DVD在线租赁

国防科技大学：单荣、李军、余鹏奇，指导教师：指导教师组 2005年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖 1 2005高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承 诺 书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他 公开的（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反 竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛的题目是： B题：DVD在线租赁 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 国防科学技术大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 单 荣 2. 李 军 3. 余鹏奇 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 指导教师组 日期： 2005 年 9 月 19 日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 国防科技大学：单荣、李军、余鹏奇，指导教师：指导教师组 2005年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖 2 2005高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编 号 专 用 页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 国防科技大学：单荣、李军、余鹏奇，指导教师：指导教师组 2005年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖 3 B题：DVD在线租赁 摘要 DVD的在线租赁是一个非常复杂的活动，其随机性很强。 基于不同的建模思想，对问题 1）我们给出了两个模型，并进行了比较。 模型一从宏观上考虑租赁活动，通过分析题目所给的条件，做出适当的假设，以 简化问题。按悲观估计给出购买，从而保证了目标的实现，并且模型简单， 易于求解。模型二从微观上进行分析，结合实际和常识，对会员租赁周期的分布 做出合理的假设，根据会员租出、归还的规律进行建模，较好的反映了复杂的租 赁活动，给出的购买方案能更好的贴合实际。此外，我们还用蒙特卡洛法对结果 进行了检验。 两种模型求得的购买方案如下表： 方案 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5 50% 6250 3125 1563 782 313 悲观估 计 95% 3959 1980 990 495 198 50% 5475 2738 1369 685 274 分布估 计 95% 3757 1879 940 470 188 问题 2）是一个最优分配问题，可将其化为 0—1规划问题。求出最优分配 时会员的满意度为：89.18%。文章中我们给出了前 30名会员获得 DVD的情况， 以及他们的满意度。 问题 3）中，我们认为“得到想看的 DVD”是指会员至少得到一张他想看 的 DVD。我们利用问题 1）中求得的数据，对问题二中的模型进行适当修改， 得到 0—1规划模型。 我们发现，满意度的定义不同，求得的结果会有较大的差异。按照我们定 义的满意度，求得的结果如下表： 满意度 50% 60% 70% 75% 80% 85% 90% 最小借书数 658 899 1163 1343 1524 1726 1967 会员提交订单时，总想知道能否及时得到自己想看的 DVD，在问题 4）中， 我们将此问题提出，并以问题 1）中的 DVD1为例，建立了相应的模型进行求解。 会员在提交订单时，网站可以立即告诉会员最有可能在哪一天得到他想看的 DVD，另外，我们还对 DVD的时效性等有关问题进行了讨论。 国防科技大学：单荣、李军、余鹏奇，指导教师：指导教师组 2005年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖 4 一 问题分析 1、对问题 1）的分析： 首先，问题 1）中的“保证”可理解为是寻找悲观情况下能达到要求的购 买方案；由于实际租赁活动中的租和还都是概率事件，当会员数量足够大时，租 赁情况应服从统计规律，这种理解下，购买方案也可按照统计数据去计算。因此， 在对问题 1）的建模过程中，我们先按悲观估计求出一个购买方案，在这个基础 上对模型进行修改，使其更符合实际，应用统计学规律求出一个更贴合实际的方 案。 