灵敏度分析

灵敏度 在工程分析中，人们不仅关心车辆、产品等东西的性能预测，同时也关心利 用性能预测的结果来变更、修正误差时的灵敏度进行分析。对这些参数的灵 敏度进行量化分析，即称作灵敏度分析。 举例来讲，想预测飞机的起飞距离。从Anderson的《Intro. To Flight》一 中，起飞距离的估算遵循如下方程： 2 max 1.44 LO L WS g SC Tρ∞= 结合实际例子，以 Anderson 书中描述的 CJ-1 喷气式飞机为例。该例子中， 各项取值如下： 2318S ft= 3/002377.0 ftslugs=∞ρ （海平面高度） 232.2 /g ft s= 7300T lbs= 19815W lbs= max 1.0LC = 依据该“名义”工况： ( )21.44 19815 (32.2)(0.002377)(318)(1.0)(7300)LO S = 3182LOS ft= (名义工况) 假设 maxLC 不确定，相对于名义工况有±0.1 的误差，则 max0.9 1.1LC≤ ≤ 同样，我们假定飞机在负载情况下重量有所增加。具体来讲，加入重量有 10%的增加： （1）线性灵敏度分析 （2）非线性灵敏度分析（即再评价） 上述两种分析各有优缺点。通常依据问题本身的性质以及可用的工具来 选择使用哪种方法。采用两种方法分别进行分析。 线性灵敏度分析 线性灵敏度依据泰勒级数方法近似。假定我们想知道 LOS 随 W 和 maxLC 的变 化关系，则： max max max max max ( , ) ( ) LO L L LO LO LO L L L S C C W W S SS C C W C W Δ + Δ ≅ ∂ ∂+ Δ + Δ∂ ∂ 则 LOS 的变化量为： max max LO LO LO L L S SS C W C W ∂ ∂Δ ≡ Δ + Δ∂ ∂ LOS 随 maxLC 和 jW 变化的线性灵敏度分别为导数 max LO L S C ∂ ∂ 和 LOS W ∂ ∂ 。 本例子中： max max 2 2 max 1.44 L L LO LO L S SW C g SC T Cρ∞ ∂ −= = −∂ max 2 1.44 2 L LO LOS SW W g SC T Wρ∞ ∂ −= =∂ 通过下面的公式可以看出 maxLC 和 jW 变化时对 LOS 变化的贡献或比例关系： max max max max max max 1 1LO LO LO L LO LO L LO L LO L LO LO L L LO S S SC W S S C S W C S C SW W S C C S W W Δ ∂ ∂≅ Δ + Δ∂ ∂ ∂ Δ ∂ Δ= +∂ ∂1442443 1442443 敏感分数 对本例子： max max max max max 1.0 1L L LO L LO L LO L C S S C S C S C ∂ Δ Δ= ⇒ ≈ −∂ 2.0 2.0LO LO LO LO S SW W S W S W ∂ Δ Δ= ⇒ ≈∂ 所以，当 maxLC 有微小变化时，它对飞机起飞距离的影响大小相等、方向相 反。 当重量变化时，它对 LOS 的影响方向相同，数量为两倍。因此，依据线性分 析的结果， LOS 对 W的灵敏度要比 maxLC 高。 例子 依据线性分析，我们想知道当 maxLC 变化 0.1± 时，起飞距离将变化 0.1 LOSμ : max max 0.9 0.1 318 1.1 0.1 318 L LO LO L LO LO C S S ft C S S ft = → Δ ≈ + = + = → Δ ≈ + = − 当重量增加 10%时，得到： (1.1)(19815 ) 2(0.1) 636LO LOW lb S S ft= → Δ ≈ + Δ ≈ + 非线性灵敏度分析 对于非线性分析，在上述给定条件下（包括扰动因素），简单地对起飞距离 进行重新求值。为了分析 maxLC 变化的影响，有： 2 max max 1.44(19815)( 0.9) (32.2)(0.002377)(318)(0.9)(7300) ( 0.9) 3535 LO L LO L S C S C ft = = = = max( 0.1) 353.6LO LS C ftΔ Δ = − = + 与线性分析结果符合较好 类似的， max( 1.1) 2892LO LS C ft= = max( 0.1) 290LO LS C ftΔ = + = − 最后，W增加 10%，到 21796 lb时 ( 21796 ) 3850 ( 0.1 ) 668 LO LO S W lb ft S W W ft = = Δ Δ = + = +