固体物理学_答案

1 《固体物理学》习题解答 黄昆 原著 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考） 第一章 晶体结构 1.1、 解：实验明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构 成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点 阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n和小球体积V所得到的小球总 体积nV与晶体原胞体积Vc之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc nV x  （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r， V= 3r 3 4  ，Vc=a3，n=1 ∴ 52.0 6r8 r 3 4 a r 3 4 x 3 3 3 3        （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG= x 3 34 ar4a3  n=2, Vc=a 3 ∴ 68.0 8 3 )r 3 34 ( r 3 4 2 a r 3 4 2 x 3 3 3 3      （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC= r22a,r4a2  n=4，Vc=a3 74.0 6 2 )r22( r 3 4 4 a r 3 4 4 x 3 3 3 3      （4）对于六角密排：a=2r晶胞面积：S=6 2 60sinaa 6S ABO    = 2a 2 33 晶胞的体积：V= 332 r224a23a 3 8 a 2 33 CS  n=12 3 2 1 2 6 1 12  =6个 74.0 6 2 r224 r 3 4 6 x 3 3    （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG= 3 r8 ar24a3  n=8, Vc=a3 2 34.0 6 3 r 33 8 r 3 4 8 a r 3 4 8 x 3 3 3 3 3        1.2、试证：六方密排堆积结构中 633.1) 3 8 ( a c 2/1  证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A、B、O的中心联线形成一个边长a=2r的正三角形，第二层硬 球N位于球ABO所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R. 即图中NABO构成一个正四面体。… 1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。 证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）： 1 2 3 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 a a j k a a i k a a i j             由倒格子基矢的定义： 1 2 3 2 ( )b a a     3 1 2 3 0, , 2 2 ( ) , 0, 2 2 4 , , 0 2 2 a a a a a a a a a a       ， 2 2 3 , , , 0, ( ) 2 2 4 , , 0 2 2 i j k a a a a a i j k a a       2 1 3 4 2 2 ( ) ( ) 4 a b i j k i j k a a             同理可得： 2 3 2 ( ) 2 ( ) b i j k a b i j k a         即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。 所以，面心立方的倒格子是体心立方。 （2）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）： 1 2 3 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 a a i j k a a i j k a a i j k                 3 由倒格子基矢的定义： 1 2 3 2 ( )b a a     3 1 2 3 , , 2 2 2 ( ) , , 2 2 2 2 , , 2 2 2 a a a a a a a a a a a a a          ， 2 2 3 , , , , ( ) 2 2 2 2 , , 2 2 2 i j k a a a a a a j k a a a       2 1 3 2 2 2 ( ) ( ) 2 a b j k j k a a         同理可得： 2 3 2 ( ) 2 ( ) b i k a b i j a       即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。 所以，体心立方的倒格子是面心立方。 1.5、证明倒格子矢量 1 1 2 2 3 3G hb h b h b   垂直于密勒指数为 1 2 3( )h h h 的晶面系。 证明： 因为 3 31 2 1 3 2 3 , a aa a CA CB h h h h     ， 1 1 2 2 3 3G hb h b h b   利用 2i j ija b   ，容易证明 1 2 3 1 2 3 0 0 h h h h h h G CA G CB     所以，倒格子矢量 1 1 2 2 3 3G hb h b h b   垂直于密勒指数为 1 2 3( )h h h 的晶面系。 1.6、对于简单立方晶格，证明密勒指数为 ( , , )h k l 的晶面系，面间距 d 满足： 2 2 2 2 2( )d a h k l   ， 其中 a为立方边长；并说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理。 