10-11几何与代数期终B2(key)

东 南 大 学 教 务 处 东 南 大 学 考 试 卷（B卷） 课程名称 几何与代数(B) 考试学期 2010-2011-2 得分 适用专业 电类各专业 考试形式 闭卷 考试时间长度 120分钟 题目 一 二 三 四 五 六 七 总分 得分 批阅人 一. 填空(每空2分, 共30分) 1. 设向量 = (1, 1, 1), 矩阵A = T, 则 A10 = , A的秩r(A) = _________1_________, A的行列式|A| = ________0________. 2. 直线l: 与平面 : x 2y + z 1 = 0的交点坐标为_(0, 0, 1)_. 直线l与平面的夹角 = . 3. 设四面体的四个顶点为: A(0, 0, 0), B(1, 0, 1), C(0, 1, 1), D(1, 1, 1), 则该四面体的体积V = . 4. 设A, B为3阶矩阵, |A| = 1, |B| = 2, 则 =_____16_____. 5. 已知1 = , 2 = , 3 = . 若1, 2是向量组1, 2, 3的一个极大线性无关组, 则a = ___1___, 此时1, 2, 3生成的向量空间L(1, 2, 3) 的一组正交基为 , L(1, 2, 3)的维数=______2______. 6. 当a满足________a 0________时, 矩阵 与 等价. 当b满足_____1 < b < 1_______时, 矩阵 与 . 7. 曲线 绕z轴旋转一周所得的曲面S的方程为 x2 + y2 z 1 = 0, 曲面S的与平面2x + 2y z 2 = 0的交线到xOy平面的投影柱面S1的方程为_(x 1)2 + (y 1)2 = 1_. 8. 设二次型f(x, y, z) = x2 + 2y2 + kz2 + 2yz. 则参数k满足_____ k < 2______时, 二次曲面f(x, y, z) = 1为单叶双曲面. 二. (6分)计算n阶行列式 . 解: = = . 三. (12分)设三个平面1: x + 2y + z = 0; 2: 2x + 5y + z = 1; 3: x y + az = b. 1. 参数a, b满足什么条件时这三个平面交于一点? a, b满足什么条件时这三个平面交于一条直线? a, b满足什么条件时这三个平面无公共交点? 解: 令A = , = . 由 可知: 当a 4 0, 即a 4时, Ax = 有唯一解, 因而三个平面交于一点. 当a 4 = b + 3 = 0, 即a = 4, b = 3时, Ax = 有无穷多解, 且1, 2不重合, 因而三个平面交于一条直线. 当a = 4, b 3时, Ax = 无解, 因而三个平面无公共交点. 2. 设这三个平面交于一条直线l, 求直线l的方向向量和对称方程. 解: 由 可得Ax = 的通解 (t R) 可见直线l的方向向量为s = (3, 1, 1), 对称方程为 . 注: 也可以由(1, 2, 1)(2, 5, 1) = (3, 1, 1)求s. 四. (6分)设32矩阵X满足AX = BX, 其中A = , B = , 求X. 解: 由AX = BX得(A+E)X = B, 由(A+E, B) = 得X = , 注: 也可以先求(A+E)1, 再计算X = (A+E)1B. 五. (20分)设矩阵A = . 1. 求A的特征值和特征向量. 解: |EA| = = (1)(2)2. 故A的特征值为1 = 1, 2 = 3 = 2. EA = , 可见(EA)x = 0的一个基础解系为1 = (1, 0, 1)T. 故A的对应于1 = 1的特征向量为k1 (k 0). 2EA = , 可见(2EA)x = 0的一个基础解系为 2 = (1, 1, 0)T, 3 = (0, 0, 1)T. 故A的对应于2 = 3 = 2的特征向量为k12 + k23 (k1, k2不全为零). 2. 写出可逆矩阵P和对角矩阵, 使得P1AP = . 解: 由上题可知, 另P = (1, 2, 3) = , = , 则P1AP = . 3. 是否存在正交矩阵Q, 使得Q1AQ为对角矩阵? 为什么? 答: 不存在正交矩阵Q, 使得Q1AQ为对角矩阵. 假设存在正交矩阵Q, 使得Q1AQ为对角矩阵, 则A = QQ1 = QQT. 于是AT = (QQT)T = QTQT = QQT = A. 但A并不是对称矩阵. 矛盾! 4. 若B = 与A相似, 求x, y. 解: 若B与A相似, 则B相似于 . 因而x + 2 + y = 5, 2xy = 4, 且r(2EB) = 1, 由此可得x = 2, y = 1. 5. 若f(x) = x2 x 1, 求行列式| f(A)|的值. 解: f(1) = 1, f(2) = 1. 由第2小题可知 | f(A)| = | f()| = = = 1. 六. (6分)设f(x, y, z) = (x + y z)2. 1. 写出二次型f(x, y, z)的矩阵. 解: f(x, y, z) = (x + y z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy 2xz 2yz. 可见二次型f(x, y, z)的矩阵为 . 另解: f(x, y, z) = (x + y z)2 = (x, y, z) (1, 1, 1) = (x, y, z) . 可见二次型f(x, y, z)的矩阵为 . 2. 二次型f(x, y, z)的秩=____1___, 正惯性指数=____1___. 3. 设曲面S的一般方程为x2 + y2 + z2 + 2xy 2xz 2yz 2y = 0. 把曲面S的方程化为标准方程, 在下面的坐标系中作出这个标准方程对应的图形并指出其类型. 答: 由x2 + y2 + z2 + 2xy 2xz 2yz 2y = 0得(x + y z)2 = 2y. 令 可得S的标准方程u2 = 2v. 这是一个抛物柱面. 七. (10分) 1. 设A为mn矩阵, 而且非齐次线性方程组Ax = b无解. (1) 若m n, 证明: 齐次线性方程组Ax = 是有非零解. 证明: 因为非齐次线性方程组Ax = b无解, 所以r(A) < r(A, b) m n, 因此齐次线性方程组Ax = 有非零解. 另证: 当m < n时, 齐次线性方程组Ax = 总是有非零解. 当m = n时, 因为非齐次线性方程组Ax = b无解, 所以|A| = 0, 因此齐次线性方程组Ax = 有非零解. (2) 若m > n, 则齐次线性方程组Ax = 是否一定有非零解? 请说明理由. 答: 若m > n, 则齐次线性方程组Ax = 未必有非零解. 例如 = 无解, 但 = 只有零解. 2. 设3阶实矩阵A非零且满足AT = A*, 其中AT表示A的转置, A*表示A的伴随矩阵. 证明: A为正交矩阵. 证明: 设A中某个元素aij不等于零, 则 AAT 的第i行第i列处的元素为 (ai1, ai2, ai3)(ai1, ai2, ai3)T = ai12 + ai22 + ai32 > 0. 又因为AAT = AA* = |A|E, 比较等式两端的第i行第i列处的元素可得 |A| = ai12 + ai22 + ai32 > 0, 于是由|A|2 = |A||AT| = |AAT| = |AA*| = |A|3可得|A| = 1, 从而AAT = AA* = E, 可见A为正交矩阵.