要对问题 1）进行求解，关键是要对每一张 DVD 在这个月的租出次数进行 分析，而租出次数跟会员租赁 DVD的时间分布和寄还时间的分布密切相关。由 于会员发来订单的时间和寄还时间都是概率事件。实际情况下，会员在均值附近 归还的人数较多，离均值越远归还的越少。对这样一种“两头小，中间大”的分 布，可以用正态分布来近似描述。如果网站会员数量足够大（如题中所给数据）， 那么就可以假设：每天下订单的会员数目为一常数稳定不变；任一会员从下订单 到寄还 DVD的时间间隔，以及上一次下订单到这一次下订单的时间间隔都服从 正态分布。 历史数据显示，60%的会员每月租赁 DVD两次，而另外的 40%只租一次， 根据这组数据有如下分析：由于二类会员每个月会下两次订单，而一类会员只下 一次订单，则在每一个月内一类会员的订单数与二类会员的订单数之比应为 0.4 : (0.6 2)´ ，即1:3，由于会员数很多，可以认为，一天内一类会员的订单数与 二类会员之比也为1:3。 2、对问题 2）的分析： 问题 2）是一个最优分配问题，这种优化问题可以采用 0-1规划进行求解， 目标是使得满意度最大。 要求得最大的满意度，首先要给出满意度的定义。容易想到满意度可定义 为实际的满足值与理想的满足值之比。另外，考虑到排序号为 1的 DVD是该会 员最希望租到的，其地位是其它 DVD不能替代的，同时根据实际生活中的经验， 第 1想要的满足值与第 2想要的满足值之差应大于第 2想要的满足值与第 3想要 的满足值之差，因此，模型定义的满意度应能反映出这种差别才是符合实际的。 3、在第三问中，题目要求使一个月内 95%的会员得到他想看的 DVD，我们认为 在一个月内会员只要看到一张他想要看到的 DVD就认为该会员得到了他想看的 DVD。 国防科技大学：单荣、李军、余鹏奇，指导教师：指导教师组 2005年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖 5 二 模型假设 1 会员提交订单时都如第三问中表格，既每次给出多个想看的 DVD，并给 出了偏爱程度。 2 假设不愿意观看某种 DVD的会员不会租看它。 3 公司每天收到的总订单数一定。 4 DVD邮寄过程的时间忽略。 5 会员提交的订单把他想看的 DVD都列上了。 6 不考虑新会员入会和老会员退会的情况。 7 会员不会第二次租以前看过的 DVD。 8 问卷调查能反映总体真实情况。 9 一个月 30天。 10 历史数据能代表以后的需求形势。 11 DVD供过于求，不会在公司逗留。 三 符号说明 ikc 第 i天的库存量 ind 第 i天的需求量（即第 i天的订单总数）、 icb 第 i天的可借出量 ib 第 i天的实际借出量 ikq 第 i天的空缺量（即当天交了订单却没得到 DVD的人数） ir 第 i天的归还总数 kih 表示第 k天租第 i天还的人数 0N 一天收到的总订单数 ijP 为第 i位会员租到第 j张 DVD的满足值 1000 100P ´ 为满足值矩阵 国防科技大学：单荣、李军、余鹏奇，指导教师：指导教师组 2005年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖 6 四 模型的建立与求解 说明：我们称每月租赁一次的为一类会员，每月租赁两次的为二类会员。 问题 1）： 模型一： 为简化问题，我们不妨做如下假设： 1、希望观看某 DVD的会员中，40%的为一类会员，60%为二类会员，这个 比例稳定不变； 2、新买的 DVD是从月初开始出租的； 通过假设我们可以做出如下分析： 当新 DVD 上市后，租赁到一类会员手中的 DVD 在一个月内只能够租出一 次，而租赁到二类会员手中的 DVD在一个月内至少可以租出两次。考虑悲观情 况，即租赁到二类会员手中的 DVD只循环两次，可以得到如下结果： 我们假设 DVD i需要准备 ix 张。 01 ：为了保证 50%的会员一个月内能够看到他所希望看的 DVD，由上述分析假 设我们可得： 对 DVD1： 51 1 10.4 0.6 0.6 1 10 20% 50%x x x+ + ³ ´ ´ ´ 从而 1x ³ 6250（张）。 同理可得： 2 3125x ³ （张） 3 1563x ³ （张） 4 782x ³ （张） 5 313x ³ （张） 02 ：为了保证 95%的会员三个月内能够看到他所希望看的 DVD，同样根据上述 分析假设可得： 对 DVD1：一个月下来有 1 1 1 10.4 0.6 0.6 1.6x x x x+ + = 的会员可以看到他所希望 看的 DVD，那么根据上述悲观情况的分析，三个月下来就有 1 11.6 3 4.8x x´ = 的会 员可以看到他所希望看的 DVD。