三角函数解题技巧和公式(已整理)技巧归纳

数学三角函数 A thesis submitted to XXX in partial fulfillment of the requirement for the degree of Master of Engineering 浅论关于三角函数的几种解题技巧 本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下： 一、关于 的关系的推广应用： 1、由于 故知道 ，必可推出 ，例如： 例1 已知 。 分析：由于 其中， 已知，只要求出 即可，此题是典型的知sin -cos ，求sin cos 的题型。 解：∵ 故： 2、关于tg +ctg 与sin ±cos ，sin cos 的关系应用： 由于tg +ctg = 故：tg +ctg ， ，sin cos 三者中知其一可推出其余式子的值。 例2 若sin +cos =m2，且tg +ctg =n，则m2 n的关系为（ ）。 A．m2=n B．m2= C． D． 分析：观察sin +cos 与sin cos 的关系： sin cos = 而： 故： ，选B。 例3 已知：tg +ctg =4，则sin2 的值为（ ）。 A． B． C． D． 分析：tg +ctg = 故： 。 答案选A。 例4 已知：tg +ctg =2，求 分析：由上面例子已知，只要 能化出含sin ±cos 或sin cos 的式子，则即可根据已知tg +ctg 进行计算。由于tg +ctg = ，此题只要将 化成含sin cos 的式子即可： 解： = +2 sin2 cos2 -2 sin2 cos2 =（sin2 +cos2 ）- 2 sin2 cos2 =1-2 (sin cos )2 =1- = = 通过以上例子，可以得出以下结论：由于 ，sin cos 及tg +ctg 三者之间可以互化，知其一则必可知其余二。这种性质适合于隐含此三项式子的三角式的计算。但有一点要注意的；如果通过已知sin cos ，求含 的式子，必须讨论其象限才能得出其结果的正、负号。这是由于（ ）2=1±2sin cos ，要进行开方运算才能求出 二、关于“托底”方法的应用： 在三角函数的化简计算或证明题中，往往需要把式子添加分母，这常用在需把含tg （或ctg ）与含sin （或cos ）的式子的互化中，本文把这种添配分母的方法叫做“托底”法。方法如下： 例5 已知：tg =3，求 的值。 分析：由于 ，带有分母cos ，因此，可把原式分子、分母各项除以cos ，“造出”tg ，即托出底：cos ； 解：由于tg =3 故，原式= 例6 已知：ctg = -3，求sin cos -cos2 =? 分析：由于 ，故必将式子化成含有 的形式，而此题与例4有所不同，式子本身没有分母，为了使原式先出现分母，利用公式： 及托底法托出其分母，然后再分子、分母分别除以sin ，造出ctg ： 解： 例7 （95年全国成人高考理、工科数学试卷） 设 ， 求： 的值 分析：此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子，故要用“托底法”，由于 ，故 ，在等式两边同除以 ，托出分母 为底，得： 解：由已知等式两边同除以 得： “托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子的互化的计算。由于 ， ，即正切、余切与正弦、余弦间是比值关系，故它们间的互化需“托底”，通过保持式子数值不变的情况下添加分母的方法，使它们之间可以互相转化，达到根据已知求值的目的。而添加分母的方法主要有两种：一种利用 ，把 作为分母，并不改变原式的值，另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又或者它们的积，产生分母。 三、关于形如： 的式子，在解决三角函数的极值问题时的应用： 可以从公式 中得到启示：式子 与上述公式有点相似，如果把a，b部分变成含sinA，cosA的式子，则形如 的式子都可以变成含 的式子，由于-1≤ ≤1， 所以，可考虑用其进行求极值问题的处理，但要注意一点：不能直接把a当成sinA，b当成cosA，如式子： 中，不能设sinA=3，cosA=4，考虑：-1≤sinA≤1，-1≤cosA≤1，可以如下处理式子： 由于 。 故可设： ，则 ，即： ∴ 无论 取何值，-1≤sin(A±x)≤1， ≤ ≤ 即： ≤ ≤ 下面观察此式在解决实际极值问题时的应用： 例1（98年全国成人高考数学考试卷） 求：函数 的最大值为（AAAA ） A． B． C． D． 分析： ，再想办法把 变成含 的式子： 于是： 由于这里： ∴ 设： ∴ 无论A-2x取何值，都有-1≤sin(A-2x)≤1，故 ≤ ≤ ∴ 的最大值为 ，即答案选A。 例2 （96年全国成人高考理工科数学试卷） 在△ABC中，已知：AB=2，BC=1，CA= ，分别在边AB、BC、CA上任取点D、E、F，使△DEF为正三角形，记∠FEC=∠α，问：sinα取何值时，△EFD的边长最短？并求此最短边长。 分析：首先，由于 ，可知△ABC为Rt△，其中AB为斜边，所对角∠C为直角，又由于 ，则∠B= 90°—∠A=60°，由于本题要计算△DEF的最短边长，故必要设正△DEF的边长为 ，且要列出有关 为未知数的方程，对 进行求解。观察△BDE，已知：∠B=60°，DE= ，再想办法找出另两个量，即可根据正弦定理列出等式，从而产生关于 的方程。在图中，由于EC= ·cosα，则BE=BC-EC=1- ·cosα。 而∠B+∠BDE+∠1=180° ∠α+∠DEF+∠1=180° ∠BDE=∠α ∠B=60°，∠DEF=60° ∴在△BDE中，根据正弦定理： 在这里，要使 有最小值，必须分母： 有最大值，观察： ∴ 设： ，则 故： ∴ 的最大值为 。 