后再次倾泻而下，转动 着水轮。如此周而复始，简直是一架 永动机！而当你定睛细看时，就会发 现，这水流实际上是在一个平面上 流动（《瀑布》）。 在一个两层的观景楼里，一个 竖得笔直的梯子，它的最上端斜靠 在观景楼的外边，而梯脚却站在楼 内。不论谁爬在梯子上，都弄不清 自己到底是在亭楼的里边还是外边 （《观景楼》）。 一只手在画另一只手，同时，被 画的那只手又忙着画第一只手，而所 有这一切又都画在一张被图钉固定 在画板上的纸面上（《画手》）。 ………… 所有这些不可能的景象，都在 荷兰著名绘画大师埃舍尔的笔下实 示…… 我们经常听一些科学家说，事 物的数学性中蕴含着浓郁的诗意。 然而这并不是任何人都能体会到的。 面对一个公式或者理论，训练有素 的数学家和物理学家常常发出“美” 的感叹，而对于不谙此道的普通人 ——M·C·埃舍尔现了。 埃舍尔，这位荷兰版 画大师是独一无二的，看 他的画是一桩奇妙的游 戏。你的第一印象会是非 常精致，具有极强的装饰 美感。然后，这些画开始向 你的智力、向你的正常思 维逻辑发出挑衅，空间开 始错杂，上下、左右、内外 通通颠倒，你的大脑开始 晕眩…… 但是，这些画却不是 随意的艺术幻想，而是现 代数学之美在艺术上的具 体体现。难怪艺术界一开 始并不认可埃舍尔，他最 先是在科学界获得喝彩。 诺贝尔物理学奖得主杨振 宁用他的画作《骑士》作 自己所著《基本粒子发现 简史》的封面，他曾被邀 请在剑桥大学国际结晶学 联合会上做演讲和作品展 来说，却不过是一组无意义的符 号而已。但是埃舍尔这位独特的艺 术家却毕生在不自觉地从事着一种 “翻译”工作——把艰深的数学翻 译成一目了然、具有美感的艺术，使 一般人不仅能直观地领悟到诸如拓 扑、黎曼曲面、无限这样一些抽象的 《画手》，石版画，1958《画手》，石版画，1958 6 本期视点本期视点 三个连接起来的“不可能三杆” 三个连接起来的“不可能三杆” 《观景楼》，石版画，1958《观景楼》，石版画，1958 《莫比乌斯带Ⅰ》，木口木刻，1961《莫比乌斯带Ⅰ》，木口木刻，1961 吴 余/文 的世界 类的视觉幻象作品，这一切构成了他 的“不可能世界”。底下这幅石版画 《观景楼》也很有名。稍加注意你就 会发现，这个亭子建得很怪异。亭子 的上层与下层居然互成直角！此外， 把两层楼台连接起来的八根柱子也 很奇怪。只有最右边和最左边的柱 新脑》一书的作者彭罗斯 构想的“不可能三杆”。彭 罗斯把它叫做三维直角结 构：三个直角都很正常，但 它们是以错误的、在现实 中根本不可能的方式连接 起来的，于是就形成了这 样一个三角形，三个角之 和为270度，——当然它肯 定不是任何实际存在的空 间结构的投射。 埃舍尔把三个这样 的“不可能三杆”连接起 来。从图中看到，我们沿着 从A点走到B点是平坦，从B 点到C点似乎也是平坦的， 但从C点回到A点在视觉 上我们却兀地掉了下来， 这正是埃舍尔在《瀑布》 中所达到的效果，而这一 切只是因为构成图形的每 一个三杆都是不可能存在 的。 埃舍尔创作了大量此 子是正常的，其余六根都是把前面 连到后面，所以有些柱子肯定是会从 中央的空间斜穿而过。这就造成了另 一个更加荒谬的图景：那个竖得笔 直的梯子，它的最上端斜靠在观景 楼的外边，而梯脚却站在楼内。如果 我们把画面从中间沿水平线剪开，就 会发现两个部分都很正常。