2007年高考数学试题（海南、宁夏·理）含答案

数学专页 2007年普通高等学校招生全国统一考试（海南、宁夏） 理科数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第II卷第22题为选考题，其他题为必考题．考生作答时，将答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上． 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损． 5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 参考公式： 样本数据 ， ， ， 的差 锥体体积公式 其中 为样本平均数 其中 为底面面积、 为高 柱体体积公式 球的面积、体积公式 ， 其中 为底面面积， 为高 其中 为球的半径 第I卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知命题 ， ，则（　　） Ａ． ， Ｂ． ， Ｃ． ， Ｄ． ， 2．已知平面向量 ，则向量 （　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 3．函数 在区间 的简图是（　　） 4．已知 是等差数列， ，其前10项和 ， 则其公差 （　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 5．如果执行右面的程序框图，那么输出的 （　　） Ａ．2450 Ｂ．2500 Ｃ．2550 Ｄ．2652 6．已知抛物线 的焦点为 ， 点 ， 在抛物线上， 且 ， 则有（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 7．已知 ， ， 成等差数列， 成等比数列，则 的最小值是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 9．若 ，则 的值为（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 10．曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 11．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表 甲的成绩 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5 乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6 丙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 4 6 6 4 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 12．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为 ， ， ，则 （　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－第21题为必考题，每个考生都必须做答，第22题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为　　　　　． 14．设函数 为奇函数，则 　　　　． 15． 是虚数单位， 　　　　　．（用 的形式表示， ） 16．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种．（用数字作答） 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 如图，测量河对岸的塔高 时，可以选与塔底 在同一水平面内的两个测点 与 ．现测得 ，并在点 测得塔顶 的仰角为 ，求塔高 ． 18．（本小题满分12分） 如图，在三棱锥 中，侧面 与侧面 均为等边三角形， ， 为 中点． （Ⅰ）证明： 平面 ； （Ⅱ）求二面角 的余弦值． 19．（本小题满分12分） 在平面直角坐标系 中，经过点 且斜率为 的直线 与椭圆 有两个不同的交点 和 ． （I）求 的取值范围； （II）设椭圆与 轴正半轴、 轴正半轴的交点分别为 ，是否存在常数 ，使得向量 与 共线？如果存在，求 值；如果不存在，请说明理由． 20．（本小题满分12分） 如图，面积为 的正方形 中有一个不规则的图形 ，可按下面方法估计 的面积：在正方形 中随机投掷 个点，若 个点中有 个点落入 中，则 的面积的估计值为 ，假设正方形 的边长为2， 的面积为1，并向正方形 中随机投掷 个点，以 表示落入 中的点的数目． （I）求 的均值 ； （II）求用以上方法估计 的面积时， 的面积的估计值与实际值之差在区间 内的概率． 附表： 21．（本小题满分12分） 设函数 （I）若当 时， 取得极值，求 的值，并讨论 的单调性； （II）若 存在极值，求 的取值范围，并证明所有极值之和大于 ． 22．请考生在 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．Ａ（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 如图，已知 是 的切线， 为切点， 是 的割线，与 交于 两点，圆心 在 的内部，点 是 的中点． （Ⅰ）证明 四点共圆； （Ⅱ）求 的大小． 22．Ｂ（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 和 的极坐标方程分别为 ． （Ⅰ）把 和 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求经过 ， 交点的直线的直角坐标方程． 22．Ｃ（本小题满分10分）选修 ；不等式选讲 设函数 ． （I）解不等式 ； （II）求函数 的最小值． 2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案 一、选择题 1．Ｃ 2．Ｄ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｃ 7．Ｄ 8．Ｂ 9．Ｃ 10．Ｄ 11．Ｂ 12．Ｂ 二、填空题 13． 14． 15． 16．240 三、解答题 17．解：在 中， ． 由正弦定理得 ． 所以 ． 在 中， ． 18．证明： （Ⅰ）由题设 ，连结 ， 为等腰直角三角形，所以 ，且 ，又 为等腰三角形，故 ，且 ，从而 ． 所以 为直角三角形， ． 又 ． 所以 平面 ． （Ⅱ）解法一： 取 中点 ，连结 ，由（Ⅰ）知 ，得 ． 为二面角 的平面角． 由 得 平面 ． 所以 ，又 ， 故 ． 所以二面角 的余弦值为 ． 解法二： 以 为坐标原点，射线 分别为 轴、 轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系 ． 设 ，则 ． 的中点 ， ． ． 故 等于二面角 的平面角． ， 所以二面角 的余弦值为 ． 19．解：（Ⅰ）由已知条件，直线 的方程为 ， 代入椭圆方程得 ． 整理得 　　　① 直线 与椭圆有两个不同的交点 和 等价于 ， 解得 或 ．即 的取值范围为 ． （Ⅱ）设 ，则 ， 由方程①， ．　　　② 又 ．　　　　③ 而 ． 所以 与 共线等价于 ， 将②③代入上式，解得 ． 由（Ⅰ）知 或 ，故没有符合题意的常数 ． 20．解： 每个点落入 中的概率均为 ． 依题意知 ． （Ⅰ） ． （Ⅱ）依题意所求概率为 ， ． 21．解： （Ⅰ） ， 依题意有 ，故 ． 从而 ． 的定义域为 ，当 时， ； 当 时， ； 当 时， ． 从而， 分别在区间 单调增加，在区间 单调减少． （Ⅱ） 的定义域为 ， ． 方程 的判别式 ． （ⅰ）若 ，即 ，在 的定义域内 ，故 的极值． （ⅱ）若 ，则 或 ． 若 ， ， ． 当 时， ，当 时， ，所以 无极值． 若 ， ， ， 也无极值． （ⅲ）若 ，即 或 ，则 有两个不同的实根 ， ． 当 时， ，从而 有 的定义域内没有零点，故 无极值． 当 时， ， ， 在 的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知 在 取得极值． 综上， 存在极值时， 的取值范围为 ． 的极值之和为 ． 22．Ａ （Ⅰ）证明：连结 ． 因为 与 相切于点 ，所以 ． 因为 是 的弦 的中点，所以 ． 于是 ． 由圆心 在 的内部，可知四边形 的对角互补，所以 四点共圆． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 四点共圆，所以 ． 由（Ⅰ）得 ． 由圆心 在 的内部，可知 ． 所以 ． 22．Ｂ 解：以极点为原点，极轴为 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位． （Ⅰ） ， ，由 得 ． 所以 ． 即 为 的直角坐标方程． 同理 为 的直角坐标方程． （Ⅱ）由 解得 ． 即 ， 交于点 和 ．过交点的直线的直角坐标方程为 ． 22．Ｃ解： （Ⅰ）令 ，则 ．．．．．．．．．．．．．．．3分 作出函数 的图象，它与直线 的交点为 和 ． 所以 的解集为 ． （Ⅱ）由函数 的图像可知，当 时， 取得最小值 ．