解：简单立方晶格： 1 2 3a a a  ， 1 2 3, ,a ai a aj a ak   由倒格子基矢的定义： 2 31 1 2 3 2 a a b a a a      ， 3 12 1 2 3 2 a a b a a a      ， 1 23 1 2 3 2 a a b a a a      4 倒格子基矢： 1 2 3 2 2 2 , ,b i b j b k a a a       倒格子矢量： 1 2 3G hb kb lb   ， 2 2 2 G h i k j l k a a a       晶面族 ( )hkl 的面间距： 2 d G   2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) h k l a a a    2 2 2 2 2( ) a d h k l    面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格点的密度越大，单位表面的能量越小，这样的晶面 越容易解理。 1.9、画出立方晶格（111）面、（100）面、（110）面，并指出（111）面与（100）面、（111）面与（110） 面的交线的晶向。 解： (111) 1、(111)面与(100)面的交线的 AB，AB 平移，A 与 O 点重合，B 点位矢： BR aj ak   ， (111)面与(100)面的交线的晶向 AB aj ak   ，晶向指数[011]。 (111) 2、(111)面与(110)面的交线的 AB，将 AB 平移，A 与原点 O 重合，B 点位矢： BR ai aj   ，(111)面 与(110)面的交线的晶向 AB ai aj   ，晶向指数[110]。 5 第二章 固体结合 2.1、两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数（ 2ln2 ）和库仑相互作用能，设离子的总数为2N 。 ＜解＞ 设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马 德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用 r 表示相邻离子间的距离， 于是有 ( 1 ) 1 1 1 1 2 [ . . . ] 2 3 4j ijr r r r r r        前边的因子 2 是因为存在着两个相等距离 ir的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求 和后要乘 2，马德隆常数为 2 3 4 (1 ) ... 3 4 n x x x x x x       1 1 1 2[1 ...] 2 3 4       2 2n  6 当 X=1 时，有 1 1 1 1 ... 2 2 3 4 n     2.3、若一晶体的相互作用能可以表示为 ( ) m n u r r r      试求：（1）平衡间距 0r ； （2）结合能W （单个原子的）； （3）体弹性模量； （4）若取 02, 10, 3 , 4m n r A W eV    ，计算 及  的值。 解：（1）求平衡间距 r0 由 0 )( 0  rrdr rdu ，有： mnnm nm m n n m r r n r m                11 01 .0 1 0 0     结合能：设想把分散的原子（离子或分子）结合成为晶体，将有一定的能量释放出来，这个能量 称为结合能（用 w 表示） （2）求结合能 w（单个原子的） 题中标明单个原子是为了使问题简化，说明组成晶体的基本单元是单个原子，而非原子团、离子 基团，或其它复杂的基元。 显然结合能就是平衡时，晶体的势能，即 Umin 即： nm rr rUW 00 0 )(   （可代入 r0值，也可不代入） （3）体弹性模量 由体弹性模量公式： 0 2 2 0 2 0 9 r r U V r k          （4）m = 2，n = 10，  Ar 30  ， w = 4eV，求α 、β 8 1 8 1 0 5 2 10                  r ① ) 5 ( 5 4 )( 802 0 10 . 2 0 0 代入    r rrr rU  eV r rUW 4 5 4 )( 2 0 0   ② 将  Ar 30  ， JeV 1910602.11  代入①② 7 2115 238 10459.9 10209.7 mN mN        （1）平衡间距 r0的计算 晶体内能 ( ) ( ) 2 m n N U r r r      平衡条件 0 0 r r dU dr   ， 1 1 0 0 0 m n m n r r        ， 1 0 ( ) n m n r m    （2）单个原子的结合能 0 1 ( ) 2 W u r  ， 0 0( ) ( )m n r r u r r r       ， 1 0 ( ) n m n r m    1 (1 )( ) 2 m n m m n W n m       （3）体弹性模量 0 2 02 ( )V U K V V     晶体的体积 3V NAr ，A 为常数，N 为原胞数目 晶体内能 ( ) ( ) 2 m n N U r r r      U U r V r V        1 1 2 1 ( ) 2 3m n N m n r r NAr       2 2 1 1 2 1 [( ) ] 2 3m n U N r m n V V r r r NAr             0 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 1 [ ] 2 9 m n m n V V U N m n m n V V r r r r             由平衡条件 0 1 1 2 0 0 0 1 ( ) 0 2 3m nV V U N m n V r r NAr           ，得 0 0 m n m n r r    0 2 2 2 2 2 0 0 0 1 [ ] 2 9 m n V V U N m n V V r r         0 2 2 2 0 0 0 1 [ ] 2 9 m n V V U N m n m n V V r r         20 0 0 [ ] 2 9 m n N nm V r r       0 0 0 ( ) 2 m n N U r r      0 2 02 2 0 ( ) 9 V V U mn U V V      8 体弹性模量 0 09 mn K U V  （4）若取 02, 10, 3 , 4m n r A W eV    1 0 ( ) n m n r m    ， 1 (1 )( ) 2 m n m m n W n m       10 0 2 W r  ， 20 10 0 [ 2 ]r W r     -95 101.2 10 eV m    ， 19 29.0 10 eV m    2.6、bcc 和 fcc Ne 的结合能，用林纳德—琼斯(Lennard—Jones)势计算 Ne 在 bcc 和 fcc 结构中的结合能 之比值． ＜解＞ 12 6 12 6 1 ( ) 4 ( ) ( ) , ( ) (4 ) ( ) ( ) 2 n lu r u r N A A r r r r                      2 6 6 612 0 0 6 12 ( ) 1 0 2 2r AAdu r r u N r A A              2 2 0 6 6 2 0 12 12 ( ) 12.25 / 9.11 ( ) /( ) 0.957 ( ) 14.45 /12.13 bcc bcc fcc fcc u r A A u r A A         2.7、对于 2H ，从气体的测量得到 Lennard—Jones 参数为 650 10 , 2.96 .J A    计算 fcc 结构的 2H 的结合能[以 KJ/mol 单位)，每个氢分子可当做球形来处理．结合能的实验值为 0.751kJ／mo1，试与计 算值比较． ＜解＞ 以 2H 为基团，组成 fcc 结构的晶体，如略去动能，分子间按 Lennard—Jones 势相互作用， 则晶体的总相互作用能为： 12 6 12 62 .ij ij i j U N P P R R                         6 1214.45392; 12.13188,ij ij j i P P     16 2350 10 , 2.96 , 6.022 10 / .erg A N mol          12 6 28 16 2.96 2.962 6 022 10 / 50 10 12.13 14.45 2.55 / . 3.16 3.16 U U mol erg KJ mol                         0将R 代入 得到平衡时的晶体总能量为 。 因此，计 9 算得到的 2H 晶体的结合能为 2．55KJ／mol，远大于实验观察值 0.75lKJ／mo1．对于 2H 的晶体， 量子修正是很重要的，我们计算中没有考虑零点能的量子修正，这正是造成理论和实验值之间巨大 差别的原因． 第三章 固格振动与晶体的热学性质 3.1、已知一维单原子链，其中第 j个格波，在第n个格点引起的位移为， sin( _ )nj j j j ja t naq    ， 10 j 为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均能量为，具体计算每个原子的平方平均位 移。 ＜解＞任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即 sin( )n nj j j j j j j a t naq        （1） 2 * 2 * n nj nj nj nj nj j j j j j                        由于 nj nj  数目非常大为数量级，而且取正或取负几率相等，因此上式得第 2 项与第一项相比是一小量， 可以忽略不计。所以 2 2n nj j   由于 nj 是时间 t的周期性函数，其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为 02 2 2 0 0 1 1 sin( ) 2 T j j j j j ja t naq dt a T       （2） 已知较高温度下的每个格波的能量为 KT， nj 的动能时间平均值为 0 0 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 1 1 1 sin( ) 2 2 4 L T Tnj j j nj j j j j j j d w a T dx dt L a t naq dt w La T dt T                        其中 L 是原子链的长度，  使质量密度， 0T 为周期。 所以 2 2 1 1 4 2 nj j jT w La KT  （3） 因此 将此式代入（2）式有 2 2nj j KT PL    所以每个原子的平均位移为 2 2 2 2 1 n nj j j jj j KT KT PL PL          3.2、讨论 N 个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为 a），其 2N 个格波解，当M = m时与一维单原子 链的结果一一对应。 解：质量为M 的原子位于 2n-1， 2n+1， 2n+3 ……；质量为m的原子位于 2n， 2n+2， 2n+4 ……。 牛顿运动方程 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 (2 ) (2 ) n n n n n n n n m M                        N 个原胞，有 2N 个独立的方程 设方程的解 [ (2 ) ] 2 [ (2 1) ] 2 1 i t na q n i t n aq n Ae Be           ，代回方程中得到 11 2 2 (2 ) (2 cos ) 0 (2 cos ) (2 ) 0 m A aq B aq A M B                A、B有非零解， 2 2 2 2 cos 0 2 cos 2 m aq aq M            ，则 1 2 2 2 2 ( ) 4 {1 [1 sin ] } ( ) m M mM aq mM m M        两种不同的格波的色散关系 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 ( ) 4 {1 [1 sin ] } ( ) ( ) 4 {1 [1 sin ] } ( ) m M mM aq mM m M m M mM aq mM m M                 一个 q对应有两支格波：一支声学波和一支光学波.总的格波数目为 2N. 当M m 时 4 cos 2 4 sin 2 aq m aq m         ， 两种色散关系如图所示： 长波极限情况下 0q ，sin( ) 2 2 qa qa  ， (2 )q m    与一维单原子晶格格波的色散关系一致. 