那么不 言而喻，视觉上的悖谬来自于两个 部分错误的连接，即上面已经提到 的六根柱子的不可能的连接。 《莫比乌斯带》与拓扑学 埃舍尔对拓扑学上有名的莫比 乌斯带很感兴趣，以它创作了许多 作品。我们知道，莫比乌斯带有两个 重要的拓扑学特性，一是沿其中线 剪开，它不会分成两个环，仍然是一 个；二是它只有一个面和一条边。为 了验证前一点，你只要拿起剪刀来试 一试就知道了。至于后一点，你可以 从带子的任意一处开始给它涂色， 不断地涂，你终究会把整条带子都 涂上颜色，而中间不会有间断。因为数学概念，甚至还能在心中激起愉 悦感。 《瀑布》与不可能三杆 据说埃舍尔创作《瀑布》的灵 感来自英国理论物理学家、《皇帝的 7 本期视点本期视点 《画廊》与黎曼曲面 石版画《画廊》被认为是埃舍尔 一生的巅峰之作。埃舍尔本人也认 为，在这儿他已经达到了他的思维 能力和现能力的极限。在画面的 右下角，我们看到画廊的入口，一场 画展正在进行。向左，我们遇到一位 年轻人，正站在那儿看墙上的一幅 画。在这幅画中，他看见一艘船，再 往上，也就是整个画面的左上角，是 码头沿岸的一些房子。现在我们向 右移，这排房子继续延伸，延伸到画 面最右侧，然后随着我们的视线下 移，就会发现角落里有一座房子，房 子底部有一个画廊的入口，画廊里 正在举办一场画展……至此我们才 恍然大悟，我们的这位年轻人其实 正站在他所观看的那幅作品之中！ 这一切让人不禁想起卞之琳的一首 诗： 你站在桥上看风景 看风景的人在楼上看你 明月装饰了你的窗子 你装饰了别人的梦 这幅画给人的感觉好像是绘在 一张橡皮膜上，然后膜的某些部分 经过膨胀、扭曲变形了。那么这里又 蕴藏着什么数学思想呢？从画本身 似乎不容易看出，让我们来看看埃舍 尔创作这幅石版画时的一件手稿。 在手稿中，假如从中间的正方形 ABCD右下角的A点附近任意选取一 个小网格，我们看到经过曲线的扭 曲放大，到达左下角的B处附近时已 经变成了4×4的方格，这就是说，整 整放大了16倍；同样道理，从B到C， 从C到D，依此类推，一轮之后，又是 从A到B，周而复始，这个放大过程可 以无限循环下去。既然从A到B一个 网格放大了16倍，从B到C又放大了16 倍，那就是说，从A处附近出发的一 个网格到达C处附近放大了162=256 倍，这时原有的正方形容纳不下这么 多格子，已经溢出了；同理，A处到达 D处网格被放大了163倍，一轮结束回 到起点时，原先从A处附近出发的一 个网格放大了164倍，这个过程无限 制地重复下去，可以把整个无限大 假如有两个面，涂完一个，你中间势 必要翻转一下，才能去涂另一个面。 同样道理，你假如把手指放在边上 的任意一点，然后沿着边不断滑去， 你的手指终究要回到起点，这就是 说，它只有一条边，并且是封闭的。 埃舍尔的《莫比乌斯带Ⅰ》阐明 了它的第一个拓扑学特性。在这幅 作品中，每条蛇都咬着另一条蛇的尾 巴。整个图案就是纵向剪切的莫比 乌斯带。如果顺着蛇的方向看，它们 似乎始终都是连在一起的；但如果 我们将带子拉开一点，就会得到带 有两个纽结的一个完整的带子。 木口木刻《莫比乌斯带Ⅱ》则阐 明了后一个拓扑学特性。图中这些可 怜的蚂蚁沿着莫比乌斯带做成的梯 子不断爬行，一忽儿里，一忽儿外， 似乎永远爬不到尽头。而且假如它 有知觉，一定越爬越奇怪：明明在里 头的，怎么又莫名其妙翻上来了？这 也难怪，因为这架“梯子”只有一个 面，并且是完全封闭的；在这儿，里 和外其实压根儿不存在。 