组合数学习题答案

第二章 母函数与递推关系 第一章章答案 第二章答案章答案 第三章答案 第四章答案 第一章答案 1．(a) 45 ( {1,6},{2,7},{3,8},…,{45,50} ) (b) 455+(4+3+2+1) = 235 ( 126, 237, 348, …,454650, 464750, 474850, 4950 ) 2．(a) 5!8! (b) 7! P(8,5) (c) 2 P(5,3) 8! 3. (a) n!P(n+1, m) (b) n!(m+1)! (c) 2!((m+n-2)+1)! 4. 2 P(24,5) 20! 5. 25P(8,2)+34P(8,2) 6. (n+1)!-1 7. 用数学归纳法易证。 8. 4131 9. 设 n=p1n1p2 n2…pk nk, 则n2的除数个数为　( 2p1+1) (2p2+1) …(2pk+1). 10．1）用数学归纳法可证n能示成题中表达式的形式； 2）如果某n可以表示成题中表达式的形式，则等式两端除以2取余数，可以确定a1；再对等式两端的商除以3取余数，又可得a2；对等式两端的商除以4取余数，又可得a3；…；这说明表达式是唯一的。 11．易用C(m,n)=m!/(n!(m-n)!)验证等式成立。 组合意义： 右：从n个不同元素中任取r+1个出来，再从这r+1个中取一个的全体组合的个数； 左：上述组合中，先从n个不同元素中任取1个出来，每一个相同的组合要生复 C(n-1,r) 次。 12．考虑 令x=1, 即知 13.​ 设此n个不同的数由小到大排列后为a1, a2, …, an 。当第二组最大数为ak时，第二组共有2k-1种不同的可能，第一组有2n-k-1种不同的可能。故符合要求的不同分组共有 种。 （另解：设两组共含k个数(k=2,3,…,n)，则分组数为 2knC(n,k) (k-1) = n 2n-1- 2n +1 . ） 14.​ 322. 15.​ 用k表示数的位数，用i表示k位数中零的个数，则0出现的次数为 16.​ C(n-1, r-1) (每盒中先放一个，再r中取n-r(可重复)) 17.​ 易用P(m,n)=m!/(m-n)! 验证等式成立。 18.​ 5! C(8-3+1,3) （先将球作全排列，再作8中选3的不相邻组合） 19.​ 在n+m位中选出n位不相邻的位放入1，其余位放入0。故符号串个数为 20.​ 代表团中含乙单位男同志的个数只可能是1,2,3, 故组团的总数为 C(15,1)C(10,2)C(10,4)+C(15,2)C(10,1)C(10,3)4+C(15,3)C(10,2)C(4,2) 21.​ 设 ，则 22. (a) C(3+2,3)C(5+3,5) (b) C(3+2,3)C(4+3,4) (c) C(3+2,3)C(3+1,3)C(2+4,2) (d) C(8+5,5)- C(3+2,3)C(4+3,4) 23．Z取k+1时，x,y共有k2种取法，故第一个式子成立, k=1,2,…,n。 另外，(x,y,z)中x与y相同的取法有 种，x,y,z互不相同的取法有 种，故第二个式子成立。 24．(a)只需确定长方形的左下角和右上角坐标即可。 在0-9中任选两不同数，小的作为左下角x坐标，大的作为右上角x坐标，共有 种选法；在0-5中任选两不同数，小的作为左下角y坐标，大的作为右上角y坐标，共有 种选法。故共有 个长方形。 (b)只需确定正方形的边长和左下角坐标即可。 边长k的取值范围为1…5。边长为k时，正方形左下角x坐标可取0…9-k，y坐标可取0…5-k，共有(10-k)(6-k)种选法。故正方形的个数为 25．(a) (b) 26．S中被5整除的数有200个，不能被整除的有800个。 分两种情况：(1)a,b中一个被5整除，另一个不能被5整除，共有200800种取法；(2)a,b均能被5整除，共有200200种取法。所以，符合要求的数偶个数为 200800+200200=2001000=200000. 27. (a) 5!6! (b) 5!6! (c) P(6,2) 8! 28．假设每张桌坐n人, 则方案数为 29. P(n,r)/r. 31．因为 ，根据组合意义它是一个整数。 32．根据要求，x,y的排列必须是xyxyx.