不等式a2+b22a+b2的加强

64 中学数学教学 2010年第5期 不等式学≥『半12胁强 江苏省沭阳县梦溪中学周兰林 (邮编：223600) 生丢堡≥f生喾)2(口，b∈R，当且仅当乜： b时等号成立)是中学数学常用的不等式之一，本 文将给出它的一个加强不等式． 先看下面的例题： 例 如图所示，在一根长lOcm，外圆周长 6cm的圆柱体外表面，用一根细铁丝缠绕，组成 10个螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一 条母线上，则铁丝长度的最小值为 ． 解析 若均匀缠绕，则将圆柱侧面展开10 次，铁丝相当于是一个长60cm，宽10cm的长方 形的对角线(如图1)，AB长即为铁丝长，AB一 10瓜m． 如果不均匀缠绕，则将圆柱侧面展开10次， 铁丝不再是该长方形的对角线，而是一条折线 (如图2)，显然，此时铁丝长大于AB长．故 为10瓜m． 图1 图2 设不均匀缠绕时，母线与铁丝相邻交点的距 离依次为b。，b：，⋯，b。。，则利用线段公理，上述关 系可写成： 、厢r干可+、厢丁干面+⋯+~／酽1习石≥ ~／602+102(其中bl+b2+⋯+blo=10)， ．．． 熹(√酽丽+~／酽疆+⋯+ 』U ~／62+620)≥~／62+12． 因此，可以给出下面引理： 引理 设正实数口，b。，b2，⋯，b。，(咒∈N。)， 则下述不等式成立： 土(~／矛研+√孑丽+⋯+v／孑可) ” ≥√n2+[丢(6·+6z+⋯+玩)]2， 当且仅当b。=6。=⋯=b。时等号成立． 将问题看成“在一根长为b。+b。+⋯+阮，外 圆周长为a的圆柱体外表面。用一根细铁丝缠绕， 组成行个螺旋”的问题．则利用上面例题的解题思 想，很容易给出定理的证明． 下面给出不等式生{堡≥(生笋)2的加强． 定理 设n，b∈R+。f∈R，则半≥(丛里严)2_cz≥ (生笋)。当且仅当口一6时等号成立． 证明 由不等式￡专堡≥(生笋)2可得 a2+，+炉+，一(~／孑了7)z+(、历可)z———丁一一—————虿———一 当且仅当口=b时等号成立．．·．半≥(丛堡字)2叫当 且仅当a—b时等号成立) ① 由引理知，当n一2时，有 ÷(“霄+以_虿)≥√c2+[专(口+6)]2 当且仅当n2b时等号成立． ．·．(丛譬严)乙，≥(半)2一＼———■r—一J‘夕＼一2／ (当目．仅当口=b时等号成立) ⑦ 、曝可f ≥(生笋)2(当且仅当口=6时等号成立)． (收稿日期：2010—08—11) 丑犍．．．．．．．．．．．e吾 d 0 万方数据