2010年高考数学备考最新6套压轴题(含详细答案)

2010年备考最新6套数学压轴题之一 1.（本小题满分12分） 已知 ，函数 ， （其中 为自然对数的底数）． （1）判断函数 在区间 上的单调性； （2）是否存在实数 ，使曲线 在点 处的切线与 轴垂直? 若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 解（1）：∵ ，∴ ． 令 ，得 ． ①若 ，则 ， 在区间 上单调递增. ②若 ，当 时， ，函数 在区间 上单调递减， 当 时， ，函数 在区间 上单调递增， ③若 ，则 ，函数 在区间 上单调递减. ……6分 （2）解： ∵ ， ， 由（1）可知，当 时， ． 此时 在区间 上的最小值为 ，即 ． 当 ， ， ，∴ ． 曲线 在点 处的切线与 轴垂直等价于方程 有实数解． 而 ，即方程 无实数解． 故不存在 ，使曲线 在 处的切线与 轴垂直……12分 2．（本小题满分12分） 已知线段 ， 的中点为 ，动点 满足 （ 为正常数）． （1）建立适当的直角坐标系，求动点 所在的曲线方程； （2）若 ，动点 满足 ，且 ，试求 面积的最大值和最小值． 解（1）以 为圆心， 所在直线为轴建立平面直角坐标系.若 ，即 ，动点 所在的曲线不存在；若 ，即 ，动点 所在的曲线方程为 ； 若 ，即 ，动点 所在的曲线方程为 .……4分 (2)当 时，其曲线方程为椭圆 .由条件知 两点均在椭圆 上，且 设 ， ， 的斜率为 ，则 的方程为 ， 的方程为 解方程组 得 ， 同理可求得 ， 面积 = ………………8分 令 则 令 所以 ，即 当 时，可求得 ,故 ， 故 的最小值为 ，最大值为1. ……12分 （2）另解：令 ，则 解得 所以 ，而 因此 ，即最大值是1，最小值是 . 3．（本小题满分12分） 函数 的反函数为 ，数列 和 满足： ， ，函数 的图象在点 处的切线在 轴上的截距为 . （1）求数列{ }的通项公式； （2）若数列 的项中仅 最小,求 的取值范围； （3）令函数 , .数列 满足: , 且 ，(其中 ).证明: 解:(1)令 解得 由 解得 ∴函数 的反函数 则 得 是以2为首项，1为公差的等差数列，故 …………3分 (2) 在点 处的切线方程为 令 得 仅当 时取得最小值， ∴ 的取值范围为 ………6分 (3) 所以 又因 则 显然 …………8分 …10分 2010年备考最新6套数学压轴题之二 1.（本小题满分12分）已知 = ， （0，e]，其中 是自然常数， （Ⅰ）当 时, 求 的单调区间和极值；[来源:学科网] （Ⅱ）是否存在实数 ，使 的最小值 是3，若存在，求出 的值；若不存在，说 明理由. 解（1） 时， ， ……1分 由 得 ，∴f(x)的单调递减区间(0,1) 由 得 ， 单调递增区间（1，e） ……3分 ∴ 的极小值为 ……4分 （2）假设存在实数 ，使 （ ）有最小值3， …………………5分 ① 当 时， 在 上单调递减， ， （舍去），所以，此时 无最小值. ……7分 ②当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增 ， ，满足条件. ……9分 ③ 当 时， 在 上单调递减， ， （舍去），所以，此时 无最小值.……11分 综上所述，存在实数 ，使得当 时 有最小值3 。……12分 2 （本小题满分12分） 设 上的两点，已知向量 ,若 且椭圆的离心率e= eq \f(,2),短轴长为 ， 为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆的方程；[来源:Zxxk.Com] （Ⅱ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由 解： 椭圆的方程为 4分 (2) ①当直线AB斜率不存在时，即 ,由 …………5分 又 在椭圆上，所以 所以三角形的面积为定值.……6分 ②当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b ，=(2kb)24(k2+4)(b24)>0……………8分而 , ……………10分 S= eq \f(|b|,)|AB|=|b|= eq \f(|b|,2(k2+4))= eq \f(,2|b|)=1 综上三角形的面积为定值1.