方程和方程组的应用

机会机会更加快换个 方程和方程组的应用 ◆知识讲解1．行程问题的几种类型及等量关系: （1）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程． （2）追及问题：若甲为快者，则被追路程=甲走的路程－乙走的路程． （3）流水问题：船速+水速，逆流航速=船速－水速． 2．工程问题的基本等量关系: 甲的工作量+乙的工作量=甲乙合作的工作总量，工程问题通常把总工作量看作“1”，解工程问题的关键是先找出单位时间内的工作效率． 3．浓度问题的基本等量关系: 浓度= ×100% 溶液质量=溶质质量+溶剂质量． 4．问题的等量关系: n位数 =a1×10n－1+a2×10n－2+…+an． 5．增长率等量关系: 增长率=（增量÷基础量）×100%． 6．利润问题: 利润=销售价－进货价；利润率= ； 销售价=（1+利润率）×进货价． 7．利息问题: 利息=本金×利率×期数； 本息和=本金+利息． 8．其他经济类问 ◆例题解析 例1 某超市对顾客实行优惠购物，如下： （1）若一次购物少于200元，则不予优惠； （2）若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠； （3）若一次购物超过500元，其中500元以下部分（包括500元）给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠． 小李两次去该超市购物，分别付款198元和554元，现在小张决定一次性地购买和小李分两次购买同样多的物品，他需付多少元？ 例2 某通信器材商场，计划用60000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求，已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为甲种手机每部1800元，乙种手机每部600元，丙种手机每部1200元． （1）若商场同时购进其中两种不同型号的手机共40部，并将60000元恰好用完，请你帮助商场计算一下如何购买； （2）若商场同时购进三种不同型号的手机共40部，并将60000元恰好用完，并且要求乙种型号手机的购买数量不少于6部且不多于8部，请你求出商场每种型号的手机的购买数量． 例3 为了营造人与自然和谐共处的生态环境，某市近年加快实施城乡绿化一体化工程，创建国家城市绿化一体化城市．某校甲，乙两班师生前往郊区参加植树活动．已知甲班每天比乙班少种10棵树，甲班种150棵树所用的天数比乙班种120棵树所用的天数多2天，求甲，乙两班每天各植树多少棵？ ◆强化训练 一、填空题 1．某班学生为希望工程共捐款131元，比每人平均2元还多35元，设这个班的学生有x人，根据题意，列方程为_______． 2．一种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，那么平均每次降价的百分率是_______． 3．轮船顺水航行40km所需的时间和逆水航行30km所需的时间相同，已知水流速度为3km/h，设轮船在静水中的速度xkm/h，可列方程_______． 4．杉杉打火机厂生产某种型号的打火机．每只的成本为2元，毛利润为25%．工厂通过改进工艺，降低成本，在售价不变的情况下，毛利率增加了15%，则这种打火机每只的成本降低了_____元（精确到0.01元，毛利率= ×100%）． 5．高温煅烧石灰石（CCO3）可以制取生石灰（CaO）和二氧化碳（CO2），如果不考虑杂质及损耗，生产生石灰14t就需要煅烧石灰石25t．那么生产生石灰224t，需要石灰石_______t． 6．为了绿色北京，北京市在执行严格的机动车尾气排放标准，同时正在不断设法减少工业及民用燃料所造成的污染．随着每年10亿m3的天然气输到北京，北京每年将少烧300万t煤，这样，到2006年底，北京的空气质量将会基本达到发达国家城市水平．某单位1个月用煤30t，若改用天然气，1年大约要用_______m2的天然气． 7．李明计划在一定日期内读完200页的一本书，读了5天后改变了计划，每天多读5页，结果提前一天读完，求他原计划平均每天读几页书． 解题方案 设李明原计划平均每天读书x页，用含x的代数式表示： （1）李明原计划读完这本书需用_____天； （2）改变计划时，已读了_____页，还剩____页； （3）读了5天后，每天多读5页，读完剩余部分还需______天； （4）根据问题中的相等关系，列出相应方程________； （5）李明原计划平均每天读书_______页（用数字作答）． 8．依法纳税是公民应尽的义务，根据我国税法规定，工资所得不超过1600元不必纳税，超过1600元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表累加计算： 全月应纳税所得额 税率 不超过500元部分 5% 超过500元至2000元的部分 10% 超过2000元至5000元的部分 15% …… … 某人本月纳税150.1元，则他本月的工资收入为______元． 二、选择题 9．一件商品按成本价提高40%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为240元．设这件商品的成本价为x元，根据题意，下面所列的方程正确的是（ ） A．x×40%×80%=240 B．x（1+40%）×80%=240 C．240×40%×80%=x D．x×40%=240×80% 10．刘刚同学买了两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元和2元，共用10元，设刘刚买的两种贺卡分别为x张，y张，则下面的方程组正确的是（ ）A． B． C． D． 11．小萍要在一幅长90cm，宽40cm的风景画的四周外围，镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图（图4－5），使风景画的面积是整个挂图面积的54%．