将其作为一个整体与a,b,c,d,e,f一起作排列，共有符合要求的排列7！种。 33. 每个盒中先放入k个球，然后作允许有重复的组合。共有C(n+(r-nk)-1, r-nk)种方案。 34．27！ 35．由于任意四个不同顶点恰好对应一个对角线的交点，故交点共有 个。 36．若m= n2，设n的素因数分解为n=p1n1p2 n2…pk nk, 则m的除数个数为　( 2p1+1) (2p2+1) …(2pk+1), 这是一个奇数。反之，若m的除数个数是奇数，则它的素因数分解必为m=q12m1q2 2m2…qk 2mk，从而m=n2，其中n= q1m1q2 m2…qk mk。 37. 右为原点到(m, n+r+1-m)的路径数，左边分别为原点分别经线段AiBi的路径数之和，其中点Ai的坐标为(i, n-m),点Bi的坐标为(i, n-m+1), i =0,1,2,….,m. 38: 可看成“从a1,a2,…,an+1中选r+1个不同元素作为一组，共有多少种选法”的问题。 左端： C(n, r): 此组含an+1，还要在a1,a2,…,an中选r个; C(n-1, r): 此组不含an+1，但含an，还要在a1,a2,…,an-1中选r-1个; C(n-2, r): 此组不含an+1,an，但含an－1，还要在a1,a2,…,an-2中选r-2个; ……………. 39．考虑以下组合问题：用红、蓝、黄三种颜色给m个不同的球上色，要求涂黄色球为m-n个，其余的球可随意涂红蓝色。 从中随意选定n个球用于涂红色或蓝色，其余球涂黄色，因此方案总数为 。 另一方面，对于任意k(0kn)，由于恰好有k个球涂红色且符合要求的方案有 个，故全部方案按红色球个数分组后有 40． 43．易证当k+1 n/2时 ，利用 知k n/2时 。 44. (a) 编号1,2,…,n 的球每种两个，全部排列的个数； 编号1,2,…,n 的球每种三个，全部排列的个数； (b) 编号1,2,…,n 的球每种n个，将此n2个球全部放入n个无区别的盒中，要求每盒n个球，全部放法的方案数。 45. (a) C(n, n)+C(n, n-1)+…+C(n, 0) = 2n . (b) C(2n+1, 0)+C(2n+1, 1)+C(2n+1, n) = 22n +1/2 = 22n . 46．(a) 设出现偶数次0的长为n的字符串个数为an, 则考虑末位为非0和末位为0两种情况，有递推式 an = 2an-1+(3n-1-an-1) = an-1+3n-1 =…… =3n-1+3n-1+…+3n-1+ a1=3n-1+3n-1+…+3n-1+2=(3n+1)/2. (b) 根据(a)得到等式右端；考虑0出现0次、2次、4次、….及所有偶数次的情形，得等式左端。 47．使用第一台和第二台机器的人数均为k时，分配方案数为 ，故方案总数为 。 48. 这相当于求从原点出发，中途必须行走在直线y=x 及以上，最后到达点(n, n)的全部路径数 C(n+n, n)-C(n+n, n-1)。 49．C(n-k+1, k) . 50．(a) 在00000的间隔中插入1。使得01和10的总次数为4，只有两种方法：一是两头有1且中间一间隔插入余下的1；二是两头均无1且中间两处插入全部的1。 两头有1共三种情形，中间插入1有四种选择，此时共有34=12种方案。 两头无1时有C(4,2)种选择间隔的方法，选定后每种方法有三种安排1的办法(前1后3, 前2后2，前3后1)，此时共有C(4,2)3=18种方案。 所以，总方案数为 12+18=30 。 (b) 在0m的间隔中插入1。 当k为奇数时，两头之一必为1，其余的1插入中间的(k-1)/2个空档中。先让每个空中放入一个1，再将剩余的1任意放入这(k+1)/2个空中。此时符合要求的字符串的个数为 . 当k为偶数时，两头必须同时为1或同时为0。 两头同时为0时，其余的1应插入中间的k/2个空档中，此时符合要求的字符串的个数为 两头同时为1时，其余的1应插入中间的(k-2)/2个空档中，此时符合要求的字符串的个数为 所以k为偶数时符合要求的字符串的个数为 51. C(20-3+1, 3) 52．C(n-k+1, k) 53. C(n+n-1, n) 54.相当于从n+m个位置中选取m个不相邻的位置： C(m+n-m+1, m) = C(n+1,m). 