………………………12分 3．（本小题满分12分） 已知数列 的前n项和 满足： （ 为常数， （Ⅰ）求 的通项公式； （Ⅱ）设 ，若数列 为 等比数列，求 的值； （Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下， ，数列 的前n项和 为 . 求证： ． 解：（Ⅰ） ∴ ……….1分 当 时， 两式相减得： ， (a≠0，n≥2)即 是等比数列． ∴ ；…4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知a≠1 , ， 若 为等比数列，则有 而 ， ……6分 故 ， 解得 ， ……………………7分 再将 代入得 成立， 所以 ． …………8分 （III）证明：由（Ⅱ）知 ， 所以 ， … 10分 所以 [来源:学科网] ………12分[来源:Zxxk.Com] 2010年备考最新6套数学压轴题之三 1．​ (本小题满分13分) 已知函数 的导数 ．a，b为实数， ． (1)​ 若 在区间 上的最小值、 最大值分别为 、1，求a、b的值； (2)​ 在 (1) 的条件下，求曲线在点P（2，1） 处的切线方程； (3)​ 设函数 ，试判 断函数 的极值点个数． 解：(1) 由已知得， ， 由 ，得 ， ． ∵ ， ， ∴ 当 时， ， 递增；www.ks5u.com当 时， ， 递减． ∴ 在区间 上的最大值为 ，∴ ． 又 ， ， ∴ ． 由题意得 ，即 ，得 ． 故 ， 为所求． (2) 由 (1) 得 ， ，点 在曲线 上． 当切点为 时，切线 的斜率 ， ∴ 的方程为 ， 即 ． (3 二次函数 的判别式为 令 ，得： 令 ，得 ∵ ， ， ∴当 时， ，函数 为单调递增，极值点个数为0； 当 时，此时方程 有两个不相等的实数根， 根据极值点的定义，可知函数 有两个极值点． 2(本小题满分12分) 设F是椭圆C： 的左焦点，直线l为其左准线，直线l与x轴交于点P，线段MN为椭圆的长轴，已知 ． (1)​ 求椭圆C的标准方程； (2)​ 若过点P的直线与椭圆相交于不同两点 A、B求证：∠AFM =∠BFN； (3)​ 求三角形ABF面积的最大值． 解：(1) ∵ ∴ a = 4 又∵ | PM | = 2 | MF |得 (2) 当AB的斜率为0时，显然 满足题意 当AB的斜率不为0时，设 ，AB方程为 代入椭圆方程整理得 则 综上可知：恒有 (3) 当且仅当 （此时适合△＞0的条件）取得等号. ∴三角形ABF面积的最大值是3 3(本小题满分12分) 古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏，其玩法如下：如图，设有n（ ）个圆盘依其半径大小，大的在下，小的在上套在A柱上，现要将套在A柱上的盘换到C柱上，要求每次只能搬动一个，而且任何时候不允许将大盘套在小盘上面，假定有三根柱子A、B、C可供使用． 现用an示将n个圆盘全部从A柱上移到C柱上所至少需要移动的次数，回答下列问题： (1)​ 写出a1，a2，a3，并求出an； （2）记 ， 求和 （ ）；（其中 表示所有的积 的和） (2)​ 证明： (3)​  ． 解：(1) 事实上，要将 个圆盘全部转移到C柱上，只需先将上面 个圆盘转移到B柱上，需要 次转移，然后将最大的那个圆盘转移到C柱上，需要一次转移，再将 柱上的 个圆盘转移到C柱上，需要 次转移，所以有 则 ， 所以 (2) 则 (3) 令 ，则当 时 又 ，所以对一切 有： 另方面 恒成立，所以对一切 有 综上所述有： 2010年备考最新6套数学压轴题之四 1.小题满分12分)已知函数f(x)= (1)当 时, 求 的最大值; (2) 设 , 是 图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数 ，使得 恒成立?若存在,求 的取值范围;若不存在,请说明理由． (2)存在 符合条件 解: 因为 = 不妨设任意不同两点 ，其中 则 由 知: 1+ 又 故 故存在 符合条件． …12分 解法二:据题意在 图象上总可以在找一点 使以P为切点的切线平行图象上任意两点的连线,即存在 故存在 符合条件． 2.