《莫比乌斯带Ⅱ》，木口木刻，1963《莫比乌斯带Ⅱ》，木口木刻，1963 《画廊》，石版画，1956《画廊》，石版画，1956 8 本期视点本期视点 《圆形极限III》，木刻，1958《圆形极限III》，木刻，1958 的平面都填满。但是我们当然只能 截取它的一个有限的部分来用于作 画，这就是手稿中经过膨胀后的正 方形 / / / /A B C D 。 这个奇妙的网格令好几位数学 家震惊不已，他们把它作为黎曼曲面 的一个范例。黎曼曲面是德国数学 家黎曼为了解决多值的解析函数问 题而设想的一种曲面，在坐标图中 表现为多叶分层相连的曲面。手稿图 中心的那个空白方格，对应着一个 数学上的不动点——当周围的一切 上的基本规则。不过在埃舍尔那里， 这一切不仅做得天衣无缝，而且充 满美感。 早期，埃舍尔的周期性平面镶 砌用的是完全相同的图形，到了晚 年，他开始采用相似图形。这是一 些形状相同，只是大小比例不等的 图形。埃舍尔试图通过这样的连续 变形，来探讨数学上另一个重要概 念——“无限”。 《圆形极限III》是此类作品中 最具典型的一幅。要领会这幅作品 的妙处，你得想象自己是图中的一条 鱼——假如你嫌这些鱼不够漂亮， 那把自己想象得漂亮一点就可以了。 当你沿着空白色的曲线游向图的边 缘，你似乎跟边缘离得更近了，但事 实上在这同时你也在按着一定的比 例在缩小，因此离边缘依然一样的 远。这个过程无限地进行下去，你只 会变得无限的小，无限地接近边界， 但永远达不到边界，除非你有“无 限”的耐心。而在边界的圆周上，则 达到了两个极限——个体无限的小 都在运动变形时，唯有这一点 保持着静止不动。在完成后的 作品中，埃舍尔也在这一处留下 了一个空白，这不仅符合数学 逻辑，也为这幅作品增添了一丝 梦幻感。 用平面镶砌表现无限 平面镶砌是埃舍尔一生珍 爱的主题，也是他的重要技巧， 贯穿于他的许多作品中。到了 晚年，他还引以为豪地说：“这 和数量上无限的多。 这幅画不禁让人想起数学 上“有限又无界”的思想。作为 一个整体，圆周所包含的区域 显然是有限的，但从图中鱼的 观点，我拼命地游，却永远突 破不了这个魔圈，那分明又是 无界的。爱好科学的人们经常 问：“宇宙是有限的还是无限 的？”、“为什么微观、宏观、宇 观的世界包含着那么多的相似 性？”通过埃舍尔的这幅作品， 他们对这些问题或许会得到更 《画廊》的一件手稿《画廊》的一件手稿是我挖掘出来的最丰富 的灵感之源，它至今也 没有枯竭。” 所谓平面镶砌，就 是用一组图案对平面进 行周期性地填充，这些 图案可以是简单的，也 可以是复杂的。比如把 一个平面划分成一系列 等大的正方形，这也算 是一种平面镶砌，只是 太简单了。埃舍尔的图 案要复杂得多。比方他 爱用人像、鸟、鱼、蜥蜴 来作为填充的图案。正 因为复杂，填充起来就 需要很高的技巧，这中 间还得严格遵循连续、 对称、变换、循环等数学 好的理解。 绘画乃骗术 在欣赏了作品之 后，少不了要探讨艺术 家创作的动机。那么埃 舍尔创作这些“不可能 世界”的动机何在？当 然，好玩是一方面。不 过，埃舍尔不仅是位艺 术家，还是个艺术家里 的思想者。这些“好玩” 的绘画事实上包含了他 对绘画本质的更深刻的 思考。他很早就意识到 所有绘画所先天具有的 矛盾——那就是三维的 空间必须表现在二维的 9 本期视点本期视点 平面上。