即： 的最小值为： 而 取最大值为1时， ∴ 即： 时，△DEF的边长最短，最短边长为 。 从以上例子可知，形如 适合于计算三角形函数的极值问题。计算极值时与式子的加、减是无关，与 的最值有关；其中最大值为 ，最小值为 。在计算三角函数的极值应用题时，只要找出形如 的关系式，即能根据题意，求出相关的极值。 三角函数知识点解题方法 一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式 　　一步到位转换到区间（-90º，90º）的公式. 　　1.sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z)；2. cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z)； 　　3. tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z)；4. cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z). 　　二、见“sinα±cosα”问题，运用三角“八卦图” 1.sinα+cosα>0(或<0)óα的终边在直线y+x=0的上方（或下方）; 　　2. sinα-cosα>0(或<0)óα的终边在直线y-x=0的上方（或下方）; 　　3.|sinα|>|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内; 　　4.|sinα|<|cosα|óα的终边在Ⅰ、Ⅳ区域内. 　　三、见“知1求5”问题，造Rt△，用勾股定理，熟记常用勾股数（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），仍然注意“符号看象限”。 　　四、见“切割”问题，转换成“弦”的问题。 　　五、“见齐思弦”=>“化弦为一”：已知tanα,求sinα与cosα的齐次式，有些整式情形还可以视其分母为1，转化为sin2α+cos2α. 　　六、见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式： 　　1.sin(α+β)sin(α-β)= sin2α-sin2β;2. cos(α+β)cos(α-β)= cos2α-sin2β. 　　七、见“sinα±cosα与sinαcosα”问题，起用平方法则： 　　(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故 　　1.若sinα+cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=t2-1=sin2α; 　　2.若sinα-cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=1-t2=sin2α. 　　八、见“tanα+tanβ与tanαtanβ”问题，启用变形公式: 　　tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考：tanα-tanβ=？？？ 　　九、见三角函数“对称”问题，启用图象特征代数关系：(A≠0) 　　1.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于过最值点且平行于y轴的直线分别成轴对称； 　　2.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于其中间零点分别成中心对称； 　　3.同样，利用图象也可以得到函数y=Atan(wx+φ)和函数y=Acot(wx+φ)的对称性质。 　　十、见“求最值、值域”问题，启用有界性，或者辅助角公式： 　　1.|sinx|≤1,|cosx|≤1;2.(asinx+bcosx)2=(a2+b2)sin2(x+φ)≤(a2+b2); 　　3.asinx+bcosx=c有解的充要条件是a2+b2≥c2. 　　十一、见“高次”，用降幂，见“复角”，用转化. 　　1.cos2x=1-2sin2x=2cos2x-1. 　　2.2x=(x+y)+(x-y);2y=(x+y)-(x-y);x-w=(x+y)-(y+w)等 角函数公式 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA  cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2] cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2 sin2A=2sinA*cosA 半角公式 sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) ) 2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB 积化和差公式 sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)] sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)] 万能公式 sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2)) cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2)) tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2)) 倒数关系: 商的关系： 平方关系： tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α