一些经典初等数学模型

中央广播电视大学“开放教育试点” 初等数学模型 本章重点是：雨中行走问题、动物的身长与体重、实物交换、代表名额的分配与森林救火模型的建立过程和所使用的方法 复习要求 1．进一步理解基本建模过程，掌握类比法、图示法以及问题分析、合理假设的内涵。 2．进一步理解数学模型的作用与特点。 类比法是建立数学模型的一个常见而有力的方法.作法是把问题归结或转化为我们熟知的模型上去给以类似的解决：这个问题与我们熟悉的什么问题类似?如果有类似的问题曾被解决过，我们的建模工作便可省去许多麻烦.实际上，许多来自不同领域的问题在数学模型上看确实具有相类似的甚至相同的结构. 利用几何图示法建模.有不少实际问题的解决只要从几何上给予解释和说明就足以了，这时，我们只需建立其图模型即可，我们称这种建模方法为图示法.这种方法既简单又直观，且其应用面很宽. 1．雨中行走问题 雨中行走问题的结论是： （1）如果雨是迎着你前进的方向落下，即 ，那么全身被淋的雨水总量为 这时的最优行走策略是以尽可能大的速度向前跑. （2）如果雨是从你的背后落下，即 . 令 ，则 . 那么全身被淋的雨水总量为 这时你应该控制在雨中行走的速度，使得它恰好等于雨滴下落速度的水平分量. 从建模结果看，“为了少些淋雨，应该快跑”，这个一般的“常识”被基本上否定，那么根据何在？由此提出了建模目的：减少雨淋程度. 而为减少雨淋程度，便自然提出“被淋在身上的雨水量”这个目标函数C，而C=C（v），于是问题便归结为确定速度v，使C（v）最小——本模型的关键建模步骤便得以确定。 有了确定的建模目的，自然引出与C（v）有关的量的设定与简化假设. 一般地，开始时不要面面俱到地把所有相关量都涉及到，往往只需考虑几个主要量，甚至暂时舍弃某个主要量，以求尽快建立模型.尤其对初学者，这样做有助于建模信心的增强.自不必说建模过程往往如此，更有模型尚有的进一步修改和推广的主要步骤.而一旦建立起简单模型后，其进一步的改善也相对容易多了.这就是本模型只所以建立了两个模型的原因，是符合人们的认识规律的. 另外，为了检验所建模型的合理性，建模后用较为符合实际的几组数据对模型加以检验是重要的，它既是对所建模型是否基本符合实际的检测，也是进一步完善模型的需要. 例1 在某海滨城市附近海面有一台风.据监测，当前台风中心位于城市O（如图2-1）的东偏南 方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向 西偏北 方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60km，并以10km/h的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受 到台风的侵袭？ 问题分析与假设 1. 根据问题解决目的：问几小时后该城市开始受到台风的侵 袭，以及台风侵袭的范围为圆形的假设，只要求出以台风中心 （动点）为圆心的圆的半径r，这个圆的半径划过的区域自然是侵 袭范围. 2. 台风中心是动的，移动方向为向西偏北 ，速度为20km/h，而当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，即半径的增加 速度为 ，t为时间.于是只要 ，便是城 图2-1 市O受到侵袭的开始. 模型I 如图2-2建立坐标系：以O为原点，正东方向 为x轴正向.在时刻t(h)台风中心 的坐标为 此时台风侵袭的区域是 其中r(t)=10t+60. 图2-2 若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有 即 整理可得 由此解得 12 t 24，即12小时后该城市开始受到台风的侵袭. 