nullnull 随 机 过 程第十章 随机过程及其统计描述第十章 随机过程及其统计描述 关键词:
随机过程
状态和状态空间
样本函数
有限维分布函数
均值函数
方差函数
自相关函数 自协方差函数
互相关函数 互协方差函数
正态过程 独立增量过程 泊松过程 维纳过程
§1 随机过程的概念§1 随机过程的概念 随机过程被认为是概率论的“动力学”部分,即它的研究对象是随时间演变的随机现象,它是从多维随机变量向一族(无限多个)随机变量的推广。
给定一随机试验E,其样本空间S={e},将样本空间中的每一元作如下对应,便得到一系列结果:null 一维、二维或一般的多维随机变量的研究是概率论的研究内容,而随机序列、随机过程则是随机过程学科的研究内容。从前面的描述中看到,它的每一样本点所对应的,是一个数列或是一个关于t的函数。
null 例1:抛掷一枚硬币的试验,样本空间是S={H,T},现定义:null null null null 例5:考虑抛掷一颗骰子的试验:null随机过程的分类:
随机过程可根据参数集T和任一时刻的状态分为四类,参数集T可分为离散集和连续集两种情况,任一时刻的状态分别为离散型随机变量和连续型随机变量两种:
连续参数连续型的随机过程,如例2,例3
连续参数离散型的随机过程,如例1,例4
离散参数离散型的随机过程,如例5
离散参数连续型的随机过程,§2 随机过程的统计描述§2 随机过程的统计描述null 例1:抛掷一枚硬币的试验,定义一随机过程:null 例1:抛掷一枚硬币的试验,定义一随机过程:null null(二) 随机过程的数字特征nullnull null null 续nullnull(三) 二维随机过程的分布函数和数字特征nullnull §3 泊松过程及维纳过程§3 泊松过程及维纳过程 独立增量过程的性质: 独立增量过程的性质:null(一) 泊松分布(一) 泊松分布nullnull续null证毕nullnullnullnullnullnull 定理一:强度为λ的泊松流(泊松过程)的点间间距是相互独立的随 机变量,且服从同一指数分布
定理二:如果任意相继出现的两个质点的点间间距是相互独立, 且服从同一个指数分布:
这两个定理刻画出了泊松过程的特征,定理二告诉我们,要确定一个计数过程是不是泊松过程,只要用统计方法检验点间间距是否独立,且服从同一个指数分布。(二) 维纳过程(二) 维纳过程维纳过程是布朗运动的数学模型
以W(t)
示运动中一微粒从时刻t=0到时刻t>0的位移的横坐标,且设W(0)=0。由于微粒的运动是受到大量随机的、相互独立的分子碰撞的结果,于是:
粒子在时段(s,t]上的位移可看作是许多微小位移的 和,根据中心极限定理,假设位移W(t)-W(s)服从正 态分布是合理的。
(2) 由于粒子的运动完全由液体分子不规则碰撞而引起 的,这样,在不相重叠的时间间隔内,碰撞的次数、 大小和方向可假设相互独立,即W(t)具有独立增量, 同时W(t)的增量具有平稳性。nullnullnull第十一章 马尔可夫链第十一章 马尔可夫链 关键词:
无后效性(马尔可夫性)
齐次马尔可夫链
n步转移概率
n步转移概率矩阵
C-K方程
马氏链的有限维分布律
遍历性
极限分布(平稳分布)§1 马尔可夫过程及其概率分布§1 马尔可夫过程及其概率分布马尔可夫性(无后效性)
过程(或系统)在时刻t0所处的状态为已知的条件下,过程在时刻t>t0所处状态的条件分布与过程在时刻t0之前所处的状态无关。
通俗地说,就是在已经知道过程“现在”的条件下,其“将来”不依赖于“过去”。null 证毕!null由上例知,泊松过程是时间连续状态离散的马氏过程,
维纳过程是时间状态都连续的马氏过程。
时间和状态都离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链,简称马氏链,
记为:{Xn=X(n),n=0,1,2,…},参数集T={0,1,2,…},
记链的状态空间为:null nullXm+1的状态null 例2:(0-1传输系统)
如图所示,只传输数字0和1的串联系统中,设每一级的传真率为p,误码率为q=1-p。并设一个单位时间传输一级,X0是第一级的输入,
Xn是第n级的输出(n≥1),那么{Xn,n=0,1,2…}是一随机过程,
状态空间I={0,1},而且当Xn=i为已知时,Xn+1所处的状态的概率分布只与Xn=i有关,而与时刻n以前所处的状态无关,所以它是一个马氏链,而且还是齐次的,它的一步转移概率和一步转移概率矩阵
分别为:null 例3:一维随机游动。设一醉汉Q(或看作一随机游动的
质点)在直线上的点集I={1,2,3,4,5}作随机游动,
且仅在1秒、2秒等时刻发生游动,游动的概率规则
是:如果Q现在位于点i(1
0)表示经n次交换
后甲盒中的红球数.
(1)求此马氏链的初始分布;
(2)求一步转移概率矩阵;
(3)计算 ;
(4)判断此链是否具有遍历性,若有,求出极限分布。nullnull第十二章 平稳随机过程第十二章 平稳随机过程 关键词:
(宽)平稳过程
时间均值
时间相关函数
各态历经性
谱密度
§1 平稳随机过程的概念§1 平稳随机过程的概念nullnullnullnull null null null null续null§2 各态历经性§2 各态历经性 如何根据实验记录确定平稳过程的均值和自相关函数呢?
按照数学期望和自相关函数的定义,需要时,一个平稳
过程重复进行大量观察,获得一族样本函数
用统计实验方法,均值和自相关函数近似地为:null 平稳过程的统计特性不随时间的推移而变化,
根据这一特点,能否通过在一个很长时间内观察得到的
一个样本曲线来估计平稳过程的数字特征呢?
本节给出的各态历经定理证实,只要满足某些条件,
那么均值和自相关函数实际上可以用一个样本函数在整个
时间轴上的平均值来代替。nullnullnullnull nullnullnull null nullnullnull续null证毕!nullnull 见下页nullnull 各态历经定理的重要价值在于它从理论上给出了如下保证:一个平稳过程X(t),若0课件结束!