55．设m=ak…a2a1a1a2…ak, 则 因为 式中每项均含因子11，故m能被11整除。 56．(a) (b) 57． 58．如果交点无重叠，则四个点（的交叉连线）对应一个交点，故共有 个点。 第二章答案 返回 1．母函数为 2．因为 ，故此数列的母函数为 3．因为1-3x-54x2 = (1+6x)(1-9x)，设 解得A=－4, B = 7。故 ，从而　an = 79n－4(-6)n。 4．类似上题可得an = 8n+2(-7)n。 5．Gn-3Gn-1+Gn-2 = F2n-3F2n-2+F2n-4 = F2n-1+ F2n-2 -3F2n-2+F2n-4 = F2n-2+ F2n-3 -2F2n-2+F2n-4= -F2n-2+ F2n-3 +F2n-4= -F2n-2+ F2n-2 = 0. 设母函数 则利用递推式可得 6．母函数 7．因为 ，所以 从而 8．(a) (b) (c) 9．因为 ，故 于是(a)(b)(c)均易证。 10．因为 ，故 于是(a)(b)均易证。 11．由于 于是 从而(1-3x+3x2-1)G(x)=1+x 是一个多项式。 12． 13． 14．记 则有 (a) p0 = f(0) = 0 ; p1 = f ’(0) = 1. (b) 递推关系式为 an－2an-1－an-2 = 0, n = 2, 3, …. 15．仿上题可得 (a) a0 = f(0) = 1 ; a1 = f ’(0) = 1. (b) 递推关系式为 an－an-1＋an-2 = 0, n = 2, 3, …. 16．略 17．因为 ，故 于是(a)(b)(c)均易证。 18．(a) A2n+B4n (b) (A+Bn)7n (c) A3n+B (-3)n (d) A7n+B (-1)n (e) (A+Bn)6n (f) A5n+B (-5)n 20. 21. an= 25n+3(-4)n 特征方程为(r4)(r+5) = 0 递推关系为 an+an-1an-2 = 0. 22.​ 设an+ x an-1 + y an-2 = 0 x= -2, y= -3 递推关系为 an2an-13an-2 = 0. 23．由an的表达式可推知特征方程为(x+3)2 = 0，从而递推关系为an+3an-1+9an-2 = 0。 24．解an2an-1+an-2 = 0，a0=1,a1=2得an= 1+n , n=0,1,2,…。 因为1是特征方程的二重根，故设an2an-1+an-2 = 5的一个特解为tn=An2。代入递推式可得A=5/2。 故解为 an= 1+n+5/2n2。 25．设 则 26．因为 ，所以 故 27. (a) an=A4n+5n+1 (b) an=A(-6)n+5/33n (c) an=A4n+n4n (d) an=A(-6)n+4n(-6)n (e) an= A4n+(105n3n4n) (f) an= A4n+(7n4n+155n) (g) an=A(-6)n+ (-6)nn(3/2+5/2n+n2) (h) an=A4n+ 4nn(4/3+n+1/3n2) (i) an=A+ n(2+ n3) (j) an=A3n+B4n +102n +13n3n (k) an=A2n+B(-4)n +2n(-4)n -183n (l) an=(A+Bn)3n+ 3nn2/2 (m)对应的齐次线性常系数递推关系式的特征方程为 x3 -7x2+16x -12 = 0, 即(x-2)2(x-3) = 0, 故x =2(二重根), 3 (单根)，于是齐次线性常系数递推关系式的通解为A2n+B3n。 设递推关系an-7an-1+16an-2-12an-3 =2n的一个特解为 Cn22n, 代入后比较等式两端得C=-1。 设递推关系an-7an-1+16an-2-12an-3 =3n的一个特解为 Dn3n, 代入后比较等式两端得D=9。 故原递推关系式的通解为an=A2n+B3n -n22n +9n3n。 (n) an=A2n+n2n +33n+24n。 28. 若a2=0，则an=0, n3；若a20，则an与a2同正负, n3。不妨设an>0, n1。 在原递推式两边取对数，记bn=ln(an), 则有 bn=3bn-1+10bn-2, 解此递推关系式，得 bn= A5n+B(-2)n, 故 an= exp(A5n+B(-2)n) 。 