发电机分配问题

刘华兵 张文奇 许立雄 电力生产问 摘要 本文是关于为满足每日电力需求量而探讨如何分配不同类型发电机的问题，其中在满足电力供求的同时也要使得费用最小。这是一个最优化的数学问题，我们将建立此数学模型，并用Lingo11.0软件进行编程求解，计算出每一天的各时间段中的发电机的合理分配。 对于问题一：这是一个关于怎样合理使用发电机才能使成本最低问题，可以建立以成本为目标函数，求其最小值，以各个时段的电量需求，各种类型发电机在不同时段的发电机数量小于给出数量和功率要求建立单目标最优化模型的约束条件，并编程求解得出最低的费用。 对于问题二：按照同样的方法，这里只是改变了第一个问题中的电量需求能力的条件，在其它变量不变的情况下，只是各种类型的发电机发电工作的实际功率变为了最大功率的80%，然后建立以成本为目标函数的单目标最优化模型，最后编程求出最小费用。 关键词：最优化 合理分配 最小成本 一．问题的重述 为满足每日电力需求（单位为兆瓦（MW）），可以选用四种不同类型的发电机。每日电力需求如下表1。 表1：每日用电需求（兆瓦） 时段（0-24） 0-6 6-9 9-12 12-14 14-18 18-22 22-24 需求 12000 32000 25000 36000 25000 30000 18000 每种发电机都有一个最大发电能力，当接入电网时，其输出功率不应低于某一最小输出功率。所有发电机都存在一个启动成本，以及工作于最小功率状态时的固定的每小时成本，并且如果功率高于最小功率，则超出部分的功率每兆瓦每小时还存在一个成本，即边际成本。这些数据均列于表2中。 表2：发电机情况 可用数量 最小输出功率（MW） 最大输出功率（MW） 固定成本（元/小时） 每兆瓦边际成本（元/小时） 启动成本 型号1 10 750 1750 2250 2.7 5000 型号2 4 1000 1500 1800 2.2 1600 型号3 8 1200 2000 3750 1.8 2400 型号4 3 1800 3500 4800 3.8 1200 只有在每个时段开始时才允许启动或关闭发电机。与启动发电机不同，关闭发电机不需要付出任何代价。 问题（1） 在每个时段应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，最小总成本为多少？ 问题（2） 如果在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升。那么每个时段又应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，此时最小总成本又为多少？ 二．模型假设 1．假设发电机的工作的过程当中每时段功率是稳定不变的； 2．假设发电机最大和最小功率保持不变； 3．假设在各个时段发电机的启动和关闭时间是忽略不计的； 4．假设在使用过程当中不考虑发电机自身的消耗； 5．假设题干中所给出的电量需求是十分准确的； 6．假设没时间段发电机工作功率是独立的。 三．符号说明 不同的时间段（ ） 这四种类型的发电机 第i时间段第j型号发电机工作时实际功率 在 时间段使用第j种类型的数量 每台 型号的的固定成本 每台 型号的的边际成本 每台 型号的的启动成本 总的固定成本 第 阶段的时间 第 台发电机的最小功率 第 台发电机的最大功率 第 阶段所需的用电量 总的边际成本 总的启动成本 W 使用发电机的总费用 四．问题分析 此题研究的每天在不同的时间段如何合理分配各种类型的发电机，使每日的成本最低的数学模型。本题是以每天的成本为目标函数的单目标最优模型，应该建立以成本为目标函数，求其最小值，即最优解的情况，这样我们就能得到最优解，能够合理的安排发电机。 问题一：每天的成本是由固定成本，边际成本和启动成本三部分组成，我们可以对这三部分别求解。在确定了目标函数后，应以发电机数量，发电机工作时功率要求等作为约束条件，建立数学模型，利用Lingo进行求解，得到最优情况。 问题二：这里的目标函数同问题一相同，建立单目标最优模型。但是要求在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，这就使得在第一问要求的约束条件下，同时把发电机工作时的实际功率的上限变成最大功率的80%，在进行建模，使用lingo求解。 5.模型一的建立与求解 5.1.模型一的准备 固定成本： 边际成本： ( ) 启动成本： （说明：只有在i+1阶段中的j种类型的数量n比i阶段中数量n大时才有启动成本,否则 ） 5.2.模型的建立 目标函数： W= W= 约束条件： 5.3.模型的求解和分析： 通过lingo编程（见附表一）得到结果如下： 在不同时间段对各类型发电机所需求的数量，功率如下表所示： 0～6 6～9 9～12 12～14 14～18 18～22 22～24 机型 数量 输出功率 数量 输出功率 数量 输出功率 数量 输出功率 数量 输出功率 数量 输出功率 数量 输出功率 1 3 800 4 1600 4 750 5 1720 3 1067 3 1533 3 800 2 4 1500 4 1500 4 1500 4 1500 4 1500 4 1500 4 1500 3 0 1999 8 2000 8 2000 8 2000 7 2000 7 2000 3 2000 4 2 1800 2 1800 0 1803 3 1800 1 1800 3 1800 2 1800 结果分析： 由上表结果可知2机型的发电机在整个时间段里数量是不变的，并且功率也没有改变。其余三种类型的发电机数量和功率都发生了改变，在工作时并不是稳定的。根据编程结果可知目标函数 的最小值为： 元，即：在按上表那样在不同时间段对发电机进行合理安排，会使得成本最低为：1455850元。 6.模型二的建立与求解 6.1.模型二的准备： 固定成本： 边际成本： ( ) 启动成本： （说明：只有在i+1阶段中的j种类型的数量n比i阶段中数量n大时才有启动成本,否则 ） 6.2.