模型II 设在时刻t(h)台风中心为 （如图2-2），此时台风侵袭的圆形半径为10t+60，因此，若在时刻t城市O受到台风侵袭，应有 由余弦定理知 注意到 故 因此 即 解得 2．动物的身长与体重问题 在生猪收购站或屠宰场工作的人们，有时希望由生猪的身长估计它的体重.试建立数学模型讨论四足动物的躯干的长度（不含头、尾）与它的体重的关系， （1）问题分析 众所周知，不同种类的动物，其生理构造不尽相同，如果对此问题陷入对生物学复杂生理结构的研究，就很难得到我们所要求的具有应用价值的数学模型并导致问题的复杂化.因此，我们舍弃具体动物的生理结构讨论，仅借助力学的某些已知结果，采用类比方法建立四足动物的身长和体重关系的数学模型. 类比法是依据两个对象的已知的相似性，把其中一个对象的已知的特殊性质迁移到另一对象上去，从而获得另一个对象的性质的一种方法. 它是一种寻求解题思路、猜测问题答案或结论的发现的方法，而不是一种论证的方法，它是建立数学模型的一种常见的、重要的方法. 类比法的作用是启迪思维，帮助我们寻求解题的思路.，而它对建模者的要求是具有广博的知识，只有这样才能将你所研究的问题与某些已知的问题、某些已知的模型建立起联系. （2）模型假设与求解 我们知道对于生猪，其体重越大、躯干越长，其脊椎下陷越大，这与弹性梁类似. 为了简化问题，我们把动物的躯干看作圆柱体，设其长度为l、直径为d、断面面积为S（如图2—3）. 将这种圆柱体的躯干类比作一根支撑在四肢上的弹性梁，这样就可以借助力学的某些结果研究动物的身长与体重的关系. 设动物在自身体重（记为f）的作用下，躯干的最 大下垂度为b，即弹性梁的最大弯曲. 根据对弹性梁的 研究，可以知道 . 又由于 Sl(体积)，于是 . b是动物躯干的绝对下垂度，b/l是动物躯干的相对下垂度.b/l太大，四肢将无法支撑动物的躯干，b/l太小，四肢的材料和超过了支撑躯干的需要，无疑是一种浪费，因此，从生物学角度可以假定，经过长期进化，对于每一种动物而言，b/l已经达到其最适宜的数值，换句话说，b/l应视为与动物尺寸无关的常数，而只与动物的种类有关.因此 ， 又由于 ,故 . 即四足动物的体重与躯干长度的四次方成正比.这样，对于某种四足动物（如：生猪），根据统计数据确定上述比例系数k后，就可以依据上述模型，由躯干的长度估计出动物的体重了. （3）模型评注 在上述模型中，将动物的躯干类比作弹性梁是一个大胆的假设，其假设的合理性，模型的可信度应该用实际数据进行仔细检验.但这种思考问题、建立数学模型的方法是值得借鉴的.在上述问题中，如果不熟悉弹性梁、弹性力学的有关知识，就不可能把动物躯干类比作弹性梁，就不可能想到将动物躯干长度和体重的关系这样一个看来无从下手的问题，转化为已经有明确研究成果的弹性梁在自重作用下的挠曲问题. 例2 在中学数学中，通过类比推测或联想而发现新命题、新解法并不少见.诸如，由分数的性质类似地推测分式的性质；由直线与圆的位置关系推测圆与圆的位置关系；由一次函数、一次方程、一次不等式的某些性质和解法，推测二次函数、二次方程、二次不等式的某些类似的性质与解法等. 情形1 已知： 中， ，AC=BC=1，BD是AC 边上的中线，E点在AB边上，且 .求 的面积. 如图2-4，引 ，易证 类比 若去掉情形1中直角这一特性，是否会产生类似命题呢？ 由此想到 图2-4 情形2 已知 中(图2-5)， ，BD是 AC边上的中线，E点在AB上，且 ， ，求 . 类似情形1的证法，易证得 ；当 时， ，与情形1结果相同. 图2-5 类比 若保留情形1中的直角条件，去掉等腰三角形这一特殊性，可以类似地得到. 情形3 已知 中 ，AC=2BC=2，BD是AC边上中线， 交BD于H，求 . 同样可证 .这里，若在情形3中令AC=2BC=1，也有 ，与情形1结论相同；情形3是由情形1类比而来，最自然的想法是求 ，为了增加变换方式获得新命题，本情形求的是 . 