3.3、考虑一双子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交错地为  和10 ，两种原子质量相等， 且最近邻原子间距为 2a 。试求在 0,q q a  处的 ( )q ，并粗略画出色散关系曲线。此问题模拟如 2H 这样的双原子分子晶体。 答：（1） 浅色标记的原子位于 2n-1， 2n+1， 2n+3 ……；深色标记原子位于 2n， 2n+2， 2n+4 ……。 第 2n 个原子和第 2n＋1 个原子的运动方程： 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 ( ) ( ) n n n n n n n n m m                                体系 N 个原胞，有 2N 个独立的方程 12 方程的解： 1 [ (2 ) ] 2 2 1 [ (2 1) ] 2 2 1 i t n aq n i t n aq n Ae Be           ，令 2 2 1 1 2 2/ , /m m     ，将解代入上述方程得： 1 1 2 2 2 2 22 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 22 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 i aq i aq i aq i aq A e e B e e A B                       A、B 有非零的解，系数行列式满足： 1 1 2 2 2 2 22 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 22 2 1 2 1 2 ( ), ( ) 0 ( ), ( ) i aq i aq i aq i aq e e e e                      1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 1 2 1 2 1 2( ) ( )( ) 0 i aq i aq i aq i aq e e e e               1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 1 2 1 2 1 2( ) ( )( ) 0 i aq i aq i aq i aq e e e e               因为 1  、 2 10  ，令 2 2 2 2 0 1 2 0 10 , 10 c c m m        得到 2 2 2 4 0 0(11 ) (101 20cos ) 0aq      两种色散关系： 2 20 (11 20cos 101)qa    当 0q  时， 2 20 (11 121)   ， 022 0        当 q a   时， 2 20 (11 81)   ， 0 0 20 2         （2）色散关系图： 3.7、设三维晶格的光学振动在 q=0 附近的长波极限有 20( )q Aq   求证：   1/ 2 0 02 3/ 2 1 ( ) , 4 V f A          ; 0( ) 0,f     . ＜解＞   11 222 2 0 0 0 00 ( ) 0, 0Aq f Aq q A                    时， 依据   3 ( ) 2 , ( ) ( )2 q q V ds q Aq f q          ，并带入上边结果有 13               1/ 2 1/ 2 0 03 3 1/ 2 22 3/ 2 0 1 1 4 2( )2 2 2q V ds V A V f A Aq                      3.8、有 N 个相同原子组成的面积为 S 的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限比热正 比与 2T 。 证明：在 k 到 k dk 间的独立振动模式对应于平面中半径 n 到 n dn 间圆环的面积 2 ndn ，且   2 2 5 3 2 2 2 2 L s ndn kdk kdk d v           即 则     2 3 32 2 0/ /2 2 2 2 20 3 33 2 1 2 1 2 1 m D D B B x B BB B k T k T xD D d s k T s k Tk T k Ts d x dx E E v e v e v e                                   ， 20 , ( )v s E T E T C T T        3时， 3.9、写出量子谐振子系统的自由能，证明在经典极限下，自由能为 0 q B n q B F U k T k T          证明:量子谐振子的自由能为 1 1 2 q B q k T B n q B F U k T e k T                  经典极限意味着（温度较高） BT gk  应用 21 ...xe x x    所以 2 1 ... q B q qk T B B e k T k T             因此 0 1 1 1 2 q q q B n B n q q B B F U k T U k T k T k T                        其中 0 1 2 q q U U   3.10、设晶体中每个振子的零点振动能为 1 2 ，使用德拜模型求晶体的零点振动能。 证明:根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故 T=0K 时振动能 0E 就是各振动模零点能 之和。      0 0 0 0 1 2 m E E g d E        将 和   2 2 3 3 2 s V g v     代入积分有 14 4 0 2 3 3 9 16 8 m m s V E N v      ，由于 0 9 8 m B D B Dk E Nk   得 一股晶体德拜温度为~ 210 K，可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数百度所需热能相比拟． 