27.2.1 相似三角形的判定

nullnullnull 在相似多边形中,最简单的就是相似三角形(similar triangles).在△ABC和△A’B’C’中,如果∠A=∠A’, ∠B=∠B’, ∠C=∠C’,我们就说△ABC与△A’B’C’相似,记作:△ABC∽△A’B’C.k就是它们的相似比.如果k=1,这两个三角形有怎样的关系?null 如图,在△ABC中,点D是边AB的中点,DE//BC,DE交AC于点E, △ADE与△ABC有什么关系?思考？null 直觉告诉我们, △ADE与△ABC相似,我们通过相似的定义证明这个结论.先证明两个三角形的对应角相等.在△ADE与△ABC中, ∠A=∠A, ∵DE//BC, ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C.null再证明两个三角形的对应边的比相等.过E作EF//AB,EF交BC于F点.在平行四边形BFED中,DE=BF,DB=EF.∴AD=EF.又∠A=∠1, ∠2=∠C,∴△ADE≌△EFC,null即:△ADE与△ABC中, ∠A=∠A,∠ADE=∠B, ∠AED=∠C.∴AD:AB=AE:AC=DE:BC=1:2 这样,我们证明了△ADE和△ABC的对应角相等,对应边的比相等,所以它们相似,相似比等于0.5.△ADE≌△ABCnull 改变点D在AB上的位置,继续观察图形,容易进一步猜想△AD’E’与△ABC仍有相似关系．因此，我们有：　　平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角相似．nullnull 上面我们根据相似三角形的定义，通过证明两个三角形的对应角相等，对应边的比相等得到了一个关于三角形相似的结论．学习三角形全等时，我们知道，除了可以通过证明对应角相等，对应边相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法（SSS，SAS，ASA，AAS）．类似地，判定两个三角形相似时，是不是对所有的对应角和对应边都要一一验证呢？ 类似于判定三角形全等的方法，我们能还能通过三边来判断两个三角形相似呢？null　　在一张方格纸上任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的Ｋ倍，度量这两个三角的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与邻座交流一下，看看是否有同样的结论．null 容易发现,这两个三角形是相似的,我们可以利用上面的结论进行证明.null 要证明△ABC∽△A’B’C’，可以先作一个与△ABC全等的三角形，证明它△A’B’C’与相似．这里所作的三角形是证明的中介，它把△ABC与△A’B’C’联系起来．null证明：在线段A’B’（或它的延长线）上截取A’D=AB，过D点作DE//B’C’，交A’C’于点E，根据前面的结论可得△A’DE∽△A’B’C’．null　　　由此我们得到利用三边判定三角形相形相似的方法：　　 如果两个三角形的三组应边的比相等，那么两个三角形相似．null　　类似于判定三角形全等的方法，我们能通过两边和夹角来判断两个三角形相似呢？nullnull　　　实际上，我们有利用两边和夹角判定两个三角形相似的方法． 如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角相似.null 如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角相似. 类似于证明通过三边判定三角形相似的方法,请你自己证明这个结论.null思考？ 对于△ABC和△A’B’C’, 如果 , ∠B=∠B’,这两个三角形一定相似吗?试着画画看.null例1:根据下列条件，判断△ABC与△A’B’C’是否相似，并说明理由． (1)∠A=1200,AB=7cm,AC=14cm. ∠A’=1200,A’B’=3cm,A’C’=6cm. (2)AB=4 cm,BC=6cm,AC=8cm, A’B’=12cm,B’C’=18cm,A’C’=21cm.null△ABC与△A’B’C‘的三组对应边的比不等，它们不相似．要使两三角形相似，不改变的AC长，A’C’的长应改为多少？null1.根据下列条件,判断△ABC与△A’B’C’是否相似,并说明理由:(1) ∠A=400,AB=8,AC=15, ∠A’=400,A’B’=16,A’C’=30;(2)AB=10cm,BC=8cm,AC=16cm,A’B’=16cm,B’C’=12.8cm,A’C’=25.6cm.null2.图中的两个三角形是否相似?null3.要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6,另一个三角形框架的一边长为2,它的另外两条边长应当是多少?你有几个答案?null 观察两副三角尺,其中同样角度(300与600,或450与450)的两个三角尺大小可能不同,但它们看起来是相似的. 一船地,如果两个三角形有两级对应角相等,它们一定相似吗? null　 作△ABC和△A’B’C’，使得∠A=∠A’， ∠B=∠B’，这时它们的第三个角满足∠C=∠C’吗？分别度量这两个三角的边长，计算: ， ， , 你有什么发现？ 把你的结果与邻座的同学比较，你们的结论一样吗？△ABC和△A’B’C’相似吗？AB BC CA A’B’ B’C’ C’A’null　　利用计算机软件，改变这两个三角形边的大小，而不改变它们的角的大小，可以动态地观察对应边的比例关系，有条件的同学可以试一试．null 我们可以得到判定两个三角形相似的又一具简便方法.∠A=∠A’, ∠B=∠B’△ABC∽△A’B’C’ 如果一个三角形的两个角与另一具三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.null 如果一个三角形的两个角与另一具三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似. 类似于证明通过三边判定三角形相似的方法,请你自己证明这个结论.null例2 如图,弦AB和CD相交于⊙O内一点P, 求证PA·PB=PC·PD.证明:连结AC﹑BD.∵∠A和∠B都是BC所对的圆周角. ∴∠A=∠D. 同理 ∠C=∠B. ∴△PAC∽△PDB,∴PA:PD=PC:PB 即:PA·PB=PC·PD.null1.底角相等的两个等腰三角形是否相似?顶角相等的两个等腰三角形呢?证明你的结论.2.如图,Rt△ABC中,CD是斜边上的高, △ ACD和△ CBD都和△ ABC相似吗?证明你的结论. null