04海南师范大学高等代数

2004年海南师范学院硕士研究生入学考试 高 等 代 数 试题 （试卷满分 150分，考试时间 180分钟） 1.（10分）计算行列式 βα αββα βα αββα αββα + + + + + = 10 0 00 00 0010 00 000 1 L L LLLL L LL L L nD 2.（10分）讨论λ取什么值时，下列方程组有解，并在有解的情况下求出其解. ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =++ =++ =++ 2 321 321 321 1 λλ λλ λ xxx xxx xxx 3.（10分）求一次数最低的有理系数多项式 ( )xf ，使它以 2−x 为 2重根. 4.（10分）用非退化线性替换化下列二次型为标准形： 323121 224 xxxxxx ++− . 5.（10分）设三维线性空间V 上的线性变换ϕ在基 321 ααα ,, 下的矩阵为 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A 求ϕ在基 3212 αααα ,, + 下的矩阵. 6.（10 分）设矩阵 ，矩阵 ，式中 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −= 010 110 201 A EAAAAB 432 2458 −−+−= E 为 单位矩阵，求行列式 B 之值. 7. （10分）设 nnP × 的一个子空间 ( ) { }nnnn PA,ABPBAS ×× ∈=∈= 0 . 已知秩 ， 求 的维数. ( ) rA = ( )AS 8.（16分）设 ( ) ( )xg,xf 是数域 P上的两个不同的多项式，记 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]{ }xPxv,xuxgxvxfxuM ∈+= . 若 是( )xd M 中次数最低且首项系数为 1的多项式，则 ( ) ( ) ( )( )xg,xfxd = . 9.（16分）设 为实对称矩阵，A B为实反对称矩阵，且 BAAB = ， BA − 非退化. 证明： ( )( ) 1−−+ BABA 是正交矩阵. 10.（16分）设ϕ是有限维线性空间V 的一个线性变换，证明：对于V 的任意一个子空 间W ，有 ( ) ( ) WWW 维=维维 + − I01ϕϕ . 11.（16 分）设 ( ) [ ] nnPA,Pf ×∈∈ λλ . 证明：存在唯一的 λ -矩阵 ( )λQ 及数字矩阵 ，使nnPU ×∈ ( ) ( ) ( ) ( )( ) UAEQUQAEEf +−=+−= λλλλλ . 12.（16分）设 与 都是实对称矩阵，B,A AB λ是 的一个特征根. 证明：存在 的一 个特征根 AB A s与 B的一个特征根 ，使t st=λ . 考生注意事项： 1、 答案请按题号顺序全部写在答题纸上，试卷或其他地方答题无效。 2、 考试结束，将试题连同答题纸一起交监考老师后，方可离开考场。