则可列出如下等式： 514.8 1 10 20% 95%x ³ ´ ´ ´ ， 解得 1 3959x ³ （张）。 同理可得： 2 1980x ³ （张） 3 990x ³ （张） 4 495x ³ （张） 5 198x ³ （张） 模型二 以 DVD1的运营情况为例分析更符合实际的情况： 设第 i天的库存量 ikc ，第 i天的需求量（即第 i天的订单总数） ind 、 第 i天的可借出量 icb、第 i天的实际借出量 ib、第 i天的空缺量 ikq（即当天交了 订单却没得到 DVD的人数），第 i天的归还总数 r。 国防科技大学：单荣、李军、余鹏奇，指导教师：指导教师组 2005年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖 7 1）第 i天的运营情况可描述为： 可借 icb =库存 1ikc - + 还回 ir 对实借 ib： 若可借 icb >= 需求 inb 则 实借 ib =需求 inb，空缺 ikq =0； 若可借 icb < 需求 inb 则 实借 ib =可借 icb，空缺 ikq =需求 inb－可借 icb； 库存 ikc =库存 1ikc - +还回 ir－实借 ib； 2）还回量 ir和需求量 inb的计算： a. 设 kih 为第 k天租第 i天还的人数， 则 1 1 i i ki k r h - = = å b. 一天收到的总订单数： 0N =160000/30=5334。 其中一类会员有 1 0 0.25 1334N N= ´ = (人)，其中愿看 1DVD 的人数： 1 1 1334 20% 267iN N P= ´ = ´ = (人 )。（对 DVD1， P=0.2）二类会员有 2 0 0.75 4000N N= ´ = ( 人 ) 。 其 中 愿 看 1DVD 的 人 数 ： 2 2 4000 20% 800N N P= ´ = ´ = (人)。 设这个月中第一次在第 j 天下订单，第二次在第 i 天下订单的人数为 jibb ，则在第 i天已看过 DVD1的人数： 1 1 i ji j bb - = å ，所以二类会员中在第 i天订 购 1DVD 的人数： 1 2 2 1 i i ji j N N P bb - = = ´ - å 国防科技大学：单荣、李军、余鹏奇，指导教师：指导教师组 2005年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖 8 则第 i天的需求量： 1 2i i inb N N= + 。 3）设需购买 G张 1DVD ，则第一个问题的模型为： 目标函数 Min=G 要求满足如下递归关系： 1i i icb kc r-= + 1 2i i inb N N= + 若 inb³icb 则 i ib nb= 若 inb£icb ，则 i ib cb= 1i i i ikc kc r b-= + - 其中： 1 1 i i ki k r h - = = å 1 1iN N P= ´ 1 2 2 1 i i ji j N N P bb - = = ´ - å 其初始条件： 11 0bb = ， 11 0h = ，即 1 0r = 1 1 1066b nb= = 1066GbGkc 11 -=-= 且： 30 1 10000i i b = ³å 。 求解上述模型需知道每天的还回量，也即要知道会员租赁周期的概率分布。 根据前面的分析，可设一类会员租赁周期的分布为： 21( , )N m s ，二类会员的为： 2 2( , )N m s 。其中 1 30,m = 2 15m = 。 则会员租到的 DVD在手中停留 i天的概率 0.5 0.5 ( ) i i i p f x dx + - = ò ， 2 2 ( ) 21( ) 2 x f x e m s ps - - = 取不同的 2s ，将上式代入模型，用 vc++编程求得结果如下： 国防科技大学：单荣、李军、余鹏奇，指导教师：指导教师组 2005年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖 9 01 ：一个月保证至少 50%的会员能看到所希望的 DVD的结果如下表： 表(一) 方差 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5 平均借出次数 0 5715 2858 1429 715 286 1.75 1 5475 2738 1369 685 274 1.83 2 5231 2615 1308 654 262 1.91 3 5065 2533 1267 634 254 1.97 由前面的分析可知，在第一个月内，想看 DVD的会员都已提交了订单。在 新 DVD上市后的 30—90天这段时间里来的订单不考虑再有要这些 DVD的。 