3．实物交换问题 实物交换是人类发展史上一种重要的交换方式，在当今的社会生活中也是屡见不鲜的，这种实物交换问题可以出现在个人之间或国家之间的各种类型的贸易市场上. 例如：甲乙二人共进午餐，甲带了很多面包，乙有香肠若干，二人希望相互交换一部分，达到双方满意的结果.显然，交换的结果取决于双方对两种物品的偏爱程度和需要程度，而对于偏爱程度很难给出确切的定量关系.因此可以采用图示的方法建立实物交换的数学模型，确定实物交换的最佳交换. 下面依据等价交换准则确定最佳交换方案. 等价交 换准则是指两种物品用同一种货币衡量其价值，进行等 价交换. 不失一般性，设交换前甲占有数量为x0的物品X， 乙占有数量为y0的物品Y；交换后甲所占有的物品X， Y的数量分别记为x,y；单位数量的物品X，Y的价值 （价格）设为p1,p2.由等价交换准则，x,y满足方程 容易，在此直线上的点进行交换均满足等价交换 准则。在等价交换准则下双方均满意的交换方案必是此直线与曲线AB的交点（如图2—6）. 无差别曲线概念的提出是用图形方法建立实物交换模型的基础，确定这种曲线需要收集大量的数据，还可以研究无差别曲线的解析表达式及其性质. 例3 消费者的选择 在本章中讨论实物交换模型时，引进了无差别曲线描述人 们对两种物品的满意和偏爱程度，用图形的方法确定两个人进 行实物交换时应遵循的途径. 本例要利用无差别曲线族的概念 讨论，一个消费者用一定数额的钱去购买两种商品时应作怎样 的选择，即他应该分别用多少钱去买这两种商品. 记甲乙两种商品的数量分别是q1和q2，当消费者占有它们 时的满意程度，或者说它们给消费者带来的效用，用q1、q2 的 函数，记作U（q1,q2），经济学中称为效用函数（Utility function）. 图2-7 U（q1,q2）=c（常数）的图形就是无差别曲线族，如图2-7是一族单调降、下凸、互不相交的曲线.在每一条曲线上，对于不同的点，效用函数U（q1,q2）的值不变.而随着曲线向右上方移动，U（q1,q2）的值增加（图中l2上的U值高于l1上的U值）.曲线下凸的具体形状则反映了消费者对甲乙两种商品的偏爱情况.这里假定消费者的效用函数U（q1,q2），即他的无差别曲线族已经完全确定了. 设甲乙两种商品的单价分别是p1和p2（元），消费者有s(元)钱.当消费者用这些钱买这两种商品时所作的选择，即分别用多少钱买甲和乙，应该使效用函数U（q1,q2）达到最大，即得到最大的满意度.经济学上称这种最优状态为消费者平衡. 因为当消费者对两种商品的购买量分别为q1和q2时，他用的钱分别为p1q1和p1q2，于是问题归结为在条件 p1q1+p2q2=s (2.1) 下求比例p1q1/p2q2，使效用函数U（p1,q2）达到最大. 这是二元函数的条件极值问题，用拉格朗日乘子法不难得到最优解应满足 （2.2） 当效用函数U（q1,q2）给定后，由（2.2）式即可确定最优比例p1q1/p2q2. 上述问题也可用图形法求解.约束条件（2.1）在该图上是一条直线MN.MN必与无差别曲线族U（q1,q2）=c中的某一条曲线相切（图中是与l2相切），则q1,q2的最优值必在切点Q处取得. 图解法的结果与（2.2）式是一致的.因为在切点Q处直线MN与曲线l2的斜率相同，而MN的斜率是KMN=- p1/p2，l2的斜率是 ，在Q点处 ，即给出（2.2）式. 经济学中 ， 称为边际效用，即商品购买量增加一个单位时效用函数的增量.（2.2）式表明，消费者均衡状态在两种商品的边际效用之比恰等于它们的价格之比时达到. 从以上讨论可见，建立消费者均衡模型的关键是确定效用函数U（q1,q2）.下面列举几个常用的效用函数，并分析消费者均衡状态，即最优比例p1q1/p2q2的实际含义. （1）若效用函数为 （2.3） 根据（2.2）式可以求得最优比例p1q1/p2q2为 （2.4） 结果表明均衡状态下购买两种商品所用钱的比例，与商品价格比的平方根成正比.