线性代数中的反问题

第 15 卷第 2 期 河南教育学院学报 (自然科学版) Vol. 15 No. 2 2 0 0 6 年 6 月 Journal of Henan Institute of Education (Natural Science) Jun. 2006 收稿日期 :2005 - 09 - 28 作者简介 :田立平 (1963 —) ,男 ,河北唐山人 ,理学硕士 ,北京物资学院基础部教授 ,研究方向为应用泛函. 线性代数中的反问 田立平 , 王莲花 , 谢　斌 (北京物资学院 基础部 , 北京 101149) 　　摘要 :本文就线性代数中几个重要知识点 :矩阵、行列式、线性方程组、线性变换、矩阵对角化等中的反问题进 行了研究. 关键词 :反问题 ; 矩阵 ; 线性方程组 ; 特征值 ; 特征向量 中图分类号 :O151. 2 　　　　文献标识码 :A 　　　　文章编号 :1007 - 0834(2006) 02 - 0001 - 03 　　线性代数中的确出现了很多的反问题[1 ,2 ] ,反 问题的出现正是教与学的难点所在. 研究反问题对 教与学 ,无论是对知识点概念的理解还是对思维能 力的提高都有很好的作用. 本文就线性代数里的几 个重要知识点中的反问题给出证明、归纳和例子. 1 　矩阵中的反问题举例 正问题 :已知一个方阵 A n ×n ,假设 A 可逆 ,则 可求 A - 1和 A 3 ; 反问题 :已知或 A - 1或 A 3 ,又如何求 A 呢 ? 例 1 　已知 A - 1求 A . 原理 :根据 ( A - 1 ) - 1 = A 即只需求 A - 1 的逆 矩阵. 例 2 　已知 A 3 求 A . 由 A - 1 = 1A A 3 知 , 只要求出 A , 则可求出 A - 1 ,从而可求 A . 而由 A 3 = A n - 1 ,可求出 A ,从而通过 A - 1可 求 A . 2 　行列式中的反问题举例 正问题 :若已知一个 n 阶方阵 A = ( aij) n ×n ,则 可求 A , A ij ,其中 A ij为 aij的代数余子式. 反问题 :若不给出 A n ×n的具体阵 ,只给出一些 附加信息 ,如何求 A n ×n 呢 ? 例　设 A3 ×3 ,且 A ij = aij , a11 ≠0 ,求 A . 解　由 Aij = aij ] A 3 = AT ] A 3 = AT ] A 2 = A ] A = 0 或 A = 1 而 A = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 = a211 + a212 + a213 > 0 　( a11 ≠0) 　∴　A = 1. 3 　线性方程组中的反问题 正问题 :一般情况下 , 给出线性齐次方程组 AX = 0 或非齐次线性方程组 AX = b ,在判定出方程 组有解的情况下 ,可以求出齐次或非齐次线性方程 组的通解. 反问题 :给出 Am ×nX = 0 或 Am ×nX = b 的通解 , 如何求对应的齐次线性方程组呢 ? 原理 : ( Ⅰ) 设所给的齐次线性方程组的通解为 X ,由求正解的过程 AX = 0 ] XTA T = 0 T 所以求 AX = 0 只需求 A 即可 ,而求 A 只需求 A T 即可. 故可以将所给的通解中的向量以行的形式写成 矩阵 ,即为 XT ,亦即为 XTA T = 0 中的 XT. 以它作为 新的系数矩阵去求它对应齐次线性方程组的基础解 系中的解向量 ,将这些解向量以行向量写成矩阵的 形式. 即为所求的 A ,从而可得 Am ×nX = 0. ( Ⅱ) 若为线性非齐次方程组 ,则和上述一 样 ,根据给出通解的结构 ,先求出 Am ×n X = 0 ,再将 所给特解 Y 3 代入 Am ×nX = b 中 ,则可得 b ,从而可 得 Am ×nX = b. 例 　设方程组 AX = 0 的通解为 k1 1 0 1 + k2 0 1 - 1 , k1 , k2 ∈R , 试求该线性方 ·1· © 1994-2011 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 程组. 