小题满分13分）在平面直角坐标系 中，线段AB与y轴交于点 ，直线AB的斜率为k，且满足 ． （1）证明：对任意的实数 ，一定存在以y轴为对称轴且经过A、B、O三点的抛物线C，并求出抛物线C的方程； （2）对（1）中的抛物线C，若直线 与其交于M、N两点，求∠MON的取值范围． 解：（1）由已知设 ① 又设抛物线 ② 由①②得 设 ， 则 由弦长公式得 而 ，所以 ，即抛物线方程为 ………6分 （2）设 ，由 而 则 ， ， ， ………7分 不妨设 ，由于 ，则 令 ，则ON到OM的角为 ，且满足 令 ，则 ， 且 ∴ 函数 与 在 上皆为增函数 ∴ 则 ， 又 时， ………13分 3.小题满分14分) 设数列 的前 项和为 ，已知 (n∈N*). （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，数列 的前 项 和为 ，若存在整数 ，使对任意n∈N* 且n≥2，都有 成立，求 的 最大值； 3）令 ，数列 的 前 项和为 ，求证：当n∈N*且n≥2时， . 解（1）由 ，得 (n≥2). 两式相减，得 ，即 (n≥2). 于是 ，所以数列 是公差为1的等差数列 又 ，所以 . 所以 ，故 .……………4分 （2）因为 ，则 . 令 ，则 . 所以 . 即 ，所以数列 为递增数列. 所以当n≥2时， 的最小值为 . 据题意， ，即 .又 为整数，故 的最大值为18. …………8分 （3）因为 ，则当n≥2时， . 下面证 方法一：先证一个不等式，当 时， 令 ，则 ， ∴ 在 时单调递增， ， 即当 时， 令 ， ， ， ，……， 以上 个式相加，即有 ∴ ……14分 方法二：先用数学归纳法证明一个加强不等式 。 ① 时， 成立，故 时不等式成立。 ②假设 时成立，即 则当 时， ， 下面用法证 [来源:Z,xx,k.Com] 即证 [来源:学科网] 即证 ， 故即证 即证 上式显然成立。 （可以从 到 时引导学生发现 中的 的值，此种方法对于常数型的关于正整数的不等式的证明很凑效） 方法三：又据柯西不等式，有 .[来源:学_科_网 ] 2010年备考最新6套数学压轴题之五 1.(分12分） 各项都为正数的数列 ，满足 （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）证明 对一切 恒成立.[来源 解：（Ⅰ）∵ ，∴ 为首项为1，公差为2的等差数列，………2分 ∴ ，又 ，则 …………5分 （Ⅱ）只需证： . 1​ 当 =1时，左边=1，右边=1，所以命题 成立. 当 =2时，左边<右边，所以命题成立.…………………7分 ②假设 =k时命题成立，即 ， 当n=k+1时， 左边= . ………8分 .命题成立. …………11分 由①②可知，对一切 都有 成立. 方法二：当n=1时，左边=1，右边=1，则命题成立. …………7分 当 时， 则 ∴原不等式成立. …………12分 2.已知 经过点 ，且与圆 内切. （Ⅰ）求动圆 的圆心的轨迹 的方程. （Ⅱ）以 为方向向量的直线 交曲线 于不同的两点 ，在曲线 上是否存在点 使四边形 为平行四边形（ 为坐标原点）.若存在，求出所有的 点的坐标与直线 的方程；若不存在，请说明理由. 解:（Ⅰ）依题意，动圆与定圆相内切，得| ，可知 到两个定点 、 的距离和为常数，并且常数大于 ，所以 点的轨迹为椭圆，可以求得 ， ， ， 所以曲线 的方程为 ．……………………5分 （Ⅱ）假设 上存在点 ，使四边形 为平行四边形． 由 （Ⅰ）可知曲线E的方程为 . 设直线 的方程为 ， ， . 由 ，得 ， 由 得 ，且 ， ，………7分 则 ， ， 　　 上的点 使四边形 为平行四边形的充要条件是 ， 即 且 ， 又 ， ，所以可得 ，…………9分 可得 ，即 或 ． 当 时， ，直线 方程为 ； 当 时， ，直线 方程为 ．高☆考♂资♀源€……………………12分 3（本小题满分12分） 已知函数 （Ⅰ）求函数 的单调区间. （Ⅱ）若 上恒成立，求实数 的取值范围. （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，任意的 解：（Ⅰ） 当 时， 恒成立，则函数 在 上单调递增；………2分 当 时，由 则 ，则 在 上单调递增，在 上单调递减.　　