02 ：三个月保证至少 95%的会员能看到所希望的 DVD的结果如下表： 表(二) 方差 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5 0 3831 1916 958 479 192 1 3757 1879 940 470 188 2 3731 1866 933 466 187 3 3730 1865 933 467 187 从上述两表中可知：当 2 0s = 时，正态分布退化为单点分布。即一类会员的 两次租赁的时间间隔为定值 30，二类会员为定值 15，此时，DVD的流通速度最 慢，为满足要求，需要的 DVD数最多。 模型比较： 模型一通过假设对问题进行了简化处理，建模简单，易于求解，并且计算时 进行了悲观估计，所以提出的购买方案能保证满足要求。但是，这样的处理与实 际情况不太相符，不能反映租赁活动的随机性和复杂性，按模型一的方案很可能 造成 DVD资源浪费。 模型二从租赁活动的过程机理出发进行建模，较好的反映了租赁的真实过 程，提出的方案也更符合实际情况。 问题 2） 在定义满意度之前先引入一个概念——满足值： 根据问题分析里对满意度的分析，我们定义一张 DVD的满足值 P为： 1P R = ；其中R为排序号 注：当该 DVD不在会员的在线订单中( R =0)时，令满足值 0P = 。 我们定义满意度Q为： 国防科技大学：单荣、李军、余鹏奇，指导教师：指导教师组 2005年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖 10 0 P Q P = å ； 其中 0P为最大的满足值，即理想满足值。 对一类会员： 0 1 11 1.8333 2 3 P = + + = ； 对二类会员： 0 1 1 1 1 11 2.45 2 3 4 5 6 P = + + + + + = 。 对问题 2）如果每个会员都能拿到他最想拿到的那三张 DVD，那么这种情 况下总的满足值最大，其值为 0 1 1(1 ) 1000 1833.333 2 3 P = + + ´ = 。要使满意度最大，根 据定义也就是要使得分配方案的实际满足值最大。因此我们采用 0-1规划进行求 解。利用 Lingo软件的集操作函数构造两个1000 100´ 的矩阵 ijA 、 ijP 。 ijA 为所要 求的 0-1变量矩阵，其中 1ija = 表示第 i个人拿到第 j张 DVD， 0ija = 表示第 i个 人没有拿到第 j张 DVD。 ijP 为满足值矩阵。 MAX： ijA T ijP´ ST： 100 1 3ij j a = £å 1, 2, ,1000;j = L 1000 1 ij j i a d = £å 1,2, ,100i = L 其中 100D 为 100种 DVD的原有数量矩阵。 解得最优分配情况下总的满足值 1634.885P = 。根据定义我们算出最优分配 情况下满意度 0 1634.885 89.18% 1833.333 PQ P = = = 。前 30 位会员（C0001~C0030）分别 获得那些 DVD的具体情况如表(三)： 表(三) 会员 C0001 C0002 C0003 C0004 C0005 C0006 C0007 C0008 C0009 C0010 DVD D008/1 D041/7 D098/3 D006/1 D044/2 D062/4 D032/4 D050/2 D080/1 D007/1 D018/2 D041/3 D011/3 D066/1 D068/2 D019/1 D053/2 D066/4 D008/2 D026/3 D081/1 D031/4 D035/5 D053/1 D078/3 D100/2 D055/2 D060/1 D085/3 满意度 80.52% 95.45% 80.52% 100% 100% 95.45% 100% 24.55% 100% 100% 会员 C0011 C0012 C0013 C0014 C0015 C0016 C0017 C0018 C0019 C0020 DVD D059/1 D063/2 D066/4 D002/2 D031/1 D041/7 D021/3 D078/2 D096/1 D023/2 D052/1 D089/6 D013/1 D066/9 D085/3 D055/9 D084/1 D097/2 D047/2 D051/3 D067/1 D041/1 D060/2 D078/3 D066/4 D084/1 D086/2 D045/1 D061/3 D089/2 国防科技大学：单荣、李军、余鹏奇，指导教师：指导教师组 2005年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖 11 