设金色纸边的宽为xcm，根据题意所列方程为（ ） A．（90+x）（40+x）×54%=90×40 B．（90+2x）（40+2x）×54%=90×40 C．（90+x）（40+2x）×54%=90×40 D．（90+2x）（40+x）×54%=90×40 12．某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份的利润是25万元，若利润平均月增长率为x，则依题意列方程为（ ）A．25（1+x）2=82.75 B．25+50x=82.75 C．25+75x=82.75 D．25[1+（1+x）+（1+x）]=82.75 14．古代有这样一个寓言故事：驴和骡子一同走，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重的．驴抱怨负担太重，骡子说：“你抱怨干吗？如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多！”那么驴原来所驮货物的袋数是（ ）A．5 B．6 C．7 D．8 15．A，B两地相距450km，甲，乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，已知甲车速度为120km/h，乙车速度为80km/h，经过th两车相距50km，则t的值是（ ）A．2或2.5B．2或0 C．10或12.5 D．2或12.5 三、解答题 17． 2004年年底，东南亚地区发生海啸，给当地人民带来了极大的灾难，听到这个消息，某校初中毕业班中的30名同学踊跃捐款，支援灾区人民．其中女同学共捐款150元，男同学共捐款120元，男同学比女同学平均每人少捐款2元，男，女同学平均每人各捐款多少元？ 18．某皮鞋专卖店老板对第一季度男女皮鞋的销售收入进行统计，并绘制了扇形统计图（图4－6），由于三月份开展促销活动，男，女皮鞋的销售收入分别比二月份增长了40%，64%，已知第一季度男女皮鞋的销售总收入为200万元． （1）一月份销售收入___万元，二月份销售收入____万元，三月份销售收入____万元； （2）二月份男，女皮鞋的销售收入各是多少万元？ 20．武汉江汉一桥维修工程中，拟由甲，乙两个工程队共同完成某项目．从两个工程队的资料可以知道：若两个工程队合做24天恰好完成；若两个工程队合做18天后，甲工程队再单独做10天，也恰好完成．请问： （1）甲，乙两个工程队单独完成该项目各需多少天？ （2）又已知甲工程队每天的施工费为0.6万元，乙工程队每天的施工费为0.35万元，要使该项目总的施工费不超过22万元，则乙工程队最少施工多少天？ 21． “爱心”帐篷集团的总厂和分厂分别位于甲，乙两市，两厂原来每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，该集团决定在一周内赶制出这批帐篷．为此，全体职工加班加点，总厂和分厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍，1.5倍，恰好按时完成了这项任务． （1）在赶制帐篷的一周内，总厂和分厂各生产帐篷多少千顶？ （2）现要将这批帐篷用卡车一次性运送到该地震灾区的A，B两地，由于两市通往A，B两地道路的路况不同，卡车的运载量也不同，已知运送帐篷每千顶所需的车辆数，两地所急需的帐篷数如表所示： A地 B地 每千顶帐篷 所需车辆数 甲市 4 7 乙市 3 5 所急需帐篷数（单位：千顶） 9 5 请一种运送方案，使所需的车辆总数最少．说明理由，并求出最少车辆总数． 1．2x+35=131 2．10% 3． = 4．0.21 5．400 6．1.2×105 7．（1） （2）5x，200－5x （3） （4） －（ +5）=1 （5）20 8．3101 9．B 10．D 11．B 12．D 13．A 14．A 15．A 16．A 17．设男同学平均每人捐款x元，则女同学平均每人捐款为（x+2）元 依题得： =30 化简得：x2－7x－8=0 解之得x=－1或x=8 经检验它们都是原方程的根，但x=－1<0（舍去） 答：男同学平均每人捐款8元，女同学平均每人捐款10元． 18．（1）50；60；90 （2）解：设二月份男，女皮鞋的销售收入分别为x万元，y万元，根据题意，得 解得 答：二月份男，女皮鞋的销售收入分别为35万元，25万元． 19．设小明家去年种植菠萝的收入为x元，投资y元，依题意，得 解方程组，得 ∴小明家今年菠萝的收入应为： （1+35%）x=1.35×12000=16200元 20．（1）设甲工程队单独完成该项目需x天，乙工程队单独完成该项目需y天． 依题意得 ，解之得 经检验 是原方程的解，并且符合题意． 答：甲，乙两工程队单独完成此项目各需40天，60天． （2）设甲工程队施工a天，乙工程队施工b天时总的施工费用不超过22万元， 根据题意得 解之得b≥40 答：要使该项目总的施工费用不超过22万元，乙工程队最少施工40天． 21．（1）设总厂原来每周制作帐篷x千顶，分厂原来每周制作帐篷y千顶． 由题意，得 解得 所以1.6x=8（千顶），1.5y=6（千顶）． 答：在赶制帐篷的一周内，总厂，分厂各生产帐篷8千顶，6千顶． （2）设从（甲市）总厂调配m千顶帐篷到灾区的A地，则总厂调配到灾区B地的帐篷为（8－m）千顶，（乙市）分厂调配到灾区，A，B两地的帐篷分别为（9－m）千顶和（m－3）千顶．甲，乙两市所需运送帐篷的车辆总数为n辆． 由题意，得n=4m+7（8－m）+3（9－m）+5（m－3）（3≤m≤8）， 即n=－m+68（3≤m≤8）． 因为－1<0，所以n随m的增大而减小． 所以，当m=8时，n有最小值60． 答：从总厂运送到灾区A地帐篷8千顶，从分厂运送到灾区A，B两地帐篷分别为1千顶，5千顶时所用车辆最少，最少的车辆为60辆． 22．设抢修车的速度为xkm/h，则吉普车的速度为1．5xkm/h． 由题意得 ，解得x=20． 经检验，x=20是原方程的解，且x=20，1.5x=30都符合题意． 答：抢修车的速度为20km/h，吉普车的速度为30km/h．