万有引力定律

nullnullnull基础知识回顾一、万有引力定律 1.万有引力定律的内容和公式 宇宙间的一切物体都是互相吸引的.两个物体间的 引力的大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的 距离的平方成反比. 公式：F=Gm1m2/r2,其中G=6.67×１０-11N·m２/kg２， 叫引力常量. 公式适用于质点间的相互作用.当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时.物体可视为质点.均匀的球体也可以视为质点，r是两球心间的距离.2.适用条件：3.重力是物体在地球表面附近所受到的地球对它的引力. 由GmM地/R地2 =mg ∴ GM地/R2 =g null例1．关于万有引力定律和引力常量的发现，下面 说法中哪个是正确的　（　 ） A．万有引力定律是由开普勒发现的，而引力常量 是由伽利略测定的 B．万有引力定律是由开普勒发现的，而引力常量是由卡文迪许测定的 C．万有引力定律是由牛顿发现的，而引力常量是由胡克测定的 D．万有引力定律是由牛顿发现的，而引力常量是由卡文迪许测定的Dnull练习1.对于万有引力定律的表达式F=Gm1m2/r２，下列说法正确的是( ) A.公式中G为引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的 B.当r趋近于0时，万有引力趋近于无穷大 C.m1、m2受到的引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力 D.公式中的F应理解为m1、m2所受引力之和Anull练习2.对于引力常量G，下列说法中错误的是( ) A.其大小与物体的质量的乘积成正比，与距离的平方成反比 B.是适用于任何两物体间的普适恒量，且其大小与单位制有关 C.在国际单位制中，G的单位是N·m２/kg２ D.在数值上等于两个质量都是1kg的物体相距1m时的相互作用力BCDnull例2．一宇宙飞船在离地面h的轨道上做匀速圆周运动，质量为m的物块用弹簧秤挂起，相对于飞船静止，则此物块所受的合外力的大小为　　　　　 .（已知地球半径为R，地面的重力加速度为g）练习．月球表面重力加速度为地球表面的1/6，一位在地球表面最多能举起质量为120kg的杠铃的运动员，在月球上最多能举起　　（ 　 ） 　A．120kg 的杠铃　　　 B．720kg 的杠铃 　C．重力600N 的杠铃　 D．重力720N 的杠铃Bnull例3．物体在一行星表面自由落下，第1s内下落了9.8m，若该行星的半径为地球半径的一半，那么它的质量是地球的　 　 倍.1/2例4．一物体在地球表面重16N，它在以5m/s2的加速度加速上升的火箭中的视重为9N，则此火箭离开地球表面的距离是地球半径的　　 （ ） 　　 A．1倍　　　　　　 B．2倍　　　　　　　　 C．3倍　　　　　 　D．4倍C第4课时null二、万有引力定律在天体运动中的应用1、天体运动的特点：（1）开普勒的三定律：第一定律:所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上； 第二定律:对于每一个行星而言太阳与行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积； 第三定律:所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值是一个都相等(2)处理方法:把天体的运动当作匀速圆周运动,而万有引力 提供向心力.null例5、如果发现一颗小行星，它离太阳的距离是地球离太阳距离的8倍，那么它绕太阳一周的时间应是　　　 年. null（一）天体质量M、密度ρ的估算2、基本题型由：GmM/r2 =mg =mv2 / r =mω2 r=m · 4π2 · r/T2可知：M=gr2/G =rv2/G = ω2 r3/G= 4π2r3/T2 要点：要想求M，就必须知道r及g、v、ω、T中 的某一值。=M/V=M/（4/3R0３)，例6．若已知某行星绕太阳公转的半径为r，公转的周期为T，万有引力常量为G，则由此可求出（ 　 ） 　　　 A．某行星的质量　　 B．太阳的质量 C．某行星的密度　　 D．太阳的密度Bnull例7．某行星上一昼夜的时间为T=6h，在该行星赤道处用弹簧秤测得一物体的重力大小比在该行星两极处小10%，则该行星的平均密度是多大？