满意度 95.45% 89.61% 100% 90.91% 78.79% 87.88% 100% 100% 95.45% 100% 会员 C0021 C0022 C0023 C0024 C0025 C0026 C0027 C0028 C0029 C0030 DVD D045/2 D050/5 D053/1 D038/3 D055/2 D057/1 D029/2 D081/3 D095/1 D037/4 D041/2 D076/1 D009/1 D069/2 D081/4 D022/1 D068/2 D095/3 D050/4 D058/1 D078/7 D008/1 D034/2 D026/4 D030/2 D055/1 D037/2 D062/1 D098/5 满意度 92.73% 100% 100% 95.45% 95.45% 100% 75.97% 81.82% 95.45% 92.73% 注：表中“/”后的数字表示会员对该 DVD偏爱程度排序。如“D008/1”表示会 员 C0001分配到了其偏爱程度排序为 1的 DVD(D008)。 问题 3） 从第一问的求解可以知道，平均每张 DVD 在其上市的的第一个月中，平 均租出 1.83 次。第三问的运营情况与第一问相同，所以该数据也适用于第三问 的情况。对每一名会员，只要看到一张想看的 DVD，我们就认为其得到了他想 看的 DVD。满意度的计算与第二问相同，所以该问题也可用 0—1规划求解。 设 DVD i的购买量为 id ，则其一个月可租出 ' 1.83i id d= ´ 人次。 用 0 —1变量 iy 表示第 i个会员是否看到想看的 DVD。 若 100 1 1ij j a = ³å ，则 iy =1，否则 iy =0； MIN 100 1 i i d = å ST： 100 1 6ij j a = £å 1, 2, ,1000;j = L 1000 ' 1 ij j i a d = £å 1,2, ,100i = L 1000 1 950i i y = ³å ijA T ijP´ a³ a 为指定的满意度 我们发现，满意度的定义不同，在同样模型下求得的结果也会不同。除了 我们定义的模型，我们还给出了另一种满意度的定义，即： 11P R= - 并也求出了此定义下的最小购 DVD数： 国防科技大学：单荣、李军、余鹏奇，指导教师：指导教师组 2005年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖 12 表（四） 满意度 第 1种定义 第 2种定义 50% 658 1243 60% 899 1538 70% 1163 1834 75% 1343 1995 80% 1524 2164 85% 1726 2333 90% 1967 2502 两种满意度定义算出的结果之所以相差较大，是因为按照第一种定义，会员 更容易满足，只要较少的 DVD就可以得到较大的满意度。例如：第一种定义下， 一类会员只要得到自己最想要的那一张 DVD，那么满意度就会大于 50%，而按 照第二种定义，一类会员既使得到自己最想要的 DVD，他的满意度也只有 37%， 从实际情况来看，第 1想要的满足值与第 2想要的满足值之差应大于第 2想要的 满足值与第 3想要的满足值之差，因此，第一种定义更符合人们的心理。 第一种满意度定义下的拟合图如下： 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 x 1000 1250 1500 1750 2000 2250 2500 y 其中 x轴为满意度，y轴为不同满意度下的最小购碟数。 他们近似满足方程： 23669.96 1897.03 697.94y x x= - + 0.5 1x£ £ 我们给出了按第一种满意度定义时，满意度为 80%时的 DVD购买方案和分 配方案： 每种 DVD的购买量： 表（五） D001-D010 19 32 25 34 21 24 26 31 31 22 D011-D020 27 28 26 30 25 37 26 30 35 29 D021-D030 29 29 34 22 28 30 19 19 24 37 D031-D040 28 30 30 29 35 32 18 28 26 25 D041-D050 50 32 23 31 32 21 31 25 30 28 D051-D060 37 25 30 24 28 31 28 26 32 36 D061-D070 24 31 31 31 31 27 23 33 31 25 D071-D080 34 31 24 29 25 24 18 29 30 27 D081-D090 27 18 21 19 32 19 32 23 23 27 D091-D100 37 25 24 22 36 21 35 31 18 33 国防科技大学：单荣、李军、余鹏奇，指导教师：指导教师组 2005年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖 13 前 30位会员（C0001~C0030）分别获得那些 DVD的具体情况如表(六)： 表（六） 问题 4） 1、考虑到实际生活中，会员在下过订单后总希望知道自己大概在什么时候 能租到该 DVD，因此，我们在第一问第二小问的基础上，计算出订 DVD1的会 员在三个月内的哪一天能得到 DVD1。 