29．若a1或a2为0，则an=0, n3；若a1>0, a2 < 0, 则a3k>0, a3k-1 < 0, a3k-2 < 0, k=1,2,3,….；若a1<0, a2 > 0, 则a2+3k>0, a3k+1 < 0, a3k < 0, k=0,1,2,3,….；若a1>0, a2 > 0, 则ak>0, k=1,2,3,…。 因此不妨设a1>0, a2 > 0（否则考虑bn= an，仍有关系bn= bn-1bn-2，求得bn后即可得到an）。在原递推式两边取对数，记cn=ln(an), 则有 cn=cn-1+cn-2, 解此递推关系式，得 30．在原递推式两边取对数，记bn=ln(an), 则有 bn=2bn-1+3bn-2, b0=0, b1= ln2. 解此递推关系式，得 bn= 3n(ln2)/4- (-1)n (ln2)/4, 故 an= exp(3n(ln2)/4- (-1)n (ln2)/4) 。 31．在原递推式两边取对数，记bn=ln(an), 则有 bn=7bn-1-12bn-2, b0=0, b1= ln2. 解此递推关系式，得 bn= 4nln2- 3n ln2, 故 an= exp(4nln2- 3n ln2) 。 32．(a) an= n! (b) an= 61/2n (c) an= A1/21/3n 33．因为 ，而 所以 故 34．因为 所以 35．类似上题，略。 36．(a) (b) 37．令an=b2n, 则有 bn=2bn-1+3bn-2, b0=1, b1=2. 用特征根法求得bn= ( (-1)n+3n+1)/4，故an= ( (-1)n+3n+1) 2/16。 38．令an= n!bn, 则有 bn=2bn-1+7, b0=1. 易解得 bn= 82n－7，从而an= (82n－7) n!. 39．令nan= bn, 则有 bn=bn-1+1, b1=1. 易解得 bn= n，从而a0= 5, an= 1, n=1,2,…. 40．(a) 令an= n!bn, 则有 bn=4bn-2+5/93n, b0=1 , b1= -1. 易解得 bn= ( 2n+3(-2)n )/4－53n-1，从而 an= ( 2n+3(-2)n )/4－53n-1 )n! . (b) 令an= n!bn, 则有 bn=9bn-2+142n, b0=42 , b1= 38. 易解得 bn= (823n+44(-3)n )/3－42n，从而 an= ( (823n+44(-3)n )/3－42n ) n! . 41．证：( an + b1an-1 + b2an-2)－r(an-1 + b1an-2 + b2an-3) = 5rn－r5rn-1 = 0, 即　an + (b1－r)an-1 + (b2－r b1)an-2－r b2an-3 = 0, 这是一个三阶齐次线性常系数递推关系，其特征多项式为 x3 + (b1－r)x2 + (b2－rb1)x－rb2= (x－r)(x2+ b1x+ b2). 42．由题设条件立得　　cn－cn-1－cn-2 = b n-1 . 记　dn＝cn－cn-1－cn-2, 则由bn的递推关系有dn－dn-1－dn-2 = 0，即 cn－2cn-1－cn-2+ 2cn-3+ cn-4 = 0 . 47. (1) 由(1+x)n(1+x)n = (1+x)2n，展开后比较两边xn的系数，得 (2) 由于 故x20的系数为 48．(1+x+x2)4(1+x+x2+x3)3=…+678 x10+… 49. 设n位排列中AB至少出现一次的排列个数为an, 则最后两位为AB的排列有4n-2个；最后两位不是AB的排列分为两种情况：最后一位不是B的情形有3 an-1个，最后一位是B的情形有3an-2个，故 an=3 an-1 + 3an-2 + 4n-2， n=3,4,…. a1=0，a2=1。 50．这是一个可重复的排列计数问题，可以使用指数型母函数求解。 出现偶数次2的指数型母函数为 ，出现偶数次3的指数型母函数为 ，出现0的指数型母函数为 ，出现1的指数型母函数为 。所以总的母函数为 故a0=1, an = (4n+2n+1)/4, n=1,2,…. 51．