同时与效用函数U（q1,q2）中的参数α、β有关：α越大购买商品甲的钱越少，β越大购买商品甲的钱越多.这说明在（2.3）式给出的效用函数中，参数β和α分别表示消费者对商品甲和乙的偏爱程度.于是调整β和α可以改变消费者对两种商品的爱好倾向，或者说可以改变无差别曲线的具体形状. （2）若效用函数为 （2.5） 根据（2.2）式可以求得最优比例p1q1/p2q2为 （2.6） 这表明均衡状态下购买两种商品所用钱的比例与价格无关，而参数λ和μ分别表示消费者对商品甲和乙的偏爱程度. （3）设效用函数为 （2.7） 对（2.7）式的求解及结果分析留给读者. 应用这个模型时，可以根据上面的分析决定选用哪一种形式的效用函数，并由经验数据确定其参数. 4．代表名额的分配问题： （1）问题的提出 分配问题是日常生活中经常遇到的问题，它涉及到如何将有限的人力或其他资源以“完整的部分”分配到下属部门或各项不同任务中.分配问题涉及的内容十分广泛，例如：大到召开全国人民代表大会，小到某学校召开学生代表大会，均涉及到将代表名额分配到各个下属部门的问题.代表名额的分配（亦称为席位分配问题）是数学在人类政治生活中的一个重要应用，应归属于政治模型.一个自然的问题是如何分配代表名额才是公平的呢？ （2）模型的分析与建立 在数学上，代表名额分配问题的一般描述是：设名额数为N，共有s个单位，各单位的人数分别为pi,i=1,2,…,s.问题是如何寻找一组整数q1,…,qs使得q1+q2+…+ qs=N，其中qi是第i个单位所获得的代表名额数，并且“尽可能”地接近它应得的份额piN/(p1+p2+…+ps)，即所的按人口比例分配的原则. 如果对一切的i=1,2,…,s，严格的比值 恰好是整数，则第i个单位分得qi名额，这样分配是绝对公平的，每个名额所代表的人数是相同的.但由于人数是整数，名额也是整数，qi是整数这种理想情况是极少出现的，这样就出现了用接近于qi的整数之代替的问题.在实际应用中，这个代替的过程会给不同的单位或团体带来不平等，这样，以一种平等、公正的方式选择qi是非常重要的，即确定尽可能公平（不公平程度达到极小）的分配方案. 设某校有3个系（s=3）共有200名学生，其中甲系100名（p1=100），乙系60名（p2=60），丙系40名（p3=40）.该校召开学生代表大会共有20个代表名额（N=20），公平而又简单的名额分配方案是按学生人数的比例分配，显然甲乙丙三个系分别应占有q1=10,q2=6,q3=4个名额.这是一个绝对公平的分配方案.现在丙系有6名同学转入其他两系学习，这时p1=103,p2=63,p3=34，按学生人数的比例分配，此时qi不再是整数，而名额数必须是整数，一个自然的想法是：对qi进行“四舍五入取整”或者“去掉尾数取整”，这样将导致名额多余或者名额不够分配.因此，我们必须寻求新的分配方案. Hamilton (哈密顿)方法 哈密顿方法具体操作过程如下： ① 先让各个单位取得份额qi的整数部分[qi]； ② 计算ri=qi-[qi]，按照从大到小的数序排列，将余下的席位依次分给各个相应的单位，即小数部分最大的单位优先获得余下席位的第一个，次大的取得余下名额的第二个，依此类推，直至席位分配完毕. 上述三个系的20个名额的分配结果见表2—1. 哈密顿方法看来是非常合理的，但这种方法也存在缺陷.譬如当s和人数比例 不变时，代表名额的增加反而导致某单位名额qi的减少. 表2—1 按哈密顿方法确定的20个代表名额的分配方案 系别 学生人数 所占比例（%） 按比例分配的名额数 最终分配的名额数 甲 103 51.5 10.3 10 乙 63 31.5 6.3 6 丙 34 17.0 3.4 4 总和 200 100.0 20.0 20 考虑上述某校学生代表大会名额分配问题.