根据先订先得的原则，若在第 m天 空缺 mkq >0，即在第 m 天定了但没 租到 DVD的会员数大于 0，则 实借 ib应先借给这些会员， 若实借 ib <=空缺 mkq ： 实借 ib全部用来填补 空缺 mkq ，设中间变量 k=空缺 mkq ， 则 空缺 mkq =k－实借 ib 若实借 ib >空缺 mkq ： 则 空缺 mkq =0，实借 ib中的剩余部分则可填补 空缺 1mkq + ， m增加 1 参考第一问的模型，则此问题的模型为： 目标函数 Min=G 要求满足如下递归关系： 1i i icb kc r-= + 1 2i i inb N N= + 会员 C0001 C0002 C0003 C0004 C0005 C0006 C0007 C0008 C0009 C0010 DVD D009 D082 D098 D006 D042 D044 D004 D050 D080 D007 D018 D041 D011 D066 D068 D016 D019 D053 D008 D026 D081 D015 D071 D099 D053 D078 D100 D055 D060 D085 会员 C0011 C0012 C0013 C0014 C0015 C0016 C0017 C0018 C0019 C0020 DVD D019 D059 D063 D002 D007 D031 D021 D078 D096 D023 D043 D052 D013 D085 D088 D006 D084 D097 D047 D051 D067 D041 D060 D078 D067 D084 D086 D045 D061 D089 会员 C0021 C0022 C0023 C0024 C0025 C0026 C0027 C0028 C0029 C0030 DVD D045 D053 D065 D038 D055 D057 D029 D081 D095 D041 D076 D079 D009 D069 D094 D022 D068 D095 D022 D042 D058 D008 D034 D082 D030 D044 D055 D001 D037 D062 国防科技大学：单荣、李军、余鹏奇，指导教师：指导教师组 2005年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖 14 若 inb³icb ：则 i ib nb= 若 inb£icb ：则 i ib cb= , 若 ib <= mkq ,ｋ= mkq , mkq =k－ ib ; 若 ib <= mkq , ｋ= 1mkq + , 1mkq + =k－[ ib－ mkq ], mkq =0 ,k=m, m=k+1 1i i i ikc kc r b-= + - 其中： 1 1 i i ki k r h - = = å 1 1iN N P= ´ 1 2 2 1 i i ji j N N P bb - = = ´ - å 其初始条件：m=0， 11 0bb = ， 11 0h = ，即 1 0r = 1 1 1066b nb= = ， 1066GbGkc 11 -=-= 另外，要求满足条件： 30 1 10000i i b = ³å ， 0.5 0.5 ( ) i i i p f x dx + - = ò ， 2 2 ( ) 21( ) 2 x f x e m s ps - - = 取 2s =3，算出结果如下表： 国防科技大学：单荣、李军、余鹏奇，指导教师：指导教师组 2005年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖 15 表（七） 1 1067 1 1067(1) 2 1067 2 1067(2) 3 1067 3 1067(3) 4 1067 4—14 556(4),1(6),2(7),5(8),11(9),25(10),49(11),88(12),142(13),187(14) 5 1066 14—18 21(14),273(15),325(16),352(17),94(18) 6 1066 18—22 251(18),308(19),250(20),186(21),72(22) 7 