设n位符号串中符合要求的排列有an个，则最后一位不是a的排列有2an-1个，最后一位是a的排列有2an-2个。于是 an=2an-1 + 2an-2， n=3,4,…. a1=3，a2=8。 52．证：由p.36恒等式，知 54．因为相应的母函数为 故共有14种分配方案。 55．用数学归纳法：n=1时，n可表示为F1；设n=k时， 　(i)若i1>2, 则 (ii)若i1=2，设p=max{k: ik=k+1, 1km}。当pc。因此，当边长为整数、最大边长为l时： (i) 若l =2m+1时，全部三角形为 (k, i, 2m+1), 1 k i 2m+1, i+k2m+2, 当取定k后，i的取值范围为max{k, 2m+2-k} i 2m+1。所以当1 k m+1时，2m+2-k i 2m+1；当k>m+1时，k i 2m+1。 故三角形的个数为 (ii) 若l =2m时，全部三角形为 (k, i, 2m), 1 k i 2m, i+k2m+1, 当取定k后，i的取值范围为max{k, 2m+1-k} i 2m。所以当1 k m时，2m+1-k i 2m；当k>m时，k i 2m。 故三角形的个数为 71． 72．这相当于从m个不同元素中取n个出来的组合（允许有重复），其个数为 。 73．作变换yi = xi－Si, i =1,2,…,m，则方程变为 y1+y2+…+ym = n－S1－S2－…－Sm, yi 0, i =1,2,…,m 记N= n－S1－S2－…－Sm，则当N<0时方程无整数解；当N 0时方程有 个整数解。 74．(a) (b) 据(a)，递推关系为 an = an-1+bn, bn = bn-1+an-1, n1. 易知a0=1，b1=1，从而b0=0。设{ an }的母函数为f(x)，{ bn }的母函数为g(x)，则有 f(x)-xf(x)-g(x)=a0, g(x)-xg(x)-xf(x)=b0, 解得 (c) 容易验证b1= F1，a1= F2。下面用数学归纳法证明 bk= F2k-1，ak= F2k, k=1,2,3,… k=1时命题成立。设对k=n命题成立。对于k=n+1，根据递推关系和归纳假设，我们有 bn+1 = an+bn = F2n-1+ F2n= F2n+1，an +1= an+bn+1 = F2n+ F2n+1= F2n+2, 此时命题亦成立。 75．(a) 用数学归纳法证明： 容易验证k=2时等式成立。设Fn=Fk Fn-k+1+ Fk-1 Fn-k，当k1的情形。 k=1时命题显然成立。设k时命题成立；对于k+1，据(a)有 F(k+1)m = Fm Fkm+1+ Fm-1 Fkm， 根据归纳假设有Fm | Fkm，故Fm | F(k+1)m。 再证明另一个方向：若Fn | Fm, 则n | m 。 先用归纳法证明Fn 与Fn-1的最大公约数为1：n=2时显然；若Fn 与Fn-1的最大公约数为1，如果Fn+1 与Fn的最大公约数a>1，则由Fn+1= Fn+ Fn-1知 a | Fn-1，从而a也是Fn 与Fn-1的公因数，这与Fn 与Fn-1的最大公约数为1的假设矛盾。 下面证明若Fn | Fm, 则n | m。 显然mn。若m=n，命题显然成立。若m>n，据(a)有Fm=Fn Fm-n+1+ Fn-1 Fm-n，于是有 Fn | Fn-1 Fm-n。由于Fn 与Fn-1的最大公约数为1，故Fn | Fm-n。 若m-n>n, 重复以上过程又有Fn | Fm-2n，…。设m=kn+r, 0rn-1，反复进行上述过程，可知r=0，即n | m。 (c) 据(a)有 Fn+m -2 = Fm Fn-1+ Fm-1 Fn-2 = Fm (Fn－Fn-2)+ Fm-1 Fn-2 = Fm Fn－Fm-2 Fn-2， 即 Fn+m - 2 = Fm Fn－Fm-2 Fn-2， 同理有 Fn+m - 6 = Fm-2 Fn-2－Fm-4 Fn-4， Fn+m - 8 = Fm-4 Fn-4－Fm-6 Fn-6， ………………………………. 相加即得要求的结果。 (d) 先用数学归纳法证明：对于任意的mn, n=1,2,…，必存在正整数k = k(m,n)，使得(Fm, Fn) = Fk. m=n时取k=m，命题成立。以下只考虑mn，则S(n,k)=0。