因为有20个代表参加的学生代表大会在表决某些提案时可能出现10：10的局面，会议决定下一届增加一个名额.按照哈密顿方法分配结果见表2—2. 表2—2 系别 学生人数 所占比例（%） 按比例分配的名额数 最终分配的名额数 甲 103 51.5 10.815 11 乙 63 31.5 6.615 7 丙 34 17.0 3.570 3 总和 200 100.0 21.000 21 显然这个结果对丙系是极其不公平的，因为总名额增加一个，而丙系的代表名额却由4个减少为3个. 由此可见，哈密顿方法存在很大缺陷，因而被放弃.20世纪20年代初期，由哈佛大学数学家Huntington（惠丁顿）提出了一个新方法，简述如下. Huntington（惠丁顿）方法 众所周知，pi/ni表示第i个单位每个代表名额所代表的人数.很显然，当且仅当pi/ni全相等时，名额的分配才是公平的.但是，一般来说，它们不会全相等，这就说明名额的分配是不公平的，并且pi/qi中数值较大的一方吃亏或者说对这一方不公平.同时我们看到，在名额分配问题中要达到绝对公平是非常困难的.既然很难作到绝对公平，那么就应该使不公平程度尽可能的小，因此我们必须建立衡量不公平程度的数量指标. 不失一般性，我们考虑A，B双方席位分配的情形（即s=2）.设A，B双方的人数为p1,p2，占有的席位分别为n1,n2，则A，B的每个席位所代表的人数分别为p1/n1，p2/n2，如果p1/n1=p2/n2，则席位分配是绝对公平的，否则就是不公平的，且对数值较大的一方不公平.为了刻划不公平程度，需要引入数量指标，一个很直接的想法就是用数值|p1/n1-p2/n2|来表示双方的不公平程度，称之为绝对不公平度，它衡量的是不公平的绝对程度.显然，其数值越小，不公平程度越小，当|p1/n1-p2/n2|=0时，分配方案是绝对公平的.用绝对不公平度可以区分两种不同分配方案的公平程度，例如： 显然第二种分配方案比第一种更公平.但是，绝对不公平度有时无法区分两种不公平程度明显不同的情况： 第一种情形显然比第二种情形更不公平，但它们具有相同的不公平度，所以“绝对不公平度”不是一个好的数量指标，我们必须寻求新的数量指标. 这时自然想到用相对，下面我们引入相对不公平的概念.如果p1/n1>p2/n2，则说明A方是吃亏的，或者说对A方是不公平的，称 为对A的相对不公平度；如果p1/n1p2/n2，此时 与前一种情形相比后一种更公平. 建立了衡量分配方案的不公平程度的数量指标rA，rB后，制定分配方案的原则是：相对不公平度尽可能的小. 首先我们作如下的假设： （1）每个单位的每个人都具有相同的选举权利； （2）每个单位至少应该分配到一个名额，如果某个单位，一个名额也不应该分到的话，则应将其剔除在分配之外； （3）在名额分配的过程中，分配是稳定的，不受任何其他因素所干扰. 假设A，B双方已经分别占有n1，n2个名额，下面我们考虑这样的问题，当分配名额再增加一个时，应该给A方还是给B方，如果这个问题解决了，那么就可以确定整个分配方案了，因为每个单位至少应分配到一个名额，我们首先分别给每个单位一个席位，然后考虑下一个名额给哪个单位，直至分配完所有名额. 不失一般性，假设p1/n1>p2/n2，这时对A方不公平，当再增加一个名额时，就有以下三种情形： 情形1：p1/（n1+1）>p2/n2，这表明即使A方再增加一个名额，仍然对A方不公平，所以这个名额应当给A方； 情形2：p1/（n1+1）p2/(n2+1)，这表明B方增加一个名额后，对A方更加不公平，这时对A的相对不公平度为 . 公平的名额分配方法应该是使得相对不公平度尽可能的小，所以若情形1发生，毫无疑问增加的名额应该给A方；否则需考察rB(n1+1,n2)和rA(n1,n2+1)的大小关系，如果rB(n1+1,n2)