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负数二进制

2011-08-13 7页 doc 40KB 27阅读

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负数二进制负的二进制数 [日期:01-11] [字体:大 中 小] 二进制算术需要理解的另一个方面是负数。前面一直假定所有的数字都是正的。从乐观的角度来看是这样,所以我们目前已对二进制数有了一半的认识。但在实际中还会遇到负数,从悲观的角度来看,我们对二进制数的认识仅仅是一半。在计算机中,是如何表示负数的?我们只能按照自己的意愿来处理二进制数字,所以解决方案必须是使用其中的一个二进制数字。 对于允许是负数的数值(称为带符号的数值),必须先确定一个固定的长度(换言之,就是二进制数字的位数),再把最左边的二进制数字设置为符号位。必须固定位数,...
负数二进制
负的二进制数 [日期:01-11] [字体:大 中 小] 二进制算术需要理解的另一个方面是负数。前面一直假定所有的数字都是正的。从乐观的角度来看是这样,所以我们目前已对二进制数有了一半的认识。但在实际中还会遇到负数,从悲观的角度来看,我们对二进制数的认识仅仅是一半。在计算机中,是如何示负数的?我们只能按照自己的意愿来处理二进制数字,所以解决必须是使用其中的一个二进制数字。 对于允许是负数的数值(称为带符号的数值),必须先确定一个固定的长度(换言之,就是二进制数字的位数),再把最左边的二进制数字设置为符号位。必须固定位数,这样才能避免符号位与其他位的混淆。 因为计算机的内存由8位字节组成,所以二进制数字要存储在多个8位中(通常是2的幕),即有些数字是8位,有些数字是16位等。只要知道每个数值的位数,就可以找到符号位,它应是最左边的那一位。如果符号位是0,该数值就是正的,如果它是1,该数值就是负的。 似乎这就解决了问,但实际上并非如此。当两个整数相加时,计算机不应不检查两个数字是否为负。我们希望使用常规的“加”来生成相应的结果。如果把–8加到+12上,就应是+4。 如果用简化的解决方案来执行这一操作,也就是把正数的符号位设置为1,使它变成负数,再执行算术运算,并进行常规的进位,答案就是错误的: 12转换为二进制: 0000 1100 –8转换为二进制: 1000 1000 如果把它们加起来,结果是 1001 0100。 答案是-20,这可不是我们希望的结果+4,它的二进制应是0000 0100。此时读者会认为,“没有把符号作为另一个位”。但是,在用计算机进行计算时,这是必须要考虑的。因为计算机是哑巴,它们处理这种情况会出问题。我们需要用另一种方式来表示负数。 下面看看计算机如何表示–8,即从+4中减去+12,得到正确的结果: +4转换为二进制: 0000 0100 +12转换为二进制: 0000 1100 从前者中减去后者,结果是 1111 1000。 对于右边的4位数字,必须借1,才能进行减法,这正是我们在执行十进制算术时所进行的操作。结果就是–8,即使它看起来不是–8,但其值的确是–8。再用二进制把该值与+12或+15相加,就会得到正确的结果。 在从4中减去12时,究竟进行了什么操作?实际上是对负二进制数值采用了2的补码形式。这里需要做一个约定,以避免解释它为什么有效。下面看看如何从正数中构建负数的2的补码形式,读者也可以自己证明这是有效的。现在回到前面的例子,给-8构建2的补码形式。首先把+8转换为二进制: 0000 1000 现在反转每个二进制数字,即把0变成1,把1变成0: 1111 0111 这称为1的原码形式,如果给这个数加上1,就得到了2的补码形式: 1111 1000 这就是从+4中减去+12,得到的–8的二进制表示。为了确保正确,下面对–8和+12进行正常的相加操作: +12转换为二进制 0000 1100 –8转换为二进制 1111 1000 把这两个数加在一起,得到: 0000 0100 答案就是4。这是正确的。左边所有的1都向前进位,这样该位的数字就是0。最左边的数字应进位到第9位,即第9位应是1,但这里不必担心这个第9位,因为在前面计算-8时从前面借了一位,在此正好抵消。实际上,这里做了一个假定,符号位1或0永远放在最左边。读者可以自己试验几个例子,就会发现这种方法总是有效的。最妙的是,这使计算机上的算术计算非常简单快速。 负数在计算机中的表示 今天,老大让我调查一个浮点数转换为整数的问题。自己就查了些资料,顺便复习一下原码、反码和补码。   原码:将一个整数,转换成二进制,就是其原码。如单字节的5的原码为:0000 0101;-5的原码为1000 0101。 反码:正数的反码就是其原码;负数的反码是将原码中,除符号位以外,每一位取反。如单字节的5的反码为:0000 0101;-5的原码为1111 1010。 补码:正数的补码就是其原码;负数的反码+1就是补码。如单字节的5的补码为:0000 0101;-5的原码为1111 1011。     在计算机中,正数是直接用原码表示的,如单字节5,在计算机中就表示为:0000 0101。