因为这个内在的矛盾，他认 为任何绘画都是一种自欺欺人的骗 术。既然如此，就可以通过对传统 透视法进行革新，在平面上营造出 甚至在三维空间中不可能存在的世 界，把观者骗得更甚。 为了表达自己“绘画是骗术” 的观点，埃舍尔不惜“以子之矛攻子 之盾”，以幻象来揭穿幻象。在著名 的石版画《画手》中，画面上一只手 在画另一只手，同时，被画的那只手 正看是对的，倒着看是对的，斜着看 也还是对的。 石版画《相对性》就属于此类 作品。这幅画中出现三个灭点，其中 的十六个小人可以分成三组，每组小 人都生活在自己的世界中。而且对于 所选定的任何一组小人，他们的世 界都是这幅作品所画的全部内容； 只是其中一组的天花板，可能是另 一组的墙；一组认为是门的东西，另 一组可能认为是地板上的活动门而 其他艺术家的特点，也是他的作品 魅力之所在。埃舍尔所思考的问题 以及创作的方式，更接近于科学家 而非艺术家，所以毫不奇怪，他的作 品首先为科学家们所接受，尤其是数 学家把他当作“失散多年的兄弟”。 埃舍尔在自己的创作笔记中曾 经写道：“数学家打开了一扇通向无 限可能性的大门，但是他们自身并没 有进入其中看看，他们特殊的禀赋 使他们对如何打开这扇门的方式更 又忙着画第一只 手，而所有这一 切又都画在一张 被图钉固定在画 板上的纸面上。 手从纸面跃然而 出，你几乎都想 去抓握它，可是 周围环境的有意 布置却明白无误 地告诉你：这一 切只不过是二维 的平面画。在你 失望气愤之时， 画家却在暗处狡 黠顽皮地笑了， 仿佛在说：“你 现在明白怎么回 事了吧？”而你 感兴趣，而对隐 藏在其后的花园 不感兴趣。” 确实，在数 学家那里，所有 的不可能都会被 粉碎，空间的维 度不仅是三维 的，而是更多维 的——现代物理 学已经证明，我 们所处的宇宙也 许就存在更高维 度的空间；空间 的形状不仅是欧 式几何的，还有 更多其他独特形 状。确实，宇宙 学家逐渐发现， 已。 对于这幅作品的深入研究也许 会对宇航员有所帮助。它将帮助宇 航员认识到，空间中的每一个平面 都可以随意地成为地面。他们必须 习惯于看到同事随时随地都可能从 夸张的位置出现而不会感到头晕和 困惑。 数学粉碎所有不可能 从以上的介绍中我们大致了解 了埃舍尔作品的风格。绘画与数学思 想密切相关，这既是埃舍尔有别于 一旦意识到自己受了欺骗，也会跟着 笑起来。 埃舍尔虽然是一个革新者，但 他也创作了大量严格遵循传统透视 法的作品。不过即使在那些作品里， 埃舍尔也并非按部就班，而是做了大 胆的创新。传统透视法有一个规则： 从我们眼前向后退的平行线要画成 通过一个称为灭点的线束。一般一 幅画只有一个灭点，比方说一幅画正 挂着时我们看起来舒服，斜挂或者 倒挂时我们一眼就看出来挂得不对 头，就是这个缘故。但在埃舍尔的某 些作品里，他用了好几个灭点，这样 我们宇宙的形状可能就是拓扑结构 的；无限大和无限小最终融为一体， 空间有限，但没有边界。也许，当我 们仰望夜空，在最遥远的星球之外 的某个地方，空间到了尽头，出现了 一个一无所有的边界。 从这个意义上，我们怎么能说 埃舍尔笔下的世界是不可能的呢？ 作为艺术家的埃舍尔正是以自 己的高超技艺展示了数学花园里的 一朵朵奇葩，不仅填补了专业数学家 的缺憾，而且开创了一个独具魅力 的艺术世界。 《相对性》，石版画，1953《相对性》，石版画，1953 10 本期视点本期视点