解　设 XT = 1 0 1 0 1 - 1 ,则 r ( XT) = 2 由于方程组是 3 个未知数 ,故 1 0 1 0 1 - 1 X = 0 的 基础解系只有一个解向量. 令 x3 = 1 ,则由 x1 = - x3 x2 = x3 　知 x1 = - 1 x2 = 1 x3 = 1 故ξ= - 1 1 1 故所求的线性方程组为 - x1 + x2 + x3 = 0 或 x1 - x2 - x3 = 0. 4 　有关矩阵的线性变换的反问题 正问题 :一般给出一个矩阵 A 和所要求的线性 变换 ,求 A 按要求作线性变换后所得的矩阵 B . 反问题 :给出矩阵 A 和 A 经过某些变换后所得 的矩阵 B ,要求所作的变换矩阵 P , Q 或给出矩阵 A 和 P , Q 及变换后所得的矩阵 B ,要求写出 A , P , Q , B 之间的关系等式. 原理 :利用矩阵的初等变换和初等矩阵之间的 关系 ,即对 A 实行一次行 (列) 初等变换相当于在 A 的左 (右) 端乘以相应的初等矩阵. 例　设 A = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 , A 经过初等变换 后得到的矩阵为 : B = a21 a22 + ka23 a23 a31 a32 + ka33 a33 a11 a12 + ka13 a13 求可逆矩阵 P1 , P2 , 并说明 A , P1 , P2 , B 之间的 关系. 解　设 P1 = 0 1 0 0 0 1 1 0 0 , P2 = 1 0 0 0 1 0 0 k 1 则有 P1 A P2 = B 或 A = P - 11 B P - 12 . 5 　方阵的对角化方面的反问题 正问题 :一般给出 n 阶方阵A ,则可求 A 的特征 值、特征向量 ,从而可判别 A 可否对角化. 反问题 :不给出 n 阶方阵 A ,或 A 中有未知参 数 ,只给出 A 的有关特征值或特征向量的某些信 息 ,来求 A . 原理 :若已知矩阵 A ,则可由 λE - A = 0 求特 征值λ,从而由 (λE - A) X = 0 求λ所对应的特征 向量. 若 A 可对角化 ,即存在可逆阵 P 使 P - 1 A P = Λ,其中 Λ中的主对角线上的元素即为 A 的特征 值 ,从而 A = pΛP - 1 ,从而可达到求 A 的目的. 例 1 　已知ξ= 1 1 - 1 　是 A = 2 - 1 2 5 a 3 - 1 b - 2 的一个特征向量. (1) 确定 a , b 及ξ对应的特征值 ; (2) A 能否相似于对角阵 ? 说明理由. 解　设ξ对应的特征值为λ,可知 Aξ=λξ,将 ξ= 1 1 - 1 代 入 , 得 到 - 1 2 + a b + 1 = λ 1 1 - λ , 得 到 a = - 3 , b = 0 ,λ= - 1. 由特征方程 λE - A = 0 ,解得λ= - 1 是三重 根 ,代入 (λE - A) X = 0 中解得唯一特征向量ξ,故 A 没有线性无关的三个特征向量 , 所以 A 不能对 角化. 例 2 　设 A = a - 1 c 5 b 3 1 - c 0 - a ,且 A = - 1 , 又 A 3 有一个特征值λ0 ,且属于λ0 的一个特征向量 α= ( - 1 , - 1 ,1) T ,求 a , b , c 及λ0 的值. 解　由 AA 3 = A E ] AA 3α= A α ] Aλ0α= A α] Aα= | A |λ0 α 由 A = - 1 , 把 α = ( - 1 , - 1 , 1 ) T 代入得 1 + c - a - 2 - b - 1 + c - a = - 1 λ0 - 1 - 1 1 ,得 a = c , b = - 3 ,代入 A 中求得 A = a - 3 = - 1 ] a = 2 从而得λ0 = 1. 例 3 　设三阶实对称阵 A 的特征值为λ1 = - 1 , λ2 =λ3 = 1 ,对应λ1 的特征向量ξ1 = 0 1 1 ,求 A . 