3.11、一维复式格子 24 15 1.67 10 , 4, 1.5 10 / M m g N m m       4( 1.51 10 / ),dyn cm即 求（1），光 学波 0 0 max min,  ，声学波 max A 。 （2）相应声子能量是多少电子伏。 （3）在 300k 时的平均声子数。 （4）与 0 max 相对应的电磁波波长在什么波段。 ＜解＞（1）， 4 13 1 max 24 2 2 1.5 10 / 3.00 10 , 4 5 1.67 10 A dyn cm s M                4 24 13 1 max 24 24 2 2 1.5 10 4 5 5 1.67 10 / 6.70 10 4 5 1.67 10 5 1.67 10 o M m dyn cm s Mm                      4 1 3 1 m a x 24 2 2 1.5 10 / 5.99 10 5 1.67 10 A dyn cm s m            （2） 16 13 1 2 max 16 13 1 2 max 16 13 1 2 min 6.58 10 5.99 10 1.97 10 6.58 10 6.70 10 4.41 10 6.58 10 3.00 10 3.95 10 A o o s eV s eV s eV                               （3） max max max max/ / 1 1 0.873, 0.221 1 1 A O B B A O k T k T n n e e         min min / 1 0.276 1 O B O k T n e     （4） 2 28.1 c m       15 第四章 能带理论 4.1、根据 k a    状态简并微扰结果，求出与E 及E 相应的波函数  及  ?，并说明它们的特性．说 明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布 2  说明能隙的来源(假设 nV = * nV )。 ＜解＞令 k a    ， k a     ，简并微扰波函数为 0 0( ) ( )k kA x B x    0 *( ) 0nE k E A V B      0 0nV A E k E B     取E E 带入上式，其中 0 ( ) nE E k V   V(x)<0, 0nV  ,从上式得到 B= -A,于是 0 0( ) ( ) n n i x i x a a k k A A x x e e L                   = 2 sin A n x aL  取E E ， 0 ( ) nE E k V   ,n nV A V B A B  得到 0 0( ) ( ) n n i x i x a a k k A A x x e e L                   = 2 cos A n x aL  由教材可知，  及  均为驻波． 在驻波状态下，电子的平均速度 ( )k 为零．产生驻波因为电 子波矢 n k a   时，电子波的波长 2 2a k n     ，恰好满足布拉格发射条件，这时电子波发生全反射， 并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同，所以对应不同代入能量。 16 4.2、写出一维近自由电子近似，第 n 个能带(n=1，2，3)中，简约波数 2 k a   的 0 级波函数。 ＜解＞ 2 2 2 1 ( ) * 2 4 1 1 1 1 ( ) i mx i x i mx i m x ikx ikx a a a a k x e e e e e e L L L L            第一能带： * 2 1 0, 0, ( ) 2 i x a km m x e a L      第二能带： 2 3 * 2 2 2 1 , , 1, ( ) x i x a a kb b b b m m x e a a L              i i 2a则 即 （e =e ） 第三能带： 2 5 * 2 2 2 2 1 1 , , 1, ( ) i x i x i x a a a kc c m m x e e e a a L L           即 4.3、电子在周期场中的势能． 2 2 21 ( ) , 2 m b x n a     n a b x n a b   当 ( )V x  0 ， x n a b  当(n-1)a+b 其中 d＝4b，是常数．试画出此势能曲线，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带度． ＜解＞(I)题设势能曲线如下图所示． (2)势能的平均值：由图可见， ( )V x 是个以a为周期的周期函数，所以 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) a a b L b b V x V x V x dx V x dx L a a        17 题设 4a b ，故积分上限应为 3a b b  ，但由于在 ,3b b 区间内 ( ) 0V x  ，故只需在 ,b b 区间 内积分．这时， 0n  ，于是 2 2 2 2 2 3 21 1 1( ) ( ) 2 2 3 6 b b b b b b b b m m V V x dx b x dx b x x m b a a a                    。 （3），势能在[-2b,2b]区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数 2 0 0 0 2 1 ( ) cos , ( )cos ( )cos 2 2 2 2 b b m m m m m m V x V V x V V x xdx V x xdx b b b b b            1 1 2 2 2 1 0 2 , 1 ( )cos 2 b g g m x E V m E b x dx b b      第一个禁带宽度 以 代入上式, 利用积分公式  2 2 3 2 cos sin 2cos sin u u mudu mu mu mu mu m m      得 2 2 3 16m b    1g E 第二个禁带宽度 2 2 2 , 2gE V m 以 代入上式,代入上式 2 2 2 2 0 ( )cos b g m x E b x dx b b     再次利用积分公式有 2 2 2 2m b    2g E 4.4、 解：我们求解面心立方，同学们做体心立方。 （1）如只计及最近邻的相互作用，按照紧束缚近似的结果，晶体中S态电子的能量可表示成： ( ) 0( ) ( ) sik Rs s s Rs E k J J R e        近邻 在面心立方中，有12个最近邻，若取 0mR  ，则这12个最近邻的坐标是： ① (1,1,0), (1,1,0), (1,1,0), (1,1,0) 2 2 2 2 a a a a ② (0,1,1), (0,1,1), (0,1,1), (0,1,1) 2 2 2 2 a a a a ③ (1,0,1) (1,0,1), (1,0,1), (1,0,1) 2 2 2 2 a a a a 由于S态波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同，因此 ( )SJ R 有相同的值，简单表示为 J1= ( )SJ R 。又由于s态波函数为偶宇称，即 ( ) ( )s sr r   ∴在近邻重叠积分 *( ) ( ) ( ) ( ) ( )s i s s iJ R R U V R d           中，波函数的贡献为正 ∴J1＞0。 18 于是，把近邻格矢 SR 代入 ( ) s SE R 表达式得到： 0 1( ) sik Rs S Rs E k J J e        近邻 = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 1 x y x y x y x y a a a a i k k i k k i k k i k k S J J e e e e                 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 y z y z y z y z a a a a i k k i k k i k k i k k e e e e               + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x z x z x z x z a a a a i k k i k k i k k i k k e e e e                 = 0 12 cos ( ) cos ( ) cos ( ) cos ( ) 2 2 2 2 S x y x y y z y z a a a a J J k k k k k k k k                 cos ( ) cos( ) 2 z x z x a k k k k          cos( ) cos( ) 2cos cos          = 0 14 cos cos cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 s x y y z z x a a a a a a J J k k k k k k          （2）对于体心立方：有8个最近邻，这8个最近邻的坐标是： (1,1,1), (1,1,1), (1,1,1), (1,1,1) 2 2 2 2 a a a a (1, 1, 1), (1, 1,1,), (1,1, 1), (1, 1, 1) 2 2 2 2 a a a a 0 1( ) 8 (cos cos cos ) 2 2 2 s s x y z a a a E k J J k k k   4.7、有一一维单原子链，间距为 a，总长度为 Na。求（1）用紧束缚近似求出原子 s 态能级对应的能带 E(k)函数。（2）求出其能态密度函数的表达式。（3）如果每个原子 s 态只有一个电子，求等于 T=0K 的 费米能级 0FE 及 0 FE 处的能态密度。 ＜解＞ 0 1 0 1 0 1(1), ( ) ( ) 2 cos 2 cos ika ika s sE k J J e e J J ka E J ka           0( ) ( ) sik R sE k E J J p e          (2) , 1 1 2 1 ( ) 2 2 2 2 sin sin L dk Na N N E dE J a ka J ka         19 (3), 0 0 0 0 0 2 2 ( ) 2 2 2 2 2 Fk F F F NakNa N k dk k k a             0 0 0 1 1 1 ( ) 2 cos , ( ) 2 sin 2 F F s F N N E E k E J a E N E a J J a a            4.8、证明一个自由简单晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区一边中点大 2 倍．(b)对 于一个简单立力晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区面心上大多少？(c)(b)的结果对 于二价金属的电导率可能会产生什么影响 7 ＜解＞（a）二维简单正方晶格的晶格常数为 a，倒格子晶格基矢 2 2ˆ ˆ,A i B j a a     第一布里渊区如图所示   2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ, . , 2 B x y z i B K i j a a a K K K m                      A区边中点的波矢为K 角顶 点的波矢为 自由电子能量 2 22 2 2 2 , 2 2 2 A xK m m a m a                  A点能量   2 2 22 2 2 2 2 2 , 2 2 2 B x yK K m m a a m a                                       B点能量 所以 / 2B A   b)简单立方晶格的晶格常数为a，倒格子基矢为 2 2 2 ˆˆ ˆ, , ,A i B j C k a a a                       第一布里渊区如图7—2所示． a  a   0 a   a   20 22 ; 2 A m a          A点能量   2 2 2 22 2 2 2 2 2 3 , 2 2 2 B x y zK K K m m a a a m a                                                B点能量 所以 / 3B A   (c)如果二价金属具有简单立方品格结构，布里渊区如图 7—2 所示．根据自由