（G取6.67×10－11N·m2/kg2）解：由题意可知赤道处所需的向心力为重力的10%null（二）、卫星的绕行速度、角速度、周期与半径R的关系1、V与R的关系：由GMm/R２=mv２/R得v2=GM/R,所以R越大，v越小2、角速度与半径的关系：由GMm/R２=m２R得２=GM/R３所以R越大，越小;3、周期与半径R的关系：由GMm/R２=m(2/T)２R得T2=42R3/(GM)，所以R越大，T越大.nullC Dnull 若人造卫星绕地球作匀速圆周运动，则下列说法正确的是 （ ） A.卫星的轨道半径越大，它的 运行速度越大 B.卫星的轨道半径越大，它的 运行速度越小 C.卫星的质量一定时，轨道半径越大，它需要的 向心力越大 D.卫星的质量一定时，轨道半径越大，它需要的 向心力越小B Dnull（三）.三种宇宙速度 (1)第一宇宙速度(环绕速度)：v1=7.9km/s，是人造地球卫星的最小发射速度，是绕地球做匀速圆周运动中的最大速度.（会推导） (2)第二宇宙速度(脱离速度)：v2=11.2km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度. (3)第三宇宙速度(逃逸速度)：v3=16.7km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度.注：1、人造卫星的最小周期为84分钟。(会) 2、明确人造卫星发射的过程。null例9．关于第一宇宙速度，下面说法正确的有（ ） A． 它是人造卫星绕地球飞行的最小速度 B． 它是发射人造卫星进入近地圆轨道的最小速度 C．它是人造卫星绕地球飞行的最大速度 D． 它是发射人造卫星进入近地圆轨道的最大速度。B C（提示：注意发射速度和环绕速度的区别）练习．已知金星绕太阳公转的周期小于地球绕太阳公转的周期，它们绕太阳的公转均可看做匀速圆周运动，则可判定　　 （　 ） 　 A．金星到太阳的距离大于地球到太阳的距离 　 B．金星运动的速度小于地球运动的速度 　 C．金星的向心加速度大于地球的向心加速度 　 D．金星的质量大于地球的质量Cnull例10． 如图所示，某次发射同步卫星时，先进入一个近地的圆轨道，然后在P点点火加速，进入椭圆形转移轨道（该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P，远地点为同步轨道上的Q），到达远地点时再次自动点火加速，进入同步轨道。设卫星在近地圆轨道上运行的速率为v1，在P点短时间加速后的速率为v2，沿转移轨道刚到达远地点Q时的速率 为v3，在Q点短时间加速后进入同步 轨道后的速率为v4。试比较v1、v2、 v3、v4的大小，并用大于号 将它们排列起来 。null解：根据题意在P、Q 两点点火加速过程中，卫星速度将增大，所以有v2＞v1 、v4 ＞v3，而v1、v4是绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的线速度，由于它们对应的轨道半径 r1＜r4，所以 v1 ＞v4。卫星沿椭圆轨道由P→Q 运行时，由于只有重力做负功，卫星机械能守恒，其重力势能逐渐增大，动能逐渐减小，因此有 v2＞v3把以上不等式连接起来，可得到结论： v2 ＞ v1 ＞ v4 ＞ v3null例11．若某行星半径是R，平均密度是ρ，已知引力常量是G，那么在该行星表面附近运动的人造卫星 的线速度大小是　　　　 . nullA B D 练习、人造地球卫星在绕地球运行的过程中，由于高空稀薄空气的阻力影响，将很缓慢地逐渐向地球靠近，在这个过程，卫星的 ( ) (A) 机械能逐渐减小 (B) 动能逐渐减小 (C) 运行周期逐渐减小 (D) 加速度逐渐减小A Cnull（四）.地球同步卫星 所谓地球同步卫星，是相对于地面静止的，和地球自转具有相同周期的卫星，T=24h.同步卫星必须位于赤道正上方距地面高度h≈3.6×104km(怎么计算?)特点：1、在赤道的正上方，相对地面静止。2、周期为24小时，轨道半径确定； 。null （16分）某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g,地球自转周期为T，不考虑大气对光的折射。解：设所求的时间为t，用m、M分别表示卫星和地球的质量，r 表示卫星到地心的距离.null春分时，太阳光直射地球赤道，如图所示， 图中圆E表示赤道，S表示卫星， A表示观察者，O表示地心.由图可看出当卫星S绕地心O转到图示位置以后（设地球自转是沿图中逆时针方向），其正下方的观察者将看不见它. 据此再考虑到对称性，有rsinθ =R ②由以上各式可解得null【例13】用m表示地球通讯卫星(同步卫星)的质量，h表示它离地面的高度，R0表示地球的半径，g0表示地球表面处的重力加速度，0表示地球自转的角速度，则通讯卫星所受的地球对它的万有引力的大小为( ) A.等于0 B.