1065 22—30 59(22),92(23),74(24),75(25),93(26),125(27),168(28),215(29),50(30) 8 1062 30—34 97(30),294(31),312(32),309(33),50(34) 9 1055 34—39 237(34),252(35),211(36),173(37),145(38),37(39) 10 1040 39—45 91(39),125(40),134(41),152(42),176(43),202(44),161(45) 11 1014 45—49 65(45),243(46),253(47),253(48),200(49) 12 970 49—54 44(49),229(50),210(51),190(52),173(53),124(54) 13 906 54—60 38(54),158(55),160(56),169(57),182(58),196(59),3(60) 14 821 60—63 207(60),221(61),227(62),165(63) 15 720 63—67 63(63),224(64),216(65),205(66),13(67) 16 614 67—70 180(67),182(68),175(69),76(70) 17 513 70—73 94(70),170(71),173(72),76(73) 18 429 73—75 102(73),185(74),142(75) 19 366 75—77 49(75),196(76),121(77) 20 325 77—79 77(77),197(78),50(79) 21 303 79—80 143(79),160(80) 22 296 80—82 27(80),179(81),91(82) 23 302 82—84 79(82),160(83),63(84) 24 318 84—86 89(84),145(85),84(86) 25 345 86—89 55(86),135(87),131(88),23(89) 26 382 89—90 105(89),125(90) 以表中第 21 行为例，表示在第 21 天有 303 人下订单，这 303 人大概在第 79—80天可以租到 DVD1，其中先到的 143人最有可能在第 79天租到 DVD1， 后到的 160人最有可能在第 80天租到 DVD1。 2、在购买 DVD时要考虑它的时效性，一搬 DVD可分为两类，一类是热门 DVD，它在刚上市时需求量很大，但过一段时间需求量会变少，还有类是经典 DVD，它的需求量随时间变化不大，公司要想赚钱，一张 DVD 借出去的次数越 多越好，所以不能因为热门 DVD刚上市时需求量很大而购买大量热门 DVD，而 应从长期的角度去考虑。 3、满意度还应考虑等待时间，虽然租到了，但是等待时间不同，满意度会 不同，等待时间越短，满意度越高。 国防科技大学：单荣、李军、余鹏奇，指导教师：指导教师组 2005年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖 16 五 模型检验 租赁过程中的租和还都是概率事件，因此计算机仿真可以比较好的模拟网 上租赁活动。对第一问，我们用蒙特卡洛法进行了检验。 仍以 DVD1 为例， 由前面计算可知，每天收到的 5334份订单中，有 1334 份来自一类会员， 4000份来自二类会员。 具体算法： 1 用 rand命令产生 5334个在（0，1）区间均匀分布的随机数，分别记 为 ip ，与 5334份订单一一对应。若 0.2ip £ ，则第 i份订单是订购 DVD1的； 若0.2 1ip< £ 则不是订 DVD1的。 2 用 normrnd命令产生正态分布的随机数，模拟会员的归还时间。一 类会员的分布为 2(30, )N s ，二类为： 2(15, )N s 。 3对第一问中的模型求得的数据进行多次仿真检验。 对 2 1, 2,3s = 的情况分别进行 10000次仿真，其结果的均值如下表： 从仿真结果可知，我们的模型及结果是可信的。 六 模型优缺点 1 我们所建立的模型采用了正态分布，比较符合实际情况。 2 模型所展现的信息量比较大，对实际问题进行了比较全面的分析。 参 考 文 献 [1] 盛骤、谢式千、潘承毅，《概率论与数理统计》，北京：高等教育出版 社，2004年 7月 [2] 《运筹学》教材编写组，《运筹学》，北京：清华大学出版社，2003年 6月 [3] 贾俊平，《统计学》，北京：清华大学出版社，2004年 2月 [4] 张志通，《精通 MATLAB6.5版》，北京：北京航空航天大学出版社，2003 年 3月。 方差 2 1s = 2 2s = 2 3s = 租出次数 9989.2 9984.8 10082.4