【数学】2011年高考试题——（江西卷理）解析版

绝密★启用前 2011年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 理科数学 本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页。第Ⅱ卷3 至4页，满分150分，考试时间120分钟. 考试结束后， 考试注意： 1． 答题前，考生在答题卡上务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考试要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考试本人的准考证号、姓名是否一致. 2.第I卷每小题选出后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，.第II卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在卷上作答，答案无效. 3.考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并交回。 参考公式： 样本数据（），（），...，（）的线性相关系数 其中 锥体的体积公式 其中为底面积，为高 第Ⅰ卷 1、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. （1） 若,则复数= ( ) A. B. C. D. 答案：C 解析： （2） 若集合,则= ( ) A. B. C. D. 答案：B 解析： （3） 若,则的定义域为 ( ) A. (,0) B. (,0] C. (,) D. (0,) 答案： A 解析： （4） 若,则的解集为 ( ) A. (0,) B. (-1,0)(2,) C. (2,) D. (-1,0) 答案：C 解析： （5） 已知数列的前项和满足:,且,那么 ( ) A. 1 B. 9 C. 10 D. 55 答案：A 解析： （6） 变量X与Y相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量U与V相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4），（11.8,3），（12.5,2），（13,1).表示变量Y与X之间的线性相关系数,表示变量V与U之间的线性相关系数,则 ( ) A. B. C. D. 答案：C 解析： 第一组变量正相关，第二组变量负相关。 （7） 观察下列各式:则的末四位数字为 ( ) A.3125 B. 5625 C.0625 D.8125 答案：D 解析： （8） 已知是三个相互平行的平面,平面之间的距离为,平面之间的距离为.直线与分别交于.那么是的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案：C 解析：平面平行，由图可以得知： 如果平面距离相等，根据两个三角形全等可知 如果，同样是根据两个三角形全等可知 （9） 若曲线与曲线有四个不同的交点,则实数的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 答案：B 曲线表示以为圆心，以1为半径的圆，曲线表示过定点，与圆有两个交点，故也应该与圆有两个交点，由图可以知道，临界情况即是与圆相切的时候，经计算可得，两种相切分别对应，由图可知，m的取值范围应是 10. 如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方 向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这 样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是( ) 答案：A 解析：根据小圆 与大圆半径1：2的关系，找上下左右四个点，根据这四个点的位置，小圆转半圈，刚好是大圆的四分之一，因此M点的轨迹是个大圆，而N点的轨迹是四条线，刚好是M产生的大圆的半径。 第II卷 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 11. 已知，，则与的夹角为 . 答案：（） 解析：根据已知条件，去括号得：， （PS：这道题其实2010年湖南文科卷的第6题翻版过来的，在我们寒假班的时候也讲过一道类似的，在文科讲义72页的第2题。 此题纯属送分题！） 12. 小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若 此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为 . 答案： 解析：方法一：不在家看书的概率= 方法二：不在家看书的概率=1—在家看书的概率=1— （PS: 通过生活实例与数学联系起来，是高考青睐的方向，但在我们春季班讲义二第一页的第五题已经做过类似题型，那么作为理科生，并且是上过新东方春季班课程的理科生，是不是应该作对，不解释。） 13.下图是某算法程序框图，则程序运行后输出的结果是__________. 10. 解析：s=0,n=1;带入到解析式当中，s=0+(-1)+1=0，n=2; s=0+1+2=3, n=3; S=3+(-1)+3=5, n=4; S=5+1+4=10,此时s>9,输出。 （PS:此题实质是2010江苏理科卷第7题得翻版，同时在我们寒假题海班，理科讲义的第200页的第6题也讲过相似的。所以童鞋们再次遇到，应该也是灰常熟悉的。并且框图本来就是你们的拿手菜，所以最对也不觉奇怪。） 14. 若椭圆的焦点在x轴上，过点作圆的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 . 答案： 解析：设过点（1，）的直线方程为：当斜率存在时，， 根据直线与圆相切，圆心（0,0）到直线的距离等于半径1可以得到k=,直线与圆方程的联立可以得到切点的坐标（），当斜率不存在时，直线方程为：x=1，根据两点A：（1,0），B：（）可以得到直线：2x+y-2=0,则与y轴的交点即为上顶点坐标（2,0），与x轴的交点即为焦点，根据公式，即椭圆方程为： （PS:此题可能算是填空题，比较纠结的一道，因为要理清思路，计算有些繁琐。但是，是不是就做不出来呢，不是的，在我们寒假题海班的时候讲过一道与此相似的题型，也就在理科教材第147页第23题。所以最纠结的一道高考题也不过如此，你们还怕什么？） 三.选做题：请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做，则按做的第一题评阅计分.本题共5分. 15（1）.（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则改曲线的直角坐标方程为 . 答案：。解析：做坐标系与参数方程的题，大家只需记住两点：1、，2、即可。根据已知= 所以解析式为： 15 (2).(不等式选择题）对于实数x，y，若，，则的最大值为 . （2） 此题，看似很难，但其实不难，首先解出x的范围，，再解出y的范围，，最后综合解出x-2y+1的范围，那么绝对值最大，就去5 （PS: 此题作为最后一题，有失最后一题的分量，大家从解题步骤就可看出。所以高考注重的还是基础+基础！） 4. 本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分） 某饮料公司招聘一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料.若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元.令X表示此人选对A饮料的杯数.假设次人对A和B两种饮料没有鉴别能力. （1） 求X的分布列； （2） 求此员工月工资的期望. 解答：（1）选对A饮料的杯数分别为，，，，， 其概率分布分别为： ，，，，。 （2）。 17. （本小题满分12分） 在△ABC中，角的对边分别是，已知. （1） 求的值； （2） 若，求边的值. 解：（1）已知 整理即有： 又C为中的角， （2） 又， 18. （本小题满分12分） 已知两个等比数列，，满足. （1） 若=1，求数列的通项公式； （2） 若数列唯一，求的值. .解：（1）当a=1时，，又为等比数列，不妨设公比为，由等比数列性质知： ，同时又有所以： （2）要唯一，当公比时，由且， ，最少有一个根（有两个根时，保证仅有一个正根） ，此时满足条件的a有无数多个，不符合。 当公比时，等比数列首项为a，其余各项均为常数0，唯一，此时由，可推得符合 综上：。 19. （本小题满分12分） 设 （1） 若在上存在单调递增区间，求的取值范围； （2） 当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值. 解：（1）已知，，在上存在单调递增区间，即导函数在上存在函数值大于零的部分， （2）已知0