华东师范大学（代数）

华东师范大学 2007 年攻读硕士学位研究生入学试题 考试科目代码及名称：高等代数 417 招生专业： 考生注意： 无论以下试题中是否有答题位置，均应将答案做在考场另发的答题纸上（写明题号） 以下， E表示单位矩阵， A′表示 A的转置， *A 表示 A的伴随矩阵。 第一部分 选择题、是非题、填空题：（15*4=60分） 1．设 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3,2,4,,7,3,1,4,7,4,1,2,1,1,1,1,2 321321 −= )=−=−=−=−= aa βββααα 如 果向量组{ }321 ,, ααα 与向量组{ }321 ,, βββ 的秩相等，则 =a 2．设V 是由数域F 上全体四次三元对称多项式所生成的F 上的线性空间，则 =Fdim 3．设 A是一个 阶方阵，满足n AA =2 ，则 )( EArankrankA −+ （ ） (A) 大于 (B)等于 (C) 小于 (D)无法确定 n n n 4．设 A是由数域 F 上 维线性空间V 的一个线性变换，则 的充分必要 条件是 n )0(1−⊕= AAVV .)0(dimdim 1 nAAV =+ − 5．设 A是由复数域 F 上一个 n阶方阵，如果与 A相似的矩阵只有 A本身，则 A一定是一 个 矩阵。 6．已知 都是 阶方阵，如果CBA ,, n EABC = ，则下列等式 EACBEBACECABECBAEBCA ===== ,,,, 中一定成立的有（ ）个。 (A) 1； (B)2； (C) 3； (D)4。 7．设向量组 )3(,,, 121 ≥− ssααα " 线性无关，向量组 sααα ,,, 32 " 线性相关，则（ ） (A) 1α 可被 sααα ,,, 32 " 线性表示， sα 可被 121 ,,, −sααα " 线性表示； (B) 1α 可被 sααα ,,, 32 " 线性表示， sα 不可被 121 ,,, −sααα " 线性表示； (C) 1α 不可被 sααα ,,, 32 " 线性表示， sα 可被 121 ,,, −sααα " 线性表示； (D) 1α 不可被 sααα ,,, 32 " 线性表示， sα 不可被 121 ,,, −sααα " 线性表示。 8． 阶方阵n A可对角化的充分必要条件是 ． 9．矩阵 的逆矩阵是 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 211 121 112 A ． 10．两个实对称矩阵 A 与 B 相似的充分必要条件是 A 与 B 有相同的特征多项 式． （ ） 11．设 A是 阶矩阵，下列命题正确的是（ ） nm× (A)若 ，则nrankA = BAX = 有唯一解； (B) 若 nrankA < ，则 BAX = 有无穷多解； (C)若 ( ) mBArank = ，则 BAX = 有解； (D) 若 mrankA = ，则 BAX = 有解。 12．如果多项式 在有理数域 上可约，则1)( 3 −+= axxxf Q =a 13．当实数 =t 时，多项式 有重根。 23 +− txx 14． ，则使 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− − = 120 222 023 A tEA+ 正定的实数的取值范围是 15．设 3阶矩阵 )( ijaA = 的特征值为 1，—1，2， 为 的代数余子式，则 ijA ija =++ 332211 AAA 第二部分 计算题、证明题 （共 7题，共 90分） 16．（10分）计算行列式 . 111 21 11 2 1 1 33 2 3 1 22 2 2 1 21 n n nn n n nn n n nn n n n xxx xxx xxx xxx xxx D " " " #%## " " " −−− −−− = 17．（15分）试求矩阵 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − − = 1314 3503 0011 0013 A 特征多项式、最小多项式和若当典范形（Jordan canonical form）. 18．（10分）设 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 111 111 111 A 试求矩阵 B，使 AB =* 。 19．（15分）设 A为 阶方阵 n （1） 证明：如果 A为实矩阵，则非齐次线性方程组 BAAXA ′=′ 有解； （2） 对任意的复矩阵 A，非齐次线性方程组 BAAXA ′=′ 是否一定有解？（请 说明理由） 20．（12分）设 为正定矩阵，其中⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ′ DB BA A为 阶方阵，D为 阶方阵，m n B为 阶矩阵。证明 nm× A， 与D BABD 1−′− 都是正定矩阵。 21．（14分）设{ }mααα ,,, 21 " 与{ }mβββ ,,, 21 " 为两个向量组 证明：向量组{ }mααα ,,, 21 " 与{ }mβββ ,,, 21 " 等价的充分必要条件是存在可逆 矩阵 P，使 ( ) ( .,,,,,, 2121 mm P )βββααα "" = 22．（14分）设 A为正定矩阵，证明：存在唯一的正定矩阵 B，使 .2 AB =