解 　设属于特征值λ2 =λ3 = 1 的特征向量为 ξ= ( x1 , x2 , x3) T ,因为 A 为实对称矩阵 ,所以不同 特征值对应的特征向量相互正交 ,于是有ξTξ1 = 0 , 即 x2 + x3 = 0. 由此解得ξ2 = 1 0 0 ,ξ3 = 0 - 1 1 , 又由 A (ξ1 ,ξ2 ,ξ3) = (Aξ1 , Aξ2 , Aξ3) = ( - ξ1 ,ξ2 ,ξ3) A = ( - ξ1 ,ξ2 ,ξ3) (ξ1 ,ξ2 ,ξ3) - 1 = ·2· © 1994-2011 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 0 1 0 - 1 0 - 1 - 1 0 1 0 1 0 1 0 - 1 - 1 0 1 - 1 = 1 0 0 0 0 - 1 0 - 1 0 例 4 　已知三阶实对称阵 A 的三个特征值为 λ1 =λ2 = 1 ,λ3 = - 2 ,且其伴随阵 A 3 对应的特征值 λ0 = 1的一个特征向量是 α = ( 1 , - 1 , 1 ) T , 求 ( A 3 ) - 1及 ( A 3 ) - 1 + E . 解　A 3 的特征值为ξ= | A |λ (其中λ为 A 的特 征值 ,且 A =λ1λ2λ3 = - 2) 故 　ξ1 = - 2 ,ξ2 = - 2 ,λ0 = 1 设属于特征值ξ1 =ξ2 = - 2 的特征向量是η= ( x1 , x2 , x3) T ,因为 A 为实对称矩阵 ,所以不同特征 值对应特征向量相互正交 ,于是有ηTa = 0 ,即 x1 - x2 + x3 = 0 ,由此解得 η1 = 1 1 0 ,η2 = - 1 0 1 . 又由 A 3 (η1 ,η2 , a) ( A 3η1 , A 3η2 , A 3a ) = ( - 2η1 , - 2η2 , a) 知 A 3 = ( - 2η1 , - 2η2 , a) (η1 ,η2 , a) - 1 = - 2 2 1 - 2 0 - 1 0 2 1 1 - 1 1 1 0 - 1 0 1 1 - 1 = - 2 2 1 - 2 0 - 1 0 2 1 1 3 2 3 1 3 - 1 3 1 3 2 3 1 3 - 1 3 1 3 = - 1 - 1 1 - 1 - 1 - 1 - 1 3 1 3 5 3 ( A 3 ) - 1 = 1 - 32 - 32- 32 1 32 1 2 - 1 2 0 ( A 3 ) - 1的特征值为μ= 1ξ ,即 μ1 = - 12 ,μ2 = - 1 2 ,μ3 = 1 , 故 ( A 3 ) - 1 + E 的特征值为 12 , 12 ,2 ,故 ( A 3 ) - 1 + E = 12 . 参 考 文 献 [1 ] 　钱吉林. 高等代数题解精粹[M] . 北京 :中央民族大学出版社 , 2002. [2 ] 　陈文灯 ,黄先开 ,等. 数学复习指南[M] . 北京 :世界图书出版公 司 ,2005. Inverse Problem on Linear Algebra TIAN Li-ping , WANGLian-hua , XIE Bin ( Basic Course Department , Beijing Materials Institute , Beijing 101149 , China) Abstract :The inverse problem are researched on matrix , determinant , system of linear equations , linear transformation , diagonalization of matrix ,and so on. Key words :inverse problem ; matrix ; system of linear equations ; characteristic value ; characteristic vector ·3· © 1994-2011 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net