等于mR0２g0/(R0+h)2 C.等于 D.以上结果都不对BCnull【例14】2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98°的经线在同一平面内.若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似为东经98°和北纬a=40°已知地球半径R、地球自转周期T、地球表面重力加速度g(视为常数)和光速c，试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间(要求用题给的已知量的符号表示).null例15. 发射同步卫星的一种方法是:先用火箭将星体送入一近地轨道运行,然后再适时开动星载火箭,将其通过椭圆形过渡轨道,最后送上与地球自转同步运行的圆形轨道,那么变轨后与变轨前相比,卫星的〔 　　 〕 A. 机械能增大,动能增大; B. 机械能增大,动能减小; C. 机械能减小,动能减小; D. 机械能减小,动能增大。 Bnull（五）双星问题及“双星模型”特点：1、两星体运动时，由万有引力提供向心力； 2、两卫星及圆心三者始终共线； 3、两卫星的角速度、周期相等；null 两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。解答：设两星质量分别为M1和M2，都绕连线上O点作周期为T 的圆周运动，星球1和星球2到O 的距离分别为l 1和 l2 ．由万有引力定律和牛顿第二定律及几何条件可得l 1 + l2 = R联立解得null例16．如图所示，有A、B两颗行星绕同一颗恒星M做圆周运动，旋转方向相同，A行星的周期为T1，B行星的周期为T2，在某一时刻两行星相距最近，则 （ 　 ） A．经过时间 t=T1+T2两行星再次相距最近 　　 B． 经过时间 t=T1T2/(T2-T1)，两行星再次相距最近 　 C．经过时间 t=(T1+T2 )/2，两行星相距最远 　 　D．经过时间 t=T1T2/2(T2-T1) ，两行星相距最远解：经过时间 t1 ， B 转n 转，两行星再次相距最近， 则A比B多转1 转t1 =nT2 =（n+1）T1n= T1/(T2-T1)，∴ t1 =T1T2/(T2-T1) ，经过时间 t2 ， B 转m 转，两行星再次相距 最远， 则A比B多转1/2 转 t2 =mT2 =（m+1/2）T1m= T1/2(T2-T1)∴ t2 =T1T2/2(T2-T1) B Dnull例17．有一双星各以一定的速率绕垂直于两星连线的轴转动，两星与轴的距离分别为l1和l2， 转动周期为T，那么下列说法中错误的（ 　 ） A．这两颗星的质量必相等　　　　 B．这两颗星的质量之和为 4π2（l1+l2）3/GT2 C．这两颗星的质量之比为 M1/M2=l2/l1　 D．其中有一颗星的质量必为 4π2 l1 （l1+l2）2/GT2提示：双星运动的角速度相等Anull1．宇宙飞船要与轨道空间站对接，飞船为了追上轨道空间站　　　　　　　　 （ 　） 　　A．只能从较低轨道上加速 　　B．只能从较高轨道上加速 　　C．只能从空间站同一高度轨道上加速 　　D．无论从什么轨道上加速都可以A2．地球的质量约为月球的81倍，一飞行器在地球与月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，这飞行器距地心的距离与距月心的距离之比为　　　　 .9∶1补充练习：null3．地球绕太阳公转周期为T1，轨道半径为R1，月球绕地球公转的周期为T2，轨道半径为R2，则太阳的质量是地球质量的多少倍.解：null 4．地核的体积约为整个地球体积的16%，地核的质量约为地球质量的34%，地核的平均密度为　　　　 kg/m3 (G取6.67×10－11N·m2/kg2，地球半径R=6.4×106m，结果取两位有效数字) 解：GmM球/R球2=mgM球=gR球2/Gρ球=M球/V球=3M球/(4πR球3 ) =3g / （4π R球G） =30/ (4π×6.4×106×6.67×10-11 ) =5.6× 103 kg/m3∴ρ核=M核/V核=0.34 M球/0.16V球 =17/8× ρ球 =1.2 × 104 kg/m31.2×104null 据美联社2002年10月7日报道，天文学家在太阳系的9大行星之外，又发现了一颗比地球小得多的新行星，而且还测得它绕太阳公转的周期约为288年. 