负数用补码表示,如单字节-5,在计算机中表示为1111 1011。 这儿就有一个问题,为什么在计算机中,负数用补码表示呢?为什么不直接用原码表示?如单字节-5:1000 0101。 我想从软件上考虑,原因有两个:   1、表示范围 拿单字节整数来说,无符号型,其表示范围是[0,255],总共表示了256个数据。有符号型,其表示范围是[-128,127]。 先看无符号,0表示为0000 0000,255表示为1111 1111,刚好满足了要求,可以表示256个数据。 再看有符号的,若是用原码表示,0表示为0000 000。因为咱们有符号,所以应该也有个负0(虽然它还是0):1000 0000。 那我们看看这样还能够满足我们的要求,表示256个数据么? 正数,没问题,127是0111 1111,1是0000 0001,当然其它的应该也没有问题。 负数呢,-1是1000 0001,那么把负号去掉,最大的数是111 1111,也就是127,所以负数中最小能表示的数据是-127。 这样似乎不太对劲,该如何去表示-128?貌似直接用原码无法表示,而我们却有两个0。 如果我们把其中的一个0指定为-128,不行么?这也是一个想法,不过有两个问题:一是它与-127的跨度过大;二是在用硬件进行运算时不方便。 所以,计算机中,负数是采用补码表示。如单字节-1,原码为1000 0001,反码为1111 1110,补码为1111 1111,计算机中的单字节-1就表示为1111 1111。 单字节-127,原码是1111 1111,反码1000 0000,补码是1000 0001,计算机中单字节-127表示为1000 0001。 单字节-128,原码貌似表示不出来,除了符号为,最大的数只能是127了,其在计算机中的表示为1000 0000。   2、大小的习惯(个人观点) 也可以从数据大小上来理解。还是以单字节数据为例。有符号数中,正数的范围是[1,127],最大的是127,不考虑符号为,其表示为111 1111;最小的是1,不考虑符号为,其表示为000 0001。 负数中,最大的是-1,我们就用111 1111表示其数值部分。后面的数据依次减1。减到000 0001的时候,我们用它标示了-127。再减去1,就变成000 0000了。还好我们有符号为,所以有两个0。把其中带符号的0拿过来,表示-128,刚好可以满足表示范围。 以上只是从软件的角度进行了分析,当然,从硬件的角度出发,负数使用补码表示也是有其原因的,毕竟计算机中,最终实现运算的还是硬件。主要原因有三:   1、负数的补码,与其对应正数的补码之间的转换可以用同一种方法----求补运算完成,简化硬件。 如:                     原码                反码                补码 -127 -〉127    1000 0001  -〉 0111 1110  -〉 0111 1111 127 -〉-127    0111 1111  -〉 1000 0000  -〉 1000 0001 -128 -〉128    1000 0000  -〉 0111 1111  -〉 1000 0000 128 -〉-128    1000 0000  -〉 0111 1111  -〉  1000 0000 可以发现,负数和正数求补的方法是一样的。   2、可以将减法变为加法,省去了减法器。 在计算机中,我们可以看到,对其求补,得到的结果是其数值对应的负数。同样,负数也是如此。 运算中,减去一个数,等于加上它的相反数,这个就学过了。既然其补码就是其相反数,我们加上其补码不就可以了。 如:A - 127, 也就相当于:A + (-127), 又因为负数是以补码的形式保存的,也就是负数的真值是补码,既然这样,当我们要减一个数时,直接把其补码拿过来,加一下,就OK了,我们也可以放心地跟减法说拜拜了! 当然这也涉及到类型转换的问题,如单字节128,其原码是1000 0000,其补码也是1000 0000。这样我们+128,或者-128,都是拿1000 0000过来相加,这样不混乱掉了?还好,各个编程语言的编辑器对有类型转换相关的限制。 如:(假设常量都是单字节) 1 + 128, 真值的运算是 0000 0001 + 1000 0000 ,如果你将结果赋值给一个单字节有符号正数,编辑器会提示你超出了表示范围。因为运算的两个数据是无符号的,其结果也是无符号的129,而有符号单字节变量最大可以表示的是127。 1 - 128,真知的运算是 0000 0001 + 1000 0000 ,因为-128是有符号,其运算结果也是有符号,1000 0001,刚好是-127在计算机中的真值。   3、无符号及带符号的加法运算可以用同一电路完成。 有符号和无符号的加减,其实都是把它们的真值拿过来相加。真值,也就是一个数值在计算机中的二进制表示。正数的真值就是其原码,负数的真值是其补码。所以,有符号和无符号由编译器控制,计算机要做的补过是把两个真值拿过来相加。
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