模型的建立： 目标函数： 约束条件： 6.3.模型的求解和结果分析： 通过lingo编程（见附表二）得到结果如下： 在不同时间段对各类型发电机所需求的数量如下表所示： 0～6 6～9 9～12 12～14 14～18 18～22 22～24 机型 数量 输出功率 数量 输出功率 数量 输出功率 数量 输出功率 数量 输出功率 数量 输出功率 数量 输出功率 1 9 800 9 1356 9 756 9 1400 8 756 9 1311 9 889 2 4 1200 4 1200 4 1200 4 1200 4 1200 4 1200 4 1200 3 0 1204 6 1600 5 1600 8 1600 5 1600 5 1600 1 1600 4 0 1803 3 1800 3 1800 3 1933 3 1800 3 1800 2 1800 结果分析： 由上表可知，第二种类型发电机的数量和功率是稳定不变的，说明在工作的过程当中是十分稳定的。第一种类型发电机在数量上有微小的变化，发电功率变化也不是太大，工作较稳定。第三和第四种类型的发电机变化较大，表明工作时不是很稳定。通过计算可得出目标函数 元，即如果按表上合理的安排各种类型的发电机，可得到最小成本为：1531480 7.模型的评价，改进和推广 7.1.模型的评价： 优点： （1）.又题给的条件建立了较为简洁的单目标最优化模型，并得到最小成本； （2）.充分考虑第 和第 阶段的发电机工作数量比较，使第 段重新开启的发电机数量减小，从而降低成本。 缺点： （1）.建模的条件全是由题干中所给出的，没有结合实际的条件进行分析； （2）.数据不全使得精度不高。 7.2模型的改进： （1）.查询更多的数据，以使得统计结果更正确，也可使计算机模拟更少的数据或不模拟以减少不确定性。 （2）.应该考虑对结果进行修正，使之更为精确。 7.3.模型的推广： 该模型可供一般的单目标线型最优模型具有普遍的使用，例如：公司的投资问题，工作的分配问题等。 8.附录 附表一：（模型一的程序） model: sets: Time_slot/1..7/:t,r; Generator_type/1..4/:x,y,z,minp,maxp; Link(Time_slot,Generator_type):n,p; endsets data: t=6,3,3,2,4,4,2; r=12000,32000,25000,36000,25000,30000,18000; minp=750,1000,1200,1800; maxp=1750,1500,2000,3500; x=2250,1800,3750,4800; y=2.7,2.2,1.8,3.8; z=5000,1600,2400,1200; enddata !Objective function; min=@sum(Link(i,j):n(i,j)*x(j)*t(i)+n(i,j)*(p(i,j)-minp(j))*t(i)*y(j)+@if(n(@if(i #eq# 7,1,i+1),j) #gt# n(i,j), n(@if(i #eq# 7,1,i+1),j)-n(i,j),0)*z(j)); !constraints; @sum(Link(i,j):n(i,j)*p(i,j)*t(i))>=178000; @for(Time_slot(i):@sum(Generator_type(j):n(i,j)*p(i,j))>=r(i);); @for(Time_slot(i):@bnd(0,n(i,1),10);); @for(Time_slot(i):@bnd(0,n(i,2),4);); @for(Time_slot(i):@bnd(0,n(i,3),8);); @for(Time_slot(i):@bnd(0,n(i,4),3);); @for(Link(i,j):@bnd(minp(j),p(i,j),maxp(j));); @for(Link(i,j):@gin(n(i,j));); end 附表二：（模型二的程序） Model: sets: Time_slot/1..7/:t,r; Generator_type/1..4/:x,y,z,minp,maxp; Link(Time_slot,Generator_type):n,p; endsets data: t=6,3,3,2,4,4,2; r=12000,32000,25000,36000,25000,30000,18000; minp=750,1000,1200,1800; maxp=1750,1500,2000,3500; x=2250,1800,3750,4800; y=2.7,2.2,1.8,3.8; z=5000,1600,2400,1200; enddata !Objective function; min=@sum(Link(i,j):n(i,j)*x(j)*t(i)+n(i,j)*(p(i,j)-minp(j))*t(i)*y(j)+@if(n(@if(i #eq# 7,1,i+1),j) #gt# n(i,j), n(@if(i #eq# 7,1,i+1),j)-n(i,j),0)*z(j)); !constraints; @sum(Link(i,j):n(i,j)*p(i,j)*t(i))>=178000; @for(Time_slot(i):@sum(Generator_type(j):n(i,j)*p(i,j))>=r(i);); @for(Time_slot(i):@bnd(0,n(i,1),10);); @for(Time_slot(i):@bnd(0,n(i,2),4);); @for(Time_slot(i):@bnd(0,n(i,3),8);); @for(Time_slot(i):@bnd(0,n(i,4),3);); @for(Link(i,j):@bnd(minp(j),p(i,j),maxp(j)*0.8);); @for(Link(i,j):@gin(n(i,j));); end