华东师范大学（分析）

华东师范大学 2007 年攻读硕士学位研究生入学试题 考试科目代码及名称：数学分析 626 招生专业： 考生注意： 无论以下试题中是否有答题位置，均应将答案做在考场另发的答题纸上（写明题号） 一、判别题（5*6=30分）（正确的说明理由，错误的举出反例） 1． 设 在 的领域 内有定义且有界。若 不存在，则存在数列)(xf 0x )( 0xU )(lim 0 xf xx→ { } { } )(),( 00 xUyxUx nn ⊂⊂ ，使得 0limlim xyx nnnn == ∞→∞→ ，而 和 都存在但不相等。 )(lim nn xf∞→ )(lim nn yf∞→ 2．设 在 上可导，且)(xf ),( ba )(xf ′ 在 上有界，则 在 上有界。 ),( ba )(xf ),( ba 3．设数项级数∑ 收敛，则级数∑ 亦收敛。 ∞ =1n na ∞ =1 2 n na 4．设 在 上有连续的导函数，)(xf [ ba, ] [ ] ( ) .0)()(,,, ==−⊂ bfafba ππ 若 ∫∫ ==== banban nnxdxxfBnnxdxxfA ,2,1,sin)(1;2,1,0,cos)(1 "" ππ 则 对 任 意 [ ] .)sincos( 2 )(,, 1 0 ∑∞ = ++=∈ n nn nxBnxA Axfbax 5． 设 在 上连续，且),( yxf ),( 00 yx ,0),(),( 0000 == yxfyxf yx 则 在 上可微。 ),( yxf ),( 00 yx 二、计算题 （8*5=40分）（计算应包括必要的计算步骤） 1． . 2sin sin1tan1lim 20 xx xx x +−+ → 2． ∫ +20 2222 cossin π xbxa dx ，其中 为非零常数。 ba, 3．求幂级数∑∞ = + +−1 12 12 )1( n n n n x 的收敛域与和函数。 4．设 在)(xf ),( ∞−∞ 上有连续的二阶导函数， ).()( x yyf y xxfz += 求： .,, 2 yx z y z x z ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 5．求 ∫∫S zdS ，其中 是球面 被平面S 2222 azyx =++ )0(, ahhz <<= 截得的球冠 部分。 三、证明题（16*5=80分） 1．设{ 是一列有界的正实数列，}na { }.,,sup 21 "aaa = 求证： .)(lim 1 21 aaaa n n n nn n =+++∞→ " 2．设 是定义在 [ 上的函数，满足条件：对任意)(xf ]ba, [ ]bax ,0 ∈ ，存在 0,0 00 >> xx εδ 使得在 ( ) [ ]baxx xx ,, 00 00 ∩+− δδ 上有 0)( xxf ε> 求证：存在 0>ε 使得在 [ 上有]ba, .)( ε>xf 3．设 是定义在 上的连续函数，且 收敛，若含参量反常积分 在 )(xf ),( ∞−∞ ∫+∞0 )( dxxf ∫+∞ += 0 )()( dxyxfyI ),( ∞−∞ 上一致收敛。 求证：对任意 ，),( ∞−∞∈x .0)( =xf 4．设{ 是定义在 [ 上的连续函数列，且 } ])(xfn 1,1− （1） ;1)(lim 1 1 =∫−∞→ dxxfnn （2）对任意 )(,0 xfn>δ 在 [ ] [ ]1,,1 δδ ∪−− 上一致收敛于零。 求证：对任意 [ 上连续函数 ， ]1,1− )(xg ).0()()(lim 1 1 gdxxgxfnn =∫−∞→ 5．设 在),( yxf { }1:),( 22 ≤+= yxyxD 上有连续的偏导数，且在 { }1:),( 22 =+= yxyxT 上恒为零。 求证： .max 3 ),( 2 1 22 ),( ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂≤ ∈∫∫ yfxfdxdyyxf DyxD π