勾股定理32

勾股定理 勾股定理 甲内容提要 1.​ 勾股定理及逆定理：△ABC中　∠C＝Rt∠ a2＋b2=c2 2.​ 勾股定理及逆定理的应用 1​ 作已知线段a的 ， ， ……倍 2​ 计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何 3​ 证明线段的平方关系等。 3.​ 勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c满足等式a2＋b2=c2，那么这三个正整数a,b,c叫做一组勾股数. 4.​ 勾股数的推算公式 1​ 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853） 任取两个正整数m和n(m>n),那么m2-n2，2mn,　m2+n2是一组勾股数。 2​ 如果k是大于1的奇数，那么k, , 是一组勾股数。 3​ 如果k是大于2的偶数，那么k, , 是一组勾股数。 4​ 如果a,b,c是勾股数，那么na,　nb,　nc　(n是正整数)也是勾股数。 5.​ 熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。简单的勾股数有：3，4，5；　5，12，13；　7，24，25；　8，15，17；　9，40，41。 乙例题 例1.已知线段a　　 a 　　　　 a　　　2a　　 3a a　　　　　　　　　　　　　　　　　　 求作线段 a　　　　　　　　　　　　 a　　　　　　　 　 分析一： a＝ ＝ 2a 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴ a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边。 分析二： a＝ ∴ a是以3a为斜边，以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边。 作图（略） 例2.四边形ABCD中∠DAB＝60 ，∠B＝∠D＝Rt∠，BC＝1，CD＝2 求对角线AC的长　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解：延长BC和AD相交于E，则∠E＝30 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴CE＝2CD＝4，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 在Rt△ABE中　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 设AB为x,则AE＝2x　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 根据勾股定理x2+52=(2x)2, x2= 　　　　　　　　　　　　　 在Rt△ABC中，AC＝ ＝ ＝ 例3.已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝2∠A 求证：AB2－BC2＝AB×BC　　　　　　　　　　　　　　　　　　 证明：作∠B的平分线交AC于D，　　　　　　　　　　　　 　则∠A＝∠ABD，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∠BDC＝2∠A＝∠C ∴AD＝BD＝BC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 作BM⊥AC于M，则CM＝DM　　　　　　　　　　　　　　　　　 AB2－BC2＝（BM2＋AM2）－（BM2＋CM2）　　　　　　　　　　　　 　　　　＝AM2－CM2＝（AM＋CM）（AM－CM）　　　　　　　　　 　　　　＝AC×AD＝AB×BC 例4.如图已知△ABC中，AD⊥BC，AB＋CD＝AC＋BD 　求证：AB＝AC　　　　　　　　　　　　　　　　　 　证明：设AB，AC，BD，CD分别为b,c,m,n　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 则c+n=b+m, c-b=m-n　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∵AD⊥BC，根据勾股定理，得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 AD2＝c2-m2=b2-n2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴c2-b2=m2-n2, (c+b)(c-b)=(m+n)(m-n) (c+b)(c-b) =(m+n)((c-b)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (c+b)(c-b) －(m+n)(c-b)＝0 (c-b)｛(c+b)－(m+n)｝＝0 ∵c+b>m+n, ∴c-b=0 即c=b ∴AB＝AC 例5.已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD＞BC 求证：AC＞BD 证明：作DE∥AC，DF∥BC，交BA或延长线于点E、F ACDE和BCDF都是平行四边形 ∴DE＝AC，DF＝BC，AE＝CD＝BF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 作DH⊥AB于H，根据勾股定理　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 AH＝ ，FH＝ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∵AD＞BC，AD＞DF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴AH＞FH，EH＞BH　　　　　　　　　　　　　 DE＝ ，BD＝ ∴DE＞BD 即AC＞BD 例6.已知：正方形ABCD的边长为1，正方形EFGH内接于ABCD，AE＝a，AF＝b,且SEFGH＝ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　求： 的值　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （2001年希望杯数学邀请赛，初二）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解：根据勾股定理　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　a2+b2=EF2＝SEFGH＝ ;①　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∵4S△AEF＝SABCD－SEFGH　　∴　2ab= 　　　② 1​ －②得　（a-b）2= 　　　　∴ ＝ 丙练习31 1.​ 以下列数字为一边，写出一组勾股数： 1​ 7，＿＿，＿＿　　②8，＿＿，＿＿　　③9，＿＿，＿＿ ④10，＿＿，＿＿　　⑤11，＿＿，＿＿　　⑥12，＿＿，＿＿ 2.​ 根据勾股数的规律直接写出下列各式的值： 1​ 252－242＝＿＿，　　　②52＋122＝＿＿， ③ ＝＿＿＿，④ ＝＿＿＿ 3.​ △ABC中，AB＝25，BC＝20，CA＝15，CM和CH分别是中线和高。那么S△ABC＝＿＿，CH＝＿＿，MH＝＿＿＿ 4.　梯形两底长分别是3和7，两对角线长分别是6和8，则S梯形＝＿＿＿ 5.已知：△ABC中，AD是高，BE⊥AB，BE＝CD，CF⊥AC，CF＝BD 求证：AE＝AF 6.已知：M是△ABC内的一点，MD⊥BC，ME⊥AC，MF⊥AB， 且BD＝BF，CD＝CE　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　求证：AE＝AF　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 7.在△ABC中，∠C是钝角，a2-b2=bc 　求证∠A＝2∠B 8.求证每一组勾股数中至少有一个数是偶数。（用反证法） 9.已知直角三角形三边长均为整数，且周长和面积的数值相等，求各边长 10等腰直角三角形ABC斜边上一点P，求证：AP2＋BP2＝2CP2 11.已知△ABC中，∠A＝Rt∠，M是BC的中点，E，F分别在AB，AC ME⊥MF 求证：EF2＝BE2＋CF2 12.Rt△ABC中，∠ABC＝90 ，∠C＝60 ，BC＝2，D是AC的中点，从D作DE⊥AC与CB的延长线交于点E，以AB、BE为邻边作矩形ABEF，连结DF，则DF的长是＿＿＿＿。（2002年希望杯数学邀请赛，初二试题） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 13.△ABC中，AB＝AC＝2，BC边上有100个不同的点p1，p2，p3，…p100, 记mi=APi2+BPi×PiC (I=1,2……，100)，则m1+m2+…＋m100=____ (1990年全国初中数学联赛题) 练习题参考 3.　150，12，35　　　 4.　24（作CE∥BD交AB延长线E） 5. 利用勾股定理证明AE，AF的平方都等于m2+n2+AD2 6.利用勾股定理:　AE2＝……，AF2＝…… 7.作CD⊥AB于D， ∵bc=a2-b2=BD2-AD2=(BD+AD)(BD-AD) ∴b=BD-AD …… 8.（用反证法）设a,b,c都是奇数， 那么a2,b2,c2也都是奇数， 　∴a2＋b2是偶数,而c2是奇数， 这与a2＋b2＝c2相矛盾， 　故这种假设不能成立， 　∴a,b,c中至少有一个数是偶数 9.　 正整数解有 答：各边长是5，12，13或6，8，10 11.延长EM到N，使MN＝EM，连结CN， 显然△MNC≌△MEB，NC＝BE，NF＝EF…… 12.　可证DF＝DE＝2 ，　　 13.　400 (mi=4)