故此时命题成立。 (ii) 当nn，则S(n,k)=0。故此时命题成立。 (iii) 当n>m时：若kn, 则 S(k,m)=0；若k 5。 60．对行数m作数学归纳法：m=1时命题显然成立。设行数小于m时命题成立；当行数为m时，不妨设最小元素为amn(否则通过行的对换和列的对换可以实现)。 对于第j列，若aij在此列中最小，则 aijamj，从而 aij-amn amj-amn d。由于j是任意的，故第m行最大元素与最小元素之差不大于d。 61．(a) Q(n,n)2n = (n-1)! 2n (b) 记S={2n位代表的圆排列}， Ai ={S中第i单位的两代表坐在一起的圆排列}, i =1,2,…,n. 则要求的方案数为 62．(a) 对层数为错排，但同层的书可以任意排，故方案数为 (b) 层数可以任意排列，但同层的书位置要错排，则方案数为 (c) 对层数和同层的书均为错排，故方案数为 63．首先，由鸽巢原理，必有两行 64．如果两门课对每个学生的面试限制在同一次完成，则共有6!26个方案；如果两门课对每个学生的面试不作任何先后和次序上的限制，则共有12!个方案。 66．将等边三角形九等分： 将十个点放入大等边三角形内部，则必有一个小等边三角形中至少含两点，且此两点必不在同一条边的两端上。由于小等边三角形的边长为1，故命题成立。 67．做6个盒子： 1 2 3 4 5 6 当一个数被10除的余数是某盒中数时，表示这个数应放入此盒中。 任选7个不同的数，则必有两个数在同一个盒中：这两个数被10除的余数不同时，它们的和被10除尽；相同时它们的差被10除尽。 68．第11题已做过。 69．有nm个相同的球，放入n个不同盒中，每个盒中有排成一行的m个格子，每个格中恰能放一个球。问将球全部放入盒中，共有多少种放法。 先将nm个球看成是互不相同的，则全部放法有(nm)!种。但实际上所有的球是相同的，而对应每种相同的一种放法的全部排列有(m!)n个，故总的不同放法为(nm)!/ (m!)n种。放法个数总是一个整数，故(nm)!被(m!)n整除。 70．将一条路线对应一个字符串：往x轴方向走一步记为X1，往逆x轴方向走一步记为X2；往y轴方向走一步记为Y1，往逆y轴方向走一步记为Y2；X1与X2的个数相同，Y1与Y2的个数相同，X1,X2,Y1,Y2的总个数为10。 记X1的个数为k，则X1的位置有C(10,k)种选择，X2的位置有C(10-k, k)种选择，Y1的位置有C(10-2k, 5-k)种选择，k=0,1,2,3,4,5。于是，这样的字符串的个数为 71．记S={ 1,2,…,n的全部排列}, Ai ={ i与i+1相邻的排列}, i =1,2,…,n-1, 则要求的方案个数为 72．记S={ 0,1,2,…,n-1的全部排列}, Ai ={ i与i+1相邻的排列}, i =0,1,2,…,n-1, 则要求的方案个数为 73．令y1 = a－1, y2 = b, y3 = c, y4 = d, 则方程变换为 y1 + y2+ y3 + y4=30, 0 y1, 0 y2, 0 y3, 0 y4. 则要求的整数解的个数为 74．令y1 = a－1, y2 = b－2, y3 = c－3, y4 = d－4, 则方程变换为 y1 + y2+ y3 + y4=7, 0 y12, 0 y22, 0 y32, 0 y42. 考虑集合 S={( y1 , y2, y3, y4) | y1 + y2+ y3 + y4=7, 整数 y1 0, y2 0, y3 0, y4 0}, Ai ={( y1 , y2, y3, y4)S | yi 2}, i =1,2,3,4. 则要求的整数解的个数为 第四章答案 返回 1．设G是任一循环群，则存在xG，使得对任一aG, 有正整数m满足a=xm. 对于任意的a,bG，设a=xm，b=xn, 则 ab= xm xn = xm+n = xn xm = ba, 故G满足交换律，即G是Abel群。 2．对任意的xp, xqG，设p+qk(mod m)，则 xpxq = xkG，故G满足封闭性。又e是G的单位元，从而也是C的单位元。对于任一xp G，因为 xpxm-p = xm-p xp = e, 故 (xp)-1= xm-p . 所以C是G的一个子群。 3．对于G的任