……4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得：当 时显然不成立；　　　　　　　　　　　　 当 时， 只需 即　…………….6分 令 , 则 ，函数 在 上单调递减，在 上单调递增. 　.　　　　　　　　　　　则若 在 上恒成立， =1.　　　　…………8分 (Ⅲ） , 由 得 , 由（Ⅱ）得： ,则 , 则原不等式 成立　.　　……………12分 2010年备考最新6套数学压轴题之六 1.A﹑B﹑C是直线 上的三点，向量 ﹑ ﹑ 满足： -[y+2 ]· +ln(x+1)· = ； （Ⅰ）求函数y=f(x)的表达式； （Ⅱ）若x＞0, 证明f(x)＞ ； （Ⅲ）当 时,x 及b 都恒成立，求实数m的取值范围。 解I）由三点共线知识， ∵ ,∴ ,∵A﹑B﹑C三点共线， ∴ ∴ . ∴ ∴ ， ∴f(x)=ln(x+1)………………4分 (Ⅱ)令g(x)=f(x)－ , 由 ， ∵x>0∴ ∴g(x)在 (0,+∞)上是增函数,故g(x)>g(0)=0,即f(x)> ;………8分 （III）原不等式等价于 ,令 h(x)= = 由 当x∈[-1,1]时,[h(x)]max=0, ∴m2-2bm-3≥0,令Q(b)= m2-2bm-3，则由Q(1)≥0及Q（-1)≥0解得m≤-3或m≥3. …………12分 2,满分12分） 设f(x) 是定义在R上的减函数，满足f(x+y)=f(x)•f(y)且f(0)=1,数列{an} 满足a1=4，f(log3 f(-1-log3 =1 (n∈N*)； （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设Sn是数列{an}的前n项和, 试比较Sn与6n2-2的大小。 解.(Ⅰ)由题设知 f(log3 ∙f(-1-log3 =1 (n∈N*) 可化为 , ∵y=f(x)是定义在R上的单调减函数， ∴ 即 ∴数列 是以为 首项，1为公差的等差数列。∴log3 即an= .-----6分 (Ⅱ) Sn=a1+a2+a3+···+an =4(1+31+32+···+3n-1)=2(3n-1) 当n=1时有Sn=6n2-2=4; 当n=2时有Sn=16<6n2-2=22; 当n=3时有Sn=6n2-2=52; 当n=4时有Sn=160>6n2-2=94; 当n=5时有Sn=484>6n2-2=148. 由此猜想当n≥4时, 有Sn>6n2-2 3n-1>n2. 下面用数学归纳法证明： ①当n=1时显然成立； ②假设当n=k(k≥4,k∈N*)时, 有3k-1>k2; 当n=k+1时，有3k=3·3k-1>3k2, ∵k≥4∴k(k-1)≥12, ∴3k2-(k-1)2=2k(k-1)-1>0即3k2>(k+1)2, ∴3k>3k2>(k+1)2, ∴3k>(k+1)2,因此当n=k+1时原式成立. 由①②可知当n≥4时有3n-1>n2即Sn>6n2-2. 综上可知当n=1,3时,有Sn=6n2-2；当n=2时,有Sn<6n2-2；当n≥4时,有Sn>6n2-2。………………12分 3. 已知抛物线C1:y2=4x的焦点与椭圆C2: 的右焦点F2重合，F1是椭圆的左焦点； （Ⅰ）在 ABC中，若A(-4,0)，B(0,-3)，点C在抛物线y2=4x上运动，求 ABC重心G的轨迹方程； （Ⅱ）若P是抛物线C1与椭圆C2的一个公共点，且∠PF1F2= ，∠PF2F1= ,求cos 的值及 PF1F2的面积。 解：（Ⅰ）设重心G(x,y)，则 整理得 将(*)式代入y2=4x中，得(y+1)2= ∴ 重心G的轨迹方程为(y+1)2= .…6分 (Ⅱ) ∵椭圆与抛物线有共同的焦点，由y2=4x得F2(1,0)，∴b2=8，椭圆方程为 .设P(x1,y1) 由 得 ，∴x1= ，x1=-6(舍).∵x=-1是y2=4x的准线，即抛物线的准线过椭圆的另一个焦点F1。 设点P到抛物线y2=4x的准线的距离为PN，则︱PF2︱=︱PN︱. 又︱PN︱=x1+1= , ∴ . 过点P作PP1⊥x轴，垂足为P1，在Rt△PP1F1中，cosα= 在Rt△PP1F2中，cos(л-β)= ,cosβ= ,∴cosαcosβ= 。 ∵x1= ,∴∣PP1∣= , ∴ .…12分