换元法54

换元法 换元法 一、内容提要 1.　换元就是引入辅助未知数.把题中某一个（些）字母的达式用另一个（些）字母的表达式来代换，这种解题方法，叫做换元法，又称变量代换法. 2.　换元的目的是化繁为简，化难为易，沟通已知和未知的联系. 例如通过换元来降次，或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进行代换. 3.　换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小；若新变量的取值范围扩大了，则在求解之后要加以检验. 4.　解二元对称方程组，常用二元基本对称式代换. 5.​ 倒数方程的特点是：按未知数降幂排列后，与首、末等距离的项的系数相等. 例如：一元四次的倒数方程ax4+bx3+cx2+bx+a=0. 两边都除以x2,得a(x2+ )+b(x+ )+c=0. 设x+ =y, 那么x2+ = y2－2, 原方程可化为ay2+by+c－2=0. 对于一元五次倒数方程 ax5+bx4+cx3+cx2+bx+a=0， 必有一个根是－1. 原方程可化为　　(x+1)(ax4+b1x3+c1x2+b1x+a)=0. ax4+b1x3+c1x2+b1x+a=0 ，这是四次倒数方程. 形如　ax4－bx3+cx2＋bx+a=0 的方程，其特点是： 与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数. 两边都除以x2, 可化为a(x2+ )－b(x－ )+c=0. 设x－ =y, 则x2+ =y2+2, 　 原方程可化为 ay2－by+c+2=0. 二、例题 例1.　解方程 =x. 解：设 =y, 那么y2=2x+2 . 原方程化为：　y－ y2=0 . 解得 y=0；或y=2. 当y=0时，　 =0 (无解) 当y=2时，　 =2， 解得，x= .　　检验（略）. 例2.　解方程：x4+(x－4)4=626. 解：（用平均值 　代换，可化为双二次方程.） 设 y= x－2 ，则x=y+2.　　　　 原方程化为　　(y+2)4+(y－2)4=626. ［((y+2)2－(y－2)2)2＋2(y+2)2(y－2)2－626=0 整理，得　　y4+24y2－297=0. 　　(这是关于y的双二次方程). (y2+33)(y2－9)=0. 　 当y2+33=0时，　无实根 ； 　　 当y2－9=0时，　y=±3. 即x－2=±3， 　　 ∴x=5；或x=－1. 例3.　解方程：2x4+3x3－16x2+3x+2=0 . 解：∵这是个倒数方程，且知x≠0， 两边除以x2,并整理　得2(x2+ )+3(x+ )－16=0. 　　　　　　　　设x+ =y,　则x2+ =y2－2. 原方程化为　2y2+3y－20=0. 解得　y=－4；或y= . 由y=－4得　x=－2+ ；或x=－2－ . 由y=2.5得　　x=2；或x= . 例4　解方程组 解：（这个方程组的两个方程都是二元对称方程，可用基本对称式代换.） 设x+y=u, 　xy=v. 原方程组化为： . 解得 ；　　或 . 即 　；　　或 . 解得： ；或 ；或 ；或 . 三、练习 解下列方程和方程组：（1到15题）： 1. 35－2x. 2.　(16x2－9)2+(16x2－9)(9x2－16)+(9x2－16)2=(25x2－25)2. 3.　(2x+7)4+(2x+3)4=32 .　　　　　　　　　4.　(2x2－x－6)4+(2x2－x－8)4=16. 5.　(2 )4+(2 )4=16. 6.　 = . 　　　　　7.　2x4－3x3－x2－3x+2=0. 8.　 　　　　　 　　9.　 . 10.　 . 11.　(6x+7)2(3x+4)(x=1)=6. 12.　 . 　　　　　　　13.　 . 14. .　　　　　　 15　 . 16. 分解因式：　①(x+y－2xy)(x+y－2)+(1－xy)2；　 ②a4+b4+(a+b)4 . 17. 已知：a+2=b－2=c×2=d÷2, 且a+b+c+d=1989.　　　 则a=___,b= ____,c=_____,d=____　　　　　　(1989年泉州市初二数学双基赛题) 18. ［a］表示不大于a的最大整数，如［ ］=1，［－ ］=－2， 那么 方程 ［3x+1］=2x－ 的所有根的和是_____.(1987年全国初中数学联赛题) 练习题参考 1. 　 2. ± ± 　　　 3. － 　　　 4. 2,－ , 　 5. 6. 1 　　　 7. ,2 　　　　 8. 9.　　 10. 7,－1 　　 11.－ ,－ 　　　 12. 　　　 13. 14.　 　　　 15. x= 16.①设x+y=a,xy=b ②设a2+b2=x,ab=y 17.设原式=k, k=442 　　　　 18. –2可设2x－ =t, x= t+ 代入[3x+1]