若把它和地球绕太阳公转的轨道都看作圆，问它与太阳的距离约是地球与太阳距离的多少倍. （最后结果可用根式表示） 解：设太阳的质量为M；地球的质量为m0,绕太阳公转的周期为T0，太阳的距离为R0，公转角速度为ω0；新行星的质量为m，绕太阳公转的周期为T，与太阳的距离为R，公转角速度为ω ，根据万有引力定律和牛顿定律，得由以上各式得已知 T=288年，T0=1年 得null 1990年5月，紫金山天文台将他们发现的第2752号小行星命名为吴键雄星，该小行星的半径为16 km。若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星密度与地球相同。已知地球半径R=6400km，地球表面重力加速度为g。这个小行星表面的重力加速度为 （ ） A．400g B．g/400 C．20g D．g/20解：设小行星和地球的质量、半径分别为m吴、M地、r吴、R地密度相同 ρ吴=ρ地 m吴/r吴3=M地/R地3由万有引力定律 g吴=Gm吴／r吴2 g地=GM地／R地2g吴/ g地=m吴R地2／M地r吴2= r吴／ R地=1/400Bnull5.“神舟三号”顺利发射升空后，在离地面340km的圆轨道上运行了108圈。运行中需要多次进行 “轨道维持”。所谓“轨道维持”就是通过控制飞船上发动机的点火时间和推力的大小方向，使飞船能保持在预定轨道上稳定运行。如果不进行轨道维持，由于飞船受轨道上稀薄空气的摩擦阻力，轨道高度会逐渐降低，在这种情况下飞船的动能、重力势能和机械能变化情况将会是 （ ）　　　　　　　　　　　　　　　　　 　A.动能、重力势能和机械能都逐渐减小 　B.重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能不变 　C.重力势能逐渐增大，动能逐渐减小，机械能不变 　D.重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能逐渐减小解：由于阻力很小，轨道高度的变化很慢，卫星运行的每一圈仍可认为是 匀速圆周运动。由于摩擦阻力做负功，根据功能原理，卫星的机械能减小；由于重力做正功，卫星的重力势能减小；答案选 DDnull 在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来。假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为v0，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计火星大气阻力。已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T。火星可视为半径为r0的均匀球体。null解： 以g′表示火星表面附近的重力加速度，M表示火星的质量， m表示火星的卫星的质量，m′表示火星表面处某一物体的质量，由万有引力定律和牛顿第二定律，有设v表示着陆器第二次落到火星表面时的速度，它的竖直分量为v1，水平分量仍为v0， 有由以上各式解得null 解析：根据题意，星体能绕其旋转，它绕“黑洞”作圆周运动的向心力，显然是万有引力提供的，据万有引力定律，可知“黑洞”是一个有质量的天体。6 天文学家根据天文观察宣布了下列研究成果：银河系中可能存在一个大“黑洞”，距“黑洞”60亿千米的星体以2000km/s的速度绕其旋转；接近“黑洞”的所有物质即使速度等于光速也被“黑洞”吸人，试计算“黑洞”的最大半径。设黑洞和转动星体的质量分别为M和m，两者距离为R，利用万有引力定律和向心力公式列式：GMm／R2＝mv2／R，得到 GM＝v2R，题中还告诉一个信息：即使是等于光速的物体也被“黑洞”吸入，据此信息，可以设想速度等于光速的物体恰好未被“黑洞”吸入，可类比近地卫星绕地球作圆周运动，设“黑洞”半径为r, 用类比方法得到G·M＝c2·r（c为光速），所以r＝v2·R／c2＝2.7×108m。【答案】 2.7x108mnullA D null7.人造卫星以地心为圆心，做匀速圆周运动，它的速率、周期与它的轨道半径的关系是(C) A.半径越大，速率越大，周期越大 B.半径越大，速率越小，周期越小 C.半径越大，速率越小，周期越大 D.半径越大，速率越大，周期越小null8、地球和月球中心的距离大约是4×108m，估算地球的质量为6×1024kg(结果保留一位有效数字).9、关于人造地球卫星，下列说法中正确的是(C) A.运行的轨道半径越大，线速度越大 B.卫星绕地球运行的环绕速率可能等于8km/s C.卫星的轨道半径越大，周期也越大 D.运行的周期可能等于80分钟null10.两颗人造地球卫星质量之比m1∶m2=1∶2,轨道半径之比R1∶R2=3∶1，下列有关数据之比正确的是(D) A.周期之比T1∶T2=3∶1 B.线速度之比v1∶v2=3∶1 C.向心力之